第四章不定积分

1、第四章 不定积分一、不定积分的概念和性质1原函数：若，则称为的一个原函数2不定积分：若，则3不定积分的基本性质：（1） 或 ；（2） 或 例1 （1）若是的一个原函数，求；（2）若是的一个原函数，求；（3）若是的一个原函数，求；（4）若，求；（5）求；（6）若，求解 （1）因为，所以（2）因为，所以（3）因为，则，所以（4）因为，所以 （5）（6）二、直接积分法被积函数经过恒等变形后，能用基本积分公式和不定积分的性质计算不定积分的方法，称为直接积分法例2 计算下列不定积分：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）；（7）； （8）；（9）解（1）（2）（3）（4）（5）（6）（

2、7）（8）（9）三、换元积分法1第一换元积分法（凑微分法）设，则常用的凑微分公式：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）； （10）；（11）；（12）；（13）；（14）；（15）；（16）；（17）注 结合导数、微分基本公式理解这些凑微分公式及后面例题中出现的较复杂凑微分公式； 熟练掌握这些常用的凑微分公式和熟记基本积分公式； 分部积分法中也会用到凑微分公式例3 计算下列不定积分：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）；（11）； （12）；（13）； （14）；（15）解（1）（2）（3）（4）

3、注 注意区分以上积分中的幂指数为奇数或偶数时的解法若将换为，解法相同（5）（6）（7） （8）（9）（10）被积函数的分子、分母同除以，得（11）（12） （13） 注 与三角函数有关的积分中，常常使用半角公式和积化和差公式以降低三角函数的幂指数，简称降幂法是常用的积分方法（14） （15）*例4 计算下列不定积分：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）解 （1）因为，所以（2）因为，所以（3） （4）因为，所以 （5）因为，所以（6）被积函数的分子、分母同除以，得（7）因为，所以 2第二换元积分法设，则注 （1）当被积函数中含有根式时，一般要通过适当换元，去掉根号后再积

4、分，这是第二换元积分法的主要作用常见的代换有：含有形如的根式时，作代换；含有形如、（）的根式时，分别作三角代换：，；（2）当被积函数中分母关于的次数比分子关于的次数至少大时，可考虑倒代换：；（3）当被积函数为所构成的代数式时，可考虑指数代换：例5 计算下列不定积分：（1）； （2）； （3）； （4）；（5）； （6）解 （1）设，则，于是（2）设，则，于是 （3）设，则，于是 （4）设，则，于是由得，所以 （5）设，则，于是由于，所以（6）设，则，于是 由得，所以 例6 计算下列不定积分：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）解（1）令，则，于是（2）（3）（4）令，则，于是（5）令

5、，则，于是 例7 计算下列不定积分：（1）； （2）； （3）； （4）解（1）（2）（3）（4） 注 例7（2）中使用加项、减项的方法，（3）、（4）中是将分母有理化若利用第二换元积分法求解，计算过程较烦琐，读者自行验证四、分部积分法设、都是可微函数，且、都有原函数，则，简写为注 （1）应用分部积分公式的关键，是正确选择和一般把六种基本初等函数“反对幂指三常”（口诀）中位置在前的函数作为；（2）常用的一个不定积分：例8 计算下列不定积分：（1）； （2）；（3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）；（11）； （12）解（1）（2） 注 （1）、（2）中应

6、用分部积分公式的次数与多项式的次数是相同的，因而计算过程较烦琐（3）（4）（5）设，则，于是，由得，所以注 被积函数中含有对数函数或反三角函数时，先作变量代换可使计算容易些，当它们的幂指数大于时尤甚 （6） ， 移项、整理得（7）（8）法一 设，则，于是由得，所以法二 （9）（10）法一法二（11） （12） 注 虽然（12）和（9）中两个积分在形式上差异较大，但解法相同五、有理函数和三角函数有理式的积分1有理函数的积分（1）如果真分式的分母有一次因式，则化为部分分式后，单因式对应形如的简单分式；重因式对应形如， ，的简单分式（2）如果真分式的分母有不可分解的二次因式（其中），则化为部分分式后

7、，单因式对应形如的简单分式；重因式对应形如， ，的简单分式例9 计算下列不定积分：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）解 （1）设，上式两端同乘以，得令，得；令，得；令，得所以 （2）设，上式两端同乘以，得将上式左端展开，并比较两边的同次幂的系数，得解得，于是（3）因为，所以（4）因为，所以（5）令，则，于是 注 对于大指数幂，若不进行变量替换，计算往往很复杂或很困难（6）设，则，于是2三角函数有理式的积分三角函数有理式是指三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数，由于各三角函数都可用及的有理式表示，所以三角函数有理式就是、的有理式三角函数有理式的积分一般是经过万能代换（或半

8、角代换）转化为有理函数的积分来计算的，即令，则，于是； ； 例10 计算下列不定积分：（1）； （2）；（3）； （4）解 令，则，于是，（1）（2）（3）（4）注 （1）三角函数有理式的积分需要化为有理函数的积分，而有理函数的积分往往比较繁琐，因此这种代换不一定是最简捷的代换如例4，用凑微分法很简便：（2）一般地，三角函数有理式的幂较高时，有理函数的幂也较高，积分就越困难3、三角函数有理式积分的一般思路和特殊方法三角函数有理式的积分方法不一，纷繁复杂，一题多解很常见，但基本思路是：（1）通过分子、分母同时乘以某个因式，将分母转化为形如或的单项式；常用的转化公式有； ； ；（2）将分母看作一个整体；（3）借助恒等式：例11 计算下列不定积分：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）解 （1）（2）（3）（4）（5）因为，所以， 习 题 四1求下列不定积分：（1）； （2）；（3）； （4）； （5）； （6）；（7）； （8）； （9）；（10）；（11）； （12）； （13）； （14）；（15