算法之椭圆的生成算法

1、椭圆和直线、圆一样，是图形学领域中的一种常见图元，椭圆的生成算法（光栅转换算法）也是图形学软件中最常见的生成算法之一。在平面解析几何中，椭圆的方程可以描述为 (x x0)2 / a2+ (y y0)2 / b2 = 1，其中 (x0, y0)是圆心坐标， a和 b 是椭圆的长短轴，特别的，当 (x0, y0)就是坐标中心点时，椭圆方程可以简化为 x2 / a2 + y2 / b2 = 1。在计算机图形学中，椭圆图形也存在在点阵输出设备上显示或输出的问题， 因此也需要一套光栅扫描转换算法。 为了简化， 我们先考虑圆心在原点的椭圆的生成， 对于中心不是原点的椭圆， 可以通过坐标的平移变换获得相应位

2、置的椭圆。在进行扫描转换之前，需要了解一下椭圆的对称性，如图（1）所示：图（ 1）椭圆的对称性中心在原点。焦点在坐标轴上的标准椭圆具有 X 轴对称、 Y 轴对称和原点对称特性，已知椭圆上第一象限的 P 点坐标是 (x, y) ，则椭圆在另外三个象限的对称点分别是 (x, -y)、(-x, y) 和 (-x, -y) 。因此，只要画出第一象限的四分之一椭圆，就可以利用这三个对称性得到整个椭圆。在光栅设备上输出椭圆有很多种方法， 可以根据直角平面坐标方程直接求解点坐标， yekeyii 利用极坐标方程求解，但是因为涉及到浮点数取整，效果都不家用制氧机十大品牌好，一般都不使用直接求解的方式。 本文就

3、介绍几种计算机图形学中两种比较常用的椭圆生成方法：中点画椭圆算法和 Bresenham椭圆生成算法。1、 中点画椭圆法中点在坐标原点，焦点在坐标轴上（轴对齐）的椭圆的平面集合方程是：x2 / a2 + y2 / b2 = 1，也可以转化为如下非参数化方程形式：F(x, y) = b2x2 + a2y2 - a2b2 = 0（方程 1）无论是中点画线算法、 中点画圆算法还是本节要介绍的中点画椭圆算法，对选择x 方向像素增量还是 y 方向像素增量都是很敏感的。 举个例子，如果某段圆弧上， x 方向上增量 +1 个像素时， y 方向上的增量如果 < 1，则比较适合用中点算法，如果 y 方向上的

4、增量 > 1，就会产生一些跳跃的点，最后生成的光栅位图圆弧会有一些突变的点，看起来好像不在圆弧上。因此，对于中点画圆弧算法，要区分出椭圆弧上哪段 x 增量变化显著，哪段 y 增量变化显著，然后区别对待。由于椭圆的对称性，我们只考虑第一象限的椭圆圆弧，如图（2）所示：家用制氧机十大品牌图（ 2）第一象限椭圆弧示意图定义椭圆弧上某点的切线法向量N 如下：对方程 1 分别求 x 偏导和 y 偏导，最后得到椭圆弧上 (x,y) 点处的法向量是 （2b2x, 2a2 y）。 dy/dx = -1 的点是椭圆弧上的分界点。此点之上的部分（橙褐色部分）椭圆弧法向量的 y 分量比较大，即：2b22 ；此

5、点之下的部分（蓝(x + 1) < 2a (y0.5)紫色部分）椭圆弧法向量的 x 分量比较大，即： 2b22。(x + 1) > 2a (y0.5)对于图（ 2）中橙褐色标识的上部区域， y 方向每变化 1 个单位， x 方向变化大于一个单位，因此中点算法需要沿着x 方向步进画点， x 每次增量加 1，求y 的值。同理，对于图（ 2）中蓝紫色标识的下部区域，中点算法沿着y 方向反家用制氧机十大品牌向步进， y 每次减 1，求 x 的值。先来讨论上部区域椭圆弧的生成，如图（3）所示：图（ 3）中点画椭圆算法对上部区域处理示意图假设当前位置是 P(xii，则下一个可能的点就是P点右边

6、的ii点或右, y )P1(x +1, y )下方的 P2(x+1, y-1)点，取舍的方法取决于判别式d ，d 的定义如下：iiiidi = F(xi +1, yi -0.5) = b2(x i+1)2 + a2(yi-0.5)2 a2b2若 di < 0，表示像素点 P1 和 P2 的中点在椭圆内， 这时可取 P1 为下一个像素点。此时 xi+1 = xi + 1， yi+1 = yi，代入判别式 di 得到 di+1：di+1 = F(xi+1 +1, yi+1-0.5) = b2(xi +2)2 + a2(yi -0.5)2 a2b2 = di + b2(2xi + 3)家用制氧

7、机十大品牌计算出 di 的增量是 b2(2xi + 3)。同理，若 di >= 0，表示像素点 P1 和 P2 的中点在椭圆外，这时应当取 P2 为下一个像素点。此时 xi+1 = xi + 1，yi+1 = yi - 1，代入判别式 di 得到 di+1：di+1 = F(xi+1 +1, yi+1-0.5) = b2(xi +2)2 + a2(yi -1.5)2 a2b2 = d1 + b2(2xi+3) + a2(-2yi +2)计算出 di 的增量是 b2(2xi +3)+a2(-2yi +2)。计算 di 的增量的目的是减少计算量，提高算法效率，每次判断一个点时，不必完整的计算

8、判别式 di ，只需在上一次计算出的判别式上增加一个增量即可。接下来继续讨论下部区域椭圆弧的生成，如图（4）所示：图（ 4）中点画椭圆算法对下部区域处理示意图假设当前位置是 P(xi , yi )，则下一个可能的点就是 P 点左下方的 P1(xi -1, yi-1)点或下方的 P2(xi , yi -1)点，取舍的方法同样取决于判别式 di ，di 的定义如下：di = F(xi +0.5, yi -1) = b2(x i+0.5)2 + a2(yi -1)2 a2b2家用制氧机十大品牌若 di < 0，表示像素点 P1 和 P2 的中点在椭圆内， 这时可取 P2 为下一个像素点。此时

9、xi+1 = xi + 1， yi+1 = yi - 1，代入判别式 di 得到 di+1：di+1 = F(xi+1 +0.5, yi+1 -1) = b2(xi +1.5)2 + a2(yi -2)2 a2b2 = di + b2(2xi +2)+a2(-2yi +3)计算出 di 的增量是2i2i+3)。同理，若i，表示像素点P1和P2b (2x+2)+a (-2yd >= 0的中点在椭圆外，这时应当取P1 为下一个像素点。此时xi+1i ，i+1i- 1，= x y= y代入判别式 di 得到 di+1：di+1 = F(xi+1 +0.5, yi+1 -1) = b2(xi +

10、0.5)2 + a2(yi -2)2 a2b2 = d1 + a2(-2yi +3)计算出 di 的增量是 a2(-2yi +3)。中点画椭圆算法从 (0, b)点开始，第一个中点是 (1, b 0.5)，判别式 d 的初始值是：d0 = F(1, b0.5) = b2 + a2 (-b+0.25)上部区域生成算法的循环终止条件是： 2b22 ，下部区域的循(x + 1) >= 2a (y0.5)环终止条件是 y = 0，至此，中点画椭圆算法就可以完整给出了：20 voidMP_Ellipse( intxc,intyc,inta ,intb )21 22 double sqa = a *

11、 a ;23 double sqb = b * b ;2425doubled= sqb+ sqa*(- b + 0.25 );家用制氧机十大品牌26 int x = 0;27 int y = b ;28EllipsePlot( xc , yc , x , y );29while( sqb*( x+1 )< sqa*( y-0.5 )3031if( d<0)3233d+= sqb*( 2* x+ 3);3435else3637d+=( sqb*( 2 * x+3)+ sqa*(-2* y +2);38y-;3940x+;41EllipsePlot( xc ,yc,x ,y );424

12、3d=( b* ( x+ 0.5 )*2+( a*( y-1)*2- ( a* b ) * 2;44 while ( y > 0)45 46if( d < 0)4748d+= sqb*( 2* x+ 2) + sqa * (- 2 * y + 3);49x+;5051else5253d+= sqa*(- 2* y+ 3);5455y-;56EllipsePlot( xc ,yc, x ,y );57 58 EllipsePlot() 函数利用椭圆的三个对称性，一次完成四个对称点的绘制，因为简单，此处就不再列出代码。家用制氧机十大品牌2、Bresenham 算法中点画椭圆法中，计算判

13、别式 d 使用了浮点运算，影响了椭圆的生成效率。如果能将判别式规约到整数运算， 则可以简化计算， 提高效率。 于是人们针对中点画椭圆法进行了多种改进，提出了很多种中点生成椭圆的整数型算法，Bresenham椭圆生成算法就是其中之一。在生成椭圆上部区域时，以x 轴为步进方向，如图（ 5-a）所示：图（ 5）Bresenham椭圆生成算法判别式x 每步进一个单位， 就需要在判断 y 保持不变还是也步进减 1，bresenham算法定义判别式为：D = d1 d2家用制氧机十大品牌如果 D < 0，则取 P1 为下一个点，否则，取 P2 为下一个点。采用判别式 D，避免了中点算法因 y-0.5

14、 而引入的浮点运算，使得判别式规约为全整数运算，算法效率得到了很大的提升。根据椭圆方程，可以计算出d1 和 d2 分别是：d1 = a2(yi 2 y2)d2 = a2(y2 yi+1 2)以 (0, b)作为椭圆上部区域的起点，将其代入判别式D 可以得到如下递推关系：Di+1 = Di + 2b2(2xi + 3)(Di < 0)Di+1 = Di + 2b2(2xi + 3) 4a2(yi - 1)(Di >= 0)D0 = 2b2 2a2b + a2在生成椭圆下部区域时，以 y 轴为步进方向，如图（ 5-b）所示，y 每步进减一个单位，就需要在判断 x 保持不变还是步进加一个

15、单位，对于下部区域，计算出 d1 和 d2 分别是：d1 = b2(xi+12 x2)d2 = b2(x2 xi 2)以 (xp p 作为椭圆下部区域的起点，将其代入判别式D可以得到如下递推关系：, y )家用制氧机十大品牌Di+1 = Di 4a2(yi - 1) + 2a2(Di < 0)Di+1 = Di + 2b2(xi + 1) 4a2(y - 1) + 2a2 + b2(Di >= 0)D0 = b2(xp + 1)2 +b2xp2 - 2a2b2 + 2a2(yp - 1)2根据以上分析， Bresenham椭圆生成算法的实现就比较简单了：61voidBresenha

16、m_Ellipse( intxc,intyc,inta ,intb )62 63 int sqa = a * a ;64 int sqb = b * b ;6566 int x = 0;67inty= b ;68intd=2 * sqb-2* b* sqa + sqa ;69EllipsePlot( xc ,yc, x ,y );70intP_x= ROUND_INT( double ) sqa / sqrt ( double )( sqa +sqb ) );71 while ( x <= P_x )72 73if( d< 0)7475d+=2* sqb*( 2* x+3);7677else7879d+=2* sqb*( 2* x+3) - 4 * sqa * ( y - 1);80y-;8182x+;83EllipsePlot( xc ,yc ,x ,y );84 85家用制氧机十大品牌86d= sqb*( x * x+ x )+ sqa*( y * y- y )- sqa* sqb ;87 while (