第七章第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系

1、 第 3 讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 1四个公理 公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行 2空间直线的位置关系 (1)位置关系的分类： 共面直线平行相交异面直线：不同在任何一个平面内 (2)异面直线所成的角： 定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间中任一点 O 作直线 aa，bb，把 a与 b所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角) 范围：0，2 (3

2、)定理： 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 3空间直线与平面，平面与平面之间的位置关系 图形语言 符号语言 公共点 直 线 与 平 面 相交 aA 1 个 平行 a 0 个 在平面内 a 无数个 平 面 与 平 面 平行 0 个 相交 l 无数个 做一做 1已知 A，B，C 表示不同的点，l 表示直线，表示不同的平面，则下列推理错误的是( ) AAl，A，Bl，Bl BA，A，B，BAB Cl，AlA DA，Al，llA 答案：C 2若直线 ab，bcA，则直线 a 与 c 的位置关系是( ) A异面 B相交 C平行 D异面或相交 答案：D 1辨明三个易误点 (1)正

3、确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内” (2)不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”的条件 (3)两条异面直线所成角的范围是(0，90 2证明共面问题的两种途径 (1)首先由条件中的部分线(或点)确定一个平面，再证其他线(或点)在此平面内； (2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证明这两个平面重合 3证明共线问题的两种途径 (1)先由两点确定一条直线，再证其他点都在这条直线上； (2)直接证明这些点都在同一条特定直线上 做一做 3下列命题正确的个数为( ) 经过三点确定一个平面 梯形可以确定一个平面 两两相交的三条直线最多可以确定三个平

4、面 如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合 A0 B1 C2 D3 解析：选 C.经过不共线的三点可以确定一个平面， 不正确； 两条平行线可以确定一个平面，正确； 两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面， 正确； 命题中没有说清三个点是否共线，不正确 4如图是正方体或四面体，P，Q，R，S 分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是( ) 解析：选 D.A，B，C 图中四点一定共面，D 中四点不共面 考点一_平面的基本性质_ 如图所示，正方体 ABCD- A1B1C1D1中，E、F 分别是 AB 和 AA1的中点求证： (1)E、C、D1、F 四点共面； (2)CE、D1F、DA 三

5、线共点 证明 (1)连接 EF，CD1，A1B. E、F 分别是 AB、AA1的中点， EFBA1， 又 A1BD1C， EFCD1， E、C、D1、F 四点共面 (2)EFCD1，EFCD1， CE 与 D1F 必相交，设交点为 P， 则由 PCE，CE平面 ABCD，得 P平面 ABCD. 同理 P平面 ADD1A1. 又平面 ABCD平面 ADD1A1DA， P直线 DA.CE、D1F、DA 三线共点 规律方法 (1)证明四点共面的基本思路：一是直接证明，即利用公理或推论来直接证明；二是先由其中不共线的三点确定一个平面，再证第四个点也在这个平面内即可 (2)要证明点共线或线共点的问题，关

6、键是转化为证明点在直线上，也就是利用公理 3，即证点在两个平面的交线上或者选择其中两点确定一直线，然后证明另一点也在直线上 1. 如图，空间四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，AD 的中点，G，H 分别在 BC，CD 上，且 BGGCDHHC12. (1)求证：E，F，G，H 四点共面； (2)设 EG 与 FH 交于点 P，求证：P，A，C 三点共线 证明：(1)E，F 分别为 AB，AD 的中点， EFBD. 在BCD 中，BGGCDHHC12， GHBD，EFGH. E，F，G，H 四点共面 (2)EGFHP，PEG，EG平面 ABC， P平面 ABC.同理 P平面 ADC. P

7、 为平面 ABC 与平面 ADC 的公共点 又平面 ABC平面 ADCAC， PAC，P，A，C 三点共线 考点二_空间两直线的位置关系_ 如图所示，正方体 ABCD- A1B1C1D1中，M，N 分别是 A1B1，B1C1的中点问： (1)AM 和 CN 是否是异面直线？说明理由； (2)D1B 和 CC1是否是异面直线？说明理由 解 (1)不是异面直线 理由：连接 MN，A1C1，AC. 因为 M，N 分别是 A1B1，B1C1的中点， 所以 MNA1C1. 又因为 A1A 綊 C1C， 所以 A1ACC1为平行四边形，所以 A1C1AC，所以 MNAC， 所以 A，M，N，C 在同一平面

8、内， 故 AM 和 CN 不是异面直线 (2)是异面直线 理由如下： 因为 ABCD- A1B1C1D1是正方体， 所以 B，C，C1，D1不共面 假设 D1B 与 CC1不是异面直线， 则存在平面 ，使 D1B平面 ，CC1平面 ， 所以 D1，B，C，C1， 这与 B，C，C1，D1不共面矛盾 所以假设不成立， 即 D1B 和 CC1是异面直线 规律方法 异面直线的判定方法： (1)定义法：依据定义判断(较为困难) (2)定理法：过平面内一点与平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线为异面直线(此结论可作为定理使用) (3)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条

9、件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面 2. 如图，正方体 ABCD- A1B1C1D1中，M，N 分别为棱 C1D1，C1C 的中点，有以下四个结论： 直线 AM 与 CC1是相交直线； 直线 AM 与 BN 是平行直线； 直线 BN 与 MB1是异面直线； 直线 AM 与 DD1是异面直线 其中正确的结论为_(注：把你认为正确的结论的序号都填上) 解析：直线 AM 与 CC1是异面直线，直线 AM 与 BN 也是异面直线，故错误 答案： 考点三_异面直线所成的角(高频考点)_ 从近几年的高考试题来看， 异面直线所成的角是高考的热点， 题型既有选择题又有填空题，也有

10、解答题，难度为中低档题；高考对异面直线所成的角的考查主要有以下两个命题角度： (1)求异面直线所成角； (2)由异面直线所成角求其他量 在正方体 ABCD- A1B1C1D1中， (1)求 AC 与 A1D 所成角的大小； (2)若 E，F 分别为 AB，AD 的中点，求 A1C1与 EF 所成角的大小 解 (1)如图所示，连接 B1C，AB1，由 ABCD- A1B1C1D1是正方体，易知 A1DB1C，从而 B1C 与 AC 所成的角就是 AC 与 A1D 所成的角 AB1ACB1C，B1CA60. 即 A1D 与 AC 所成的角为 60. (2)连接 BD，在正方体 ABCD- A1B1

11、C1D1中，ACBD，ACA1C1. E，F 分别为 AB，AD 的中点， EFBD， EFAC.EFA1C1. 即 A1C1与 EF 所成的角为 90. 若本例中“正方体”改为“正四棱柱”且异面直线 A1B 与 AD1所成角的余弦值为910，试求：AA1AB的值 解：设 AB1，AA1t， 由题意知A1BC1为所求， 又 A1C1 2，A1Bt21BC1， cosA1BC1 t21t2122t21t21910， t3，即AA1AB3. 规律方法 用平移法求异面直线所成的角的三步法 (1)一作：即据定义作平行线，作出异面直线所成的角； (2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角； (3)三求

12、：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角 3.(1)(2015 安徽省江南十校联考)已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1的底面是边长为 1 的正方形，若平面 ABCD 内有且仅有 1 个点到顶点 A1的距离为 1，则异面直线 AA1，BC1所成的角为( ) A.6 B.4 C.3 D.512 (2)(2015 广州调研)在正四棱锥 V- ABCD 中， 底面正方形 ABCD 的边长为 1， 侧棱长为 2，则异面直线 VA 与 BD 所成角的大小为( ) A.6 B.4 C.3 D.2 (3) 如图所示，点 A 是平面

13、BCD 外一点，ADBC2，E，F 分别是 AB，CD 的中点，且 EF 2，则异面直线 AD 和 BC 所成的角为_ 解析：(1)由题意可知，只有点 A 到 A1距离为 1，即高为 1，所以该几何体是个正方体，异面直线 AA1，BC1所成的角是4. (2)设 ACBDO，连接 VO(图略)，因为四棱锥 V- ABCD 是正四棱锥，所以 VO平面ABCD，故 BDVO，又四边形 ABCD 是正方形，所以 BDAC，所以 BD平面 VAC，所以 BDVA，即异面直线 VA 与 BD 所成角的大小为2，故选 D. (3)如图，设 G 是 AC 的中点，连接 EG，FG. 因为 E，F 分别是 AB

14、，CD 的中点，故 EGBC 且 EG12BC1，FGAD， 且 FG12AD1.则EGF 即为所求， 又 EF 2， 由勾股定理逆定理可得EGF90. 答案：(1)B (2)D (3)90 方法思想判断空间线面位置关系(构造法) 在正方体 ABCD- A1B1C1D1中，E，F 分别为棱 AA1、CC1的中点，则在空间中与三条直线 A1D1，EF，CD 都相交的直线有_条 解析 法一：如图，在 EF 上任意取一点 M，直线 A1D1与 M 确定一个平面，这个平面与 CD 有且仅有一个交点 N， 当 M 取不同的位置时就确定不同的平面， 从而与 CD 有不同的交点 N，而直线 MN 与这三条异

15、面直线都有交点，所以在空间中与这三条直线都相交的直线有无数条 法二： 在 A1D1上任取一点 P， 过点 P 与直线 EF 作一个平面 ， 因 CD 与平面 不平行，所以它们相交，设它们交于点 Q，连接 PQ(图略)，则 PQ 与 EF 必然相交，即 PQ 为所求直线由点 P 的任意性，知有无数条直线与三条直线 A1D1，EF，CD 都相交 答案 无数 名师点评 1.本题难度不大，但比较灵活对平面的基本性质、空间两条直线的位置关系的考查难度一般都不会太大 2注意本题解法较多，但关键在于构造平面，但不少学生不会构造平面，因此不能解决 3点、线、面之间的位置关系可借助正方体为模型，以正方体为主线，

16、直观感知并认识空间点、线、面的位置关系，准确判定线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直 已知空间三条直线 l，m，n，若 l 与 m 异面，且 l 与 n 异面，则( ) Am 与 n 异面 Bm 与 n 相交 Cm 与 n 平行 Dm 与 n 异面、相交、平行均有可能 解析：选 D. 在如图所示的长方体中，m，n1与 l 都异面，但是 mn1，所以 A，B 错误；m，n2与 l 都异面，且 m，n2也异面，所以 C 错误 1已知直线 l平面 ，P，那么过点 P 且平行于直线 l 的直线( ) A只有一条，不在平面 内 B有无数条，不一定在平面 内 C只有一条，且在平面内

17、D有无数条，一定在平面 内 解析：选 C.由直线 l 与点 P 可确定一个平面 ，则平面 ，有公共点，因此它们有一条公共直线，设该公共直线为 m，因为 l，所以 lm，故过点 P 且平行于直线 l 的直线只有一条，且在平面 内 2已知 A、B、C、D 是空间四个点，甲：A、B、C、D 四点不共面，乙：直线 AB 和直线 CD 不相交，则甲是乙成立的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析：选 A.因为 A、B、C、D 四点不共面，则直线 AB 和直线 CD 不相交，反之，直线AB 和直线 CD 不相交，A、B、C、D 四点不一定不共面故甲是乙成立的充

18、分不必要条件 3. 如图，l，A，B，C，且 Cl，直线 ABlM，过 A，B，C 三点的平面记作 ，则 与 的交线必通过( ) A点 A B点 B C点 C 但不过点 M D点 C 和点 M 解析：选 D.AB，MAB，M. 又 l，Ml，M. 根据公理 3 可知，M 在 与 的交线上 同理可知，点 C 也在 与 的交线上 4. 如图所示，ABCDA1B1C1D1是正方体，O 是 B1D1的中点，直线 A1C 交平面 AB1D1于点 M，则下列结论正确的是( ) AA，M，O 三点共线 BA，M，O，A1不共面 CA，M，C，O 不共面 DB，B1，O，M 共面 解析：选 A.连接 A1C1

19、，AC(图略)，则 A1C1AC， A1，C1，A，C 四点共面，A1C平面 ACC1A1. MA1C，M平面 ACC1A1.又 M平面 AB1D1， M 在平面 ACC1A1与平面 AB1D1的交线上， 同理 A，O 在平面 ACC1A1与平面 AB1D1的交线上 A，M，O 三点共线 5. 如图，正方形 ACDE 与等腰直角三角形 ACB 所在的平面互相垂直，且 ACBC2，ACB90，F，G 分别是线段 AE，BC 的中点，则 AD 与 GF 所成的角的余弦值为( ) A.36 B36 C.33 D33 解析：选 A. 延长 CD 至 H.使 DH1，连接 HG、HF，则HFAD. HF

20、DA2 2， GF 6，HG 10. cosHFG86102 62 236. 6 平面 ，相交， 在 ，内各取两点， 这四点都不在交线上， 这四点能确定_个平面 解析：如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面；如果这四点不共面，则任意三点可确定一个平面，所以可确定四个 答案：1 或 4 7. 如图所示，在三棱锥 A- BCD 中，E，F，G，H 分别是棱 AB，BC，CD，DA 的中点，则当 AC，BD 满足条件_时，四边形 EFGH 为菱形，当 AC，BD 满足条件_时，四边形 EFGH 是正方形 解析： 易知 EHBDFG， 且 EH12BDFG， 同理 EFACHG， 且 EF12ACH

21、G，显然四边形 EFGH 为平行四边形要使平行四边形 EFGH 为菱形需满足 EFEH，即 ACBD；要使四边形 EFGH 为正方形需满足 EFEH 且 EFEH，即 ACBD 且 ACBD. 答案：ACBD ACBD 且 ACBD 8. 如图所示，正方体的棱长为 1，BCBCO，则 AO 与 AC所成角的度数为_ 解析：ACAC， AO 与 AC所成的角就是OAC. OCOB，AB平面 BBCC， OCAB.又 ABBOB， OC平面 ABO. 又 OA平面 ABO，OCOA. 在 RtAOC 中，OC22，AC 2， sinOACOCAC12， OAC30.即 AO 与 AC所成角的度数为 30. 答案：30