2017-2018学年高中数学第一章推理与证明3反证法教学案北师大版选修2-2

1、3 反证法对应学生用书 P8拍象问遷情境化，新知无师自通%入门蓉科1问题：在今天商品大战中，广告成了电视节目中的一道美丽的风景线，几乎所有的 广告商都熟谙这样的命题变换艺术如宣传某种食品，其广告词为：“拥有的人们都幸福， 幸福的人们都拥有”该广告词实际说明了什么？提示：说的是“不拥有的人们不幸福”.2.已知正整数a,b,c满足a2+b2=c2.求证：a,b,c不可能都是奇数.问题 1：你能利用综合法和分析法给出证明吗？提示：不能.问题 2：a,b,c不可能都是奇数的反面是什么？此时，还满足条件a2+b2=c2吗？提示：a,b,c都是奇数.此时不满足条件a2+b2=c2.1. 反证法的定义在证明

2、数学命题时，先假定命题结论的反面成立, 在这个前提下，若推出的结果与定义、 公理、定理相矛盾,或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾,从而断定命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立，这种证明方法叫作反证法.2. 反证法的证题步骤作出否定结论的假设;（2）进行推理，导出矛盾；（3）否定假设，肯定结论.归纳升华领悟-1 .反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题结论的目的.2.可能出现矛盾的四种情况：（1）与题设矛盾；（2）与假定矛盾；（3）与公理、定理或已 被证明了的结论矛盾；（4）在证明过程中，推出自相矛盾的结论.高频若点题组化.名师一点就念对应学生用书P82用反证法

3、证明否(肯)定式命题例 1已知三个正数a,b,c成等比数列，但不成等差数列，求证：a,b,. c不成等差数列.思路点拨此题为否定形式的命题，可选用反证法，证题关键是利用等差中项、等比中项.精解详析假设，a,b,c成等差数列，贝a+c= 2b,即a+c+ 2ac= 4b,而b1 2=ac,即卩b=.ac,.a+c+ 2ac= 4ac, ( a-c)2= 0,即a=c,从而a=b=c,与a,b,c不成等差数列矛盾，故a,b,c不成等差数列.一点通(1) 对于这类“否定”型命题，显然从正面证明需要证明的情况太多，不但过程繁琐，而且容易遗漏，故可以考虑采用反证法.一般地，当题目中含有“不可能”“都不”

4、“没有” 等否定性词语时，宜采用反证法证明.(2) 反证法证明“肯定”型命题适宜于结论的反面比原结论更具体更容易研究和掌握的命题.1已知a是整数，a2是偶数，求证：a也是偶数. 证明：假设a不是偶数，则a为奇数.2 2设a= 2m+ 1(m为整数)，贝U a= 4m+ 4m 1. 4( m+m 是偶数，4m+ 4m 1 为奇数，即a2为奇数，与已知矛盾.a一定是偶数.2 如图，正方体ABCDABCD中，点M是AD的中点，点N是CD的中点，用反证法证明直线BM与直线AN是两条异面直线.证明：假设直线BM与A N共面.3则AD平面ABND,且平面ABNDT平面ABCD BN, 由正方体特征知AD/

5、平面ABCD故AD/BN又AiD/BC所以BIN/ BC这与BNH BC= B矛盾，故假设不成立.所以直线BM与直线AN是两条异面直线.例 2求证函数f(x) = 2x+ 1 有且只有一个零点.思路点拨 一般先证存在性，再用反证法证唯一性.精解详析 (1)存在性：因为 2X 2 + 1= 0,所以一为函数f(x) = 2x+ 1 的零点.所以函数f(x) = 2x+ 1 至少存在一个零点.唯一性：假设函数f(x) = 2x+ 1 除一1外还有零点XOXoM1，则f ig =f(xo)=0.1故假设不成立，即函数f(x) = 2x+ 1 除2 外没有零点.综上所述，函数f(x) = 2x+ 1

6、有且只有一个零点.一点通(1) 结论以“有且只有”、“只有一个”、“唯一存在”等形式出现的“唯一”型命题，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证明简单而又明了.(2) “有且只有”的含义有两层存在性：本题中只需找到函数f(x) = 2x+ 1 的一个零点即可唯一性：正面直接证明较为困难， 故可采用反证法寻求矛盾，从而证明原命题的正确性.3.过平面a上一点A,作直线a丄a，求证：a是唯一的.证明：假设a不是唯一的，则过点A至少还有一条直线b满足b丄a.a,b是相交直线，a,b可以确定一个平面3.即 2X1二xo= 2,XO1 矛盾.用反证法证明唯一性命题这与4设a和B相交于过点A的直线C.a丄

7、a ,b丄a,.a丄c,b丄c,又anb=Ac丄B.这与cB矛盾.故过点A垂直于平面a的直线有且只有一条，即a是唯一的.4.用反证法证明：过已知直线a外一点A只有一条直线b与已知直线a平行.证明：假设过点A还有一条直线b与已知直线a平行，即bnb=A,b/a. 因为b/a,由平行公理知b/b.这与假设bnb=A矛盾，所以过直线外一点只有一条直线与已知直线平行.用反证法证明“至多”或“至少”类命题.2n2n2n例 3 已知a,b,c均为实数，且a=x- 2y+ ,b=y- 2z+,c=z- 2X+. 求证：a,b,c中至少有一个大于 0.精解详析 假设a,b,c都不大于 0，即a 0,b 0,c

8、 0.所以a+b+c0.这与a+b+cW0矛盾，故a,b,c中至少有一个大于 0.一点通(1) 对于否定性命题或结论中出现“至多”“至少”“不可能”等字样时，常用反证法.(2) 常用的“原结论词”与“反设词”归纳如下表：原结论词至少有一个至多有一个至少有n个至多有n个反设词一个也没有（不存在）至少有两个至多有n 1 个 至少有n+ 1 个55.已知X, y0,且X+y2.61 -4-x1 +y求证： -, 中至少有一个小于 2.y x1 +x1 +y证明：假设 ，都不小于 2.y xTx0,y0,1 +x 2 y,1 +y2 x. 2+x+y2(x+y),即x+yw2,这与已知x+y2 矛盾.

9、X3.则2ax1+bx1+c= 0,；ax2+bx2+c= 0,严+bx3+c= 0.由一得：a(X1+X2) +b= 0,由一得：a(X1+X3) +b= 0,一得：a(X2-X3)= 0,因为a* 0,所以X2X3= 0 得X2=X3.这与假设X1*X2*X3矛盾，所以原方程最多只有两个不相等的实根.方法规律小结用反证法证题要把握三点：(1) 必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可 能，证明都是不完全的.(2) 反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结 论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法.(3) 推导出来的矛盾可能

10、多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与定理、 公理相矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的.m中至少有一个小于x2.6.求证一元二次方程ax2+bx+c= 0(0)最多有两个不相等的实根.证明：“最多有两个”的反设是“至少有三个”，假设方程有三个不相等的实根X1,X2,1 +x7对应课时跟踪训练三课下训练经换化*贵在鮭类旁通1三人同行，一人道：“三人行，必有我师”，另一人想表示反对，他该怎么说？( )A. 三人行，必无我师B. 三人行，均为我师C. 三人行，未尝有我师D. 三人行，至多一人为我师解析：“必有”意思为“一定有”，其否定应该是“不一定有”，故选C.答案：C2.(山东高考)用反证

11、法证明命题“设a,b为实数，则方程x3+ax+b= 0 至少有一个实根”时，要做的假设是()A.方程x3+ax+b= 0 没有实根3B.方程x+ax+b= 0 至多有一个实根C.方程x3+ax+b= 0 至多有两个实根D.方程x3+ax+b= 0 恰好有两个实根解析：至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x3+ax+b= 0 没有实根”.答案：A3.若a,b,c是不全相等的正数，给出下列判断：1(ab)2+ (bc)2+ (ca)2工 0；2ab与a0,y0,z0,1a=x+一,b=y+ -,c=z+1，贝U a,b,c三个数(zx解析：因为a,b,c不全相等，所以正确；显然正确

12、，中的a*c,b*c,a*b可以同时成立，所以错，故选C.答案：CA. 至少有一个不大于 2B. 都小于 2C. 至少有一个不小于 2D. 都大于 2111解析：假设a,b, c都小于 2,则a+b+c180,这与三角形内角和为 180矛盾，故假设 错误.2所以一个三角形不能有两个直角.3假设ABC中有两个直角，不妨设ZA= 90,/B= 90.上述步骤的正确顺序为 _ .解析：由反证法的一般步骤可知，正确的顺序应为答案：7. 如果非零实数a,b,c两两不相等，且 2b=a+c,2 11、证明：匸=一+一不成立.b a c2 1 1 亠、小 2a+c2b证明：假设二=+-成立，则=,9b a

13、cb ac ac2a+c故b=ac,又b= ,22=ac,即（ac）2= 0,a=c.这与a,b,c两两不相等矛盾.2 1 1因此孑 1+1 不成立.所以10 xx 2f(x) =a+xi(a1).(1) 求证：函数f(x)在(一 1 ,+)上为增函数.(2) 用反证法证明方程f(x) = 0 没有负数根.证明：(1)任取xi,X2 ( 1 ,+)，不妨设xi1，故y=ax为增函数，又X1+ 10,X2+ 10,X2 2X1 2X2?X1 + X1?X2+X2+ 1X1+ 1 X1+X2X2 2X1 2 于是f(X2)f(x1)=ax2ax1+x+1，即f(X2)f(X1),故函数f(X)在(1,+8)上为增函数.(2)法一：假设存在Xo1，当xoo 时，0