等比数列前n项和公式（教案）

1、等比数列前n项和公式【教学目标】1. 通过一些实例及经历借、贷款问题的计算过程，让学生体会数学的应用价值，形成对数学的兴趣；同时培养学生应用知识解决实际问题的能力。2. 通过探索数列的前n项和公式，培养学生创新思维能力，同时增强学生对公式理解【教学重点】等比数列的前项和的公式 【教学难点】等比数列前项和公式的推导【教学备品】教学课件【课时安排】3课时(135分钟)【教学过程】：设置悬念讲授新知识解决悬念归纳小结巩固新知识【设置悬念】1. 设一个投资陷阱，让同学们猜一猜，这个借款方式合不合算？2.再讲本校一个毕业生创业的奋斗历程，然后提出他要贷款10万元，贷款5年，年息5%，采取等额本息还款方式

2、，每个月他要还多少钱？3. 富兰克林一生为科学和民主而工作，他死后留下的财产并不可观，大致只有一千英磅。令人惊讶的是，他竟留下了一份分配几百万英磅财产的遗嘱！这份有趣的遗嘱是这样写的：“一千英磅赠给波士顿的居民，如果他们接受了这一千英磅，那么这笔钱应该托付给由选举出来的公民组成的基金会，基金会得把这笔钱按每年5%的利率借给一些年轻的手工业者去生息。这笔钱过了100年增加到131000英磅。我希望，那时候用100000英磅来建立一所公共建筑物， 剩下的31000英磅拿去继续生息100年，在第二个100年末了，这笔款增加到4061000英磅，其中1061000英磅还是由波士顿的基金会支配，而其余的

3、3000000英磅让马萨诸州组成同样的基金会来管理。过此之后，我可不敢自作主张了！”富兰克林卒于1790年，现在200多年过去了，人们不禁要问：作为科学家和政治家的富兰克林，留下区区的1000英磅，竟立下百万富翁般的遗嘱，这不是开玩笑吧？ 【讲授新知识】63.3 等比数列前n项和公式一、公式推导下面来研究求等比数列前n项和的方法等比数列的前n项和为 (1)由于故将(1)式的两边同时乘以q，得 (2) 用(1)式的两边分别减去(2)式的两边，得 (3)当时，由(3)式得等到数列的前项和公式 (6.7)知道了等比数列中的、n和，利用公式（6.7）可以直接计算由于因此公式（6.7）还可以写成 (6.

4、8)当时，等比数列的各项都相等，此时它的前项和为 (6.9) 【想一想】在等比数列中，知道了、q、n、五个量中的三个量，就可以求出其余的两个量针对不同情况，应该分别采用什么样的计算方法？ 【注意】 在求等比数列的前n项和时，一定要判断公比q是否为二、巩固知识1.例5 写出等比数列的前n项和公式并求出数列的前8项的和解 因为，所以等比数列的前n项和公式为 ，故 2.例6 一个等比数列的首项为，末项为，各项的和为，求数列的公比并判断数列是由几项组成解 设该数列由n项组成，其公比为q，则，于是 即 ，解得 所以数列的通项公式为 于是 ，即 解得 故数列的公比为，该数列共有5项3.解决悬念 现在回过来

5、看一看，前面提到的第一个问题“这个借款方式合不合算”1.对方每天给你100万元，30天就是3000万元。2.你30天总还款数是多少？第一天是1元，第二天是2元，第三天是4元，每天要还的钱是前一天的一倍，这是一个等比数列， 解得 107374182330000000，所以这个借款方式非常不合算，是个大陷阱。三、运用知识，强化练习 练习6.3.31求等比数列，的前10项的和2已知等比数列的公比为2，求3.已知等比数列的公比为，求四、巩固知识 典型例题【小知识】复利计息法：将前一期的本金与利息的和（简称本利和）作为后一期的本金来计算利息的方法俗称“利滚利”1.例7 银行贷款一般都采用“复利计息法”计

6、算利息小王从银行货款20万元，贷款期限为5年,年利率为5.76%（1）如果5年后一次性还款，那么小王应偿还银行多少钱?（精确到0.000001万元）；（2）如果每年一期，分5期等额还款（每期以相等的额度平均偿还本息），那么小王每年偿还银行多少钱解 （1）货款第一年后的本利和为 第二年后的本利和为 依次下去，从第一年后起，每年后的本利和组成的数列为等比数列 其通项公式为 故5年后一次性还款小王应还款数为 （万元）（2）小王每次应偿还银行a万元， ，（A为贷款本金，为还款期数，为期利率）（万元）可以看到，本例中一次性付款数为26.482886万元，而采用分5期付款的方式总共付款数为4.716971×5=23.5849（万元），分期付款比到期一次性付款节省了近2万9千元。（说明：等额本息还款公式不需要学生掌握推导，学会使用即可）2.解决悬念 （1）该毕业生他每个月他要还多少钱？A=10，n=5×12=60,i=5%÷120.004171887.31(元) 每个月他要还1887.31元 （2）富兰克林立下百万富翁般的遗嘱，是不是开玩笑？A、一千英磅每年5%的利率100年增加到多少钱（英磅） B剩下的31000英磅拿去继续生息100年，在第二个100年末了，这笔款增加到多少英磅？（英磅）所以富兰克林立下百