2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程学案新人教A

1、2.1.1曲线与方程学习目标】1. 了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系2 初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念 3 学会根据已有的情境资料找规律，学会分析、判断曲线与 方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及相互转化的思想方法IT问题导学-知识点一曲线与方程的概念思考 i 设平面内有一动点 p,属于下列集合的点组成什么图形？(1) P|PA= PB(A,B是两个定点)；(2) P|PO=3 cm(O为定点).答案(1)线段AB的垂直平分线；以 O 为圆心，3 cm 为半径的圆.思考 2 到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？为什么？答案y=x.在直角坐标系中，到两坐标轴距离相

2、等的点M的坐标(xo,yo)满足yo=xo或yo= 灭0,即(xo,yo)是方程y=x的解；反之，如果(xo,yo)是方程y=x或y=x的解， 那么以(xo,yo)为坐标的点到两坐标轴距离相等 .梳理 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线Q看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y) = o 的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.知识点二曲线的方程与方程的曲线解读思考 1 曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y) = o 的解，能否说f(x,y) = 0

3、 是曲线C的方 程？试举例说明.答案 不能.还要验证以方程f(x,y) = o 的解为坐标的点是否都在曲线上.例如曲线C为“以原点为圆心，以 2 为半径的圆的上半部分”与“方程x2+y2= 4”，曲线上的点都满足方程，但曲线的方程不是x2+y2= 4.思考 2 方程x, y= 0 能否表示直角坐标系中的第一、三象限的角平分线？方程xy=0 呢？答案 方程x . y= 0 不能表示直角坐标系中的第一、 三象限的角平分线.因为第一、三象 限角平分线上的点不全是方程 .x y= 0 的解.例如，点A 2, 2)不满足方程，但点A是第一、三象限角平分线上的点 .方程xy=0 能够表示第一、三象限的角平

4、分线 .2梳理(1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法曲线C的点集和方程f(x,y) = 0 的解集之间是 对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方 程上，方程的性质又可以反映在曲线上定义中的条件说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(x,y)建立了对应关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质题型探究类型一曲线与方程的概念理解与应用命题角度 i 曲线与方程的判定例 1 命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y) = 0 的解”是正确的，

5、下列命题中正确 的是( )A. 方程f(x,y) = 0 的曲线是CB. 方程f(x,y) = 0 的曲线不一定是CC.f(x,y) = 0 是曲线C的方程D. 以方程f(x,y) = 0 的解为坐标的点都在曲线C上答案 B解析 不论方程f(x,y) = 0 是曲线C的方程，还是曲线C是方程f(x,y) = 0 的曲线，都必 须同时满足两层含义：曲线上的点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上，所以 A、C D 错误.举例如下：曲线C：一、三象限角平分线，方程为 |x| = |y|，显然满足 已知条件，但 A、C D 错.反思与感悟 解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程

6、是否是曲线的方程或判定曲线是否是方程的曲线)，只要一一检验定义中的“两性”是否都满足，并作出相应的回 答即可判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程跟踪训练 1 设方程f(x,y) = 0 的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x,y) = 0 的点都在曲线C上”是不正确的，那么下列命题正确的是()A. 坐标满足方程f(x,y) = 0 的点都不在曲线C上B. 曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x,y) = 0C. 坐标满足方程f(x,y) = 0 的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D. 定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x,y) = 0 答案 D解析“坐标满足方程f(x,y

7、) = 0 的点都在曲线C上”不正确，即“坐标满足方程f(x,y) = 0 的点不都在曲线C上”是正确的.“不都在”包括“都不在”和“有的在， 有的不在” 两种情况，故 A、C 错，B 显然错.命题角度 2 曲线与方程的概念应用3例 2 证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k0)的点的轨迹方程是xy=k.证明 如图，设Mxo,yo)是轨迹上的任意一点.因为点M与x轴的距离为|yo|，与y轴的距离为|xo|，所以|xo| yo| =k,即(xo,yo)是方程xy=k的解.设点M的坐标(xi,yi)是方程xy=k的解，则xiyi=k, 即 |xi| yi| =k.而|xi| , |yi|正是点M到

8、纵轴、横轴的距离，因此点M到这两条直线的距离的积是常数k, 点M是曲线上的点.由可知，xy=k是与两条坐标轴的距离的积为常数k(k0)的点的 轨迹方程反思与感悟解决此类问题要从两方面入手：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说点不比解多”称为纯粹性；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程跟踪训练 2 写出方程(x+y 1)x-1 = o 表示的曲线_x 1o,_解 由方程(x+y1)lx 1 = o 可得 f或寸x 1 = 0.vx+y1 = o即x+y 1 = o(x 1)或x=

9、 1,方程表示直线x= 1 和射线x+y 1 = o(x 1).类型二曲线与方程关系的应用2 2例 3 已知方程x+ (y 1) = 1o.(1)判断点 R1 , 2), Q 2, 3)是否在此方程表示的曲线上；若点M*m在此方程表示的曲线上，求m的值.解 (1)V12+(21)2=1o,(晶2+(31)2=6 工 1o,P(1 , 2)在方程x2+ (y 1)2= 1o 表示的曲线上，Q(2, 3)不在此曲线上./Mmm在方程x2+ (y 1)2= 1o 表示的曲线上，m?+ ( m- 1)2= 1o.解得 m= 2 或m=-菩5反思与感悟判断曲线与方程关系问题时，可以利用曲线与方程的定义；

10、也可利用互为逆否关系的命题的真假性一致判断4跟踪训练 3 若曲线y2xy+ 2x+k= 0 过点(a,a)(a R)，求k的取值范围.解T曲线y2xy+ 2x+k= 0 过点(a,a),a+a+ 2a+k= 0.当堂训练1. 曲线f(x,y) = 0 关于直线xy 3 = 0 对称的曲线方程为()A.f(x 3,y) = 0B.f(y+ 3,x) = 0C.f(y 3,x+ 3) = 0D.f(y+ 3,x 3) = 0答案 D解析 由对称轴xy 3= 0 得x=y+ 3,y=x 3 可知 D 正确.2. 方程xy2x2y= 2x所表示的曲线()A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称

11、D.关于直线xy= 0 对称答案 C解析 同时以一x代替x,以一y代替y,方程不变，所以方程xy2x2y= 2x所表示的曲线关于原点对称.3. 方程 4x2y2+ 6x 3y= 0 表示的图形为 _ .答案两条相交直线解析原方程可化为(2xy)(2x+y+ 3) = 0,即卩 2xy= 0 或 2x+y+ 3 = 0,二原方程表示直线 2xy= 0 和直线 2x+y+ 3= 0.4. 若曲线ax2+by2= 4 过点A(0， 2) ,B(2，腑，贝U a=_,b=_.答案 41解析曲线过A(0， 2),耳 1,3)两点，4b= 4,b= 1,i&a+ 3b= 4,|a= 4.k5._

12、方程(x1 2 3 4)2+ (y2 4)2= 0 表示的图形是40 分钟课时作业一、选择题2k= 2a 2a= 2k的取值范围是125_答案 4 个点X4 = 0,解析由题意，得仁 4 = 0,x = 2,X=2,x= 2,x= 2,或1或*或iy=2y=2y= 2iy= 2,方程(x2 4)2+ (y2 4)2= 0 表示的图形是 4 个点.厂规律与方迭-1. 判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程.若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上2. 已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题解析 由

13、|X| + |y| = |xy| + 1 得(|x| 1)(1y| 1) = 0,即x=1或y= 1,因此该方程表示四条直线.4.下列方程对应的曲线是同一条曲线的是()y=:y= xy=logaa:y/.A.B.C.D.答案 B1“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y) = 0 的解”是“曲线C的方程是f(x,y) = 0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 B解析 结合曲线方程的定义易得.2 曲线C的方程为y= 2x 1(1x5)，则下列四个点中在曲线C上的是()A. (0 , 0) B.(7, 15) C.(2, 3) D.(4, 4)答案 C解析 由y= 2x 1(1x0,二方程x=.7壬表示的曲线是以原点为圆心，2 为半径的右半圆，从而该曲线C又OA=(X1,y1),OB=(X2,OA-=4 4= 081与y轴围成的图形是半圆，其面积S= 2n 4= 2n.所以所求图形的面积为2n.13.已知两曲线f(x,y) = 0 与g(x,y) = 0 的一个交点为Rxo,yo).求证：