2018届高三数学二轮复习冲刺提分作业第四篇考前冲刺巧用12个解题技法理

1、巧用12个解题技法技法一特例法在解决选择题和填空题时，可以取一个(或一些)特殊数值(或特殊位置、特殊函数、特殊点、特殊方程、特殊数列、特殊图形等)来确定其结果，这种方法称为特值法.特值法只需对特殊数值、 特殊情形进行检验，省去了推理论证、烦琐演算的过程，提高了解题的速度.特值法是考试中解答选择题和填空题时经常用到的一种方法，应用得当可以起到“四两拨千斤”的功效例 1(1)在数列an中，ai=2，an+i=an+l n 则 an=()A.2+1 n n B.2+( n-1)ln nC.2+nln nD.1+ n+l nn(2)AD,BE分别是 ABC 的中线，若|，|=| |=1,且与汇；的夹角

2、为120,则答案(1)A(2)解析 (1)解法一 :a2=a1+In：-，a3=a2+ln :3 j _ x X 各式左、右两边分别相加并化简，得 an=a1+l n ：丨，=an-1+lnn1 +n- U(n 2)，将以上4n _ X X -I =2+1 n n.解法二:不妨取 n=1,则有 a2=a1+In 2=2+ln 2.选项 A，a2=2+In 2，合题意，但不能就此下结论，认定这个是答案选项 B，a2=2+ln 2，也合题意；选项 C,a2=2+2In 2,不合题意，排除；选项 D,a2=3+ln 2,不合题意,排除.3再取 n=2,则有 a3=a2+ln - =2+In 3,选项

3、 B,a3=2+2ln 3,不合题意，排除 B,故选 A.方法点睛(1)应用特例法排除干扰选项的关键在于利用选项的差异性选取一些特例来检验选项是否与题干对应，从而排除干扰选项(2)填空题的结论唯一或题设条件暗示答案为定值是应用此法的前提60(2)等边三角形为符合题意的 ABC的一个特例,则 |AB|=一:二. c=|乙二|,O-3 -跟踪集训1.等差数列an的前 m 项和为 30,前 2m 项和为A.130B.170C.210D.2602.函数 f(x)=cos x log2|x|的图象大致为()3.如图，点 P 为椭圆 +1=1 上第一象限内的任意一点，过椭圆的右顶点 A、上顶点 B 分别作

4、 y 轴、x 轴的平行线，它们相交于点 C,过点 P 引 BC,AC 的平行线，分别交 AC 于点 N,交 BC 于点 M,交 AB 于D E 两点，记矩形 PMCN 勺面积为 S1,三角形 PDE 的面积为 S2,则S：S2=()1 1A.1 B.2 C. D.技法二图解法(数形结合法)对于一些含有几何背景的题目，若能“数中思形” “以形助数”，则往往可以借助图形的直观性，迅速作出判断，简捷地解决问题，得出正确的结果.Venn 图、三角函数线、函数的图象及方程 的曲线等，都是常用的图形.1例 2(1)设向量 a,b,c 满足|a|=|b|=1,a b= ,(a- c) (b -c)=0,则

5、|c| 的最大值等于()V3 + 1 棉-1A.B.C. .D.1+ (4u - 3)工 v 0,(2)(2016 天津,14,5 分)已知函数 f(x)= I 切山+ 1)十匚x事 (a0,且 a 1)在 R100,则它的前 3m 项和为(-4 -X上单调递减，且关于 x 的方程|f(x)|=2-恰有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是_ .-5 -答案A閔JT解析解法一(几何法)：如图,a= t：,b=匸,c=.由题意有/ AOB=，点 C 在圆7T达到点 D 时,|c| 最大,|c|ma=|+| ；|=sin +cos解法二(建系法或称坐标法因为函数 f(x)在 R 上单调递减fO2

6、+ (4tz - 3) * 0 + 3(3/(0),3 - 4ajA 0,2M 上.当点 C.选 A.设点 C 的坐标为(x,y).a=,c=(x,y).则(a- c) (b -c)=-=0.1+y2=,它的轨迹是图中圆M.当点 C 达到点 D 时,|c|最大,|c|max=|T|+|=sin7T -y/3 +1+coS =.选 A.7T /3 +1):建立如图所示的坐标系ir6-6 -所以上0 a 1P13解得.作出函数 y=|f(x)|,y=2-的图象如图.x由图象可知，在0,+a)上,|f(x)|=2-有且仅有一个解；在(-a,0)上,|f(x)|=2-X同样有且-7 -2 1 2仅有一

7、个解，所以 3a2,即 a .综上可得 a ,所以 a 的取值范围是二.的概率为（技法三估算法例 3（1） （2015 湖北,7,5 分）在区间 0,11A.pip2p3B.p2p3piC.p3pp2D.p3p2pi方法点睛图解法实质上就是数形结合的思想方法在解决选择题或填空题中的应用,利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论方法的关键是正确把握各种式子与几何图形间的对应关系,这也是高考命题的热点准确运用此类,利用几何图形中的相关结论求出结跟踪集训期 11.函数 y=|lo x|的定义域为a,b,值域为0,2,贝 U 区间a,b的长度 b-a 的最小值是（）3A.22.已知函数f(

8、x)=C.3” 4% - 4hx 15X2- 4 尤十瓦北 A 1 和函数3D.；g(x)=log2X,则函数 h(x)=f(x)-g(x)的零点个数为A.1B.2C.3D.43.记集合卩（X,刃I（尤一刃（V - m兰。-小表示的平面区域分别为区域P,区域 Q,PQQ表示的平面区域为区域,Q=（x,y）|0 ”的概 12-8 -（2）已知三棱锥 P-ABC 的侧面与底面所成二面角都是60 ,底面三角形三边长分别是7、89,则此三棱锥的侧面面积为（）A.12 .B.24 .C.6 .D.18 .答案（1）B（2）B1解析（1）满足条件的 x,y 构成的点（x,y）在正方形 OBCA其边界上.事

9、件“ x+y”对应的1图形为图所示的阴影部分；事件“|x -y|w”对应的图形为图所示的阴影部分；事件1“xyw”对应的图形为图所示的阴影部分.对三者的面积进行比较，可得 p2p3 0)t 0).-10 -技法五换元法换元法又称辅助元法、变量代换法.通过引入新的变量，可以把分散的条件联系起来，使隐含的条件显露出来，或者变为熟悉的形式,简化计算或证明.换元的实质是转化，关键是构造元和设元,理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，使非标准型问题标准化、复杂问题简单化.换元法经常用于三角函数的化简求值、复合函数解析式的求解等典型例题-11 -例 5 椭圆】丘+4=1 上有两点 P、Q,0 为原点，连

10、接 OR OQ,koPkod=-4.求证:|0P|2+|OQ|2等于定值;(2)求线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程.(x =解析证明：设：P(4cos0i,2sin0i),Q(4cos02,2sin02),2sin 2sin 02, 4cos 6. 4cos 07则 koP -koQ=1=-,整理得 cos0icos02+sin0isin02=0,即 cos(0仁02)=0.222222 |0P| +|0Q| =16cos0i+4sin0i+16cos02+4sin022 2=8+i2(cos0计 cos02)=20+6(cos 20i+cos 202)=20+i2cos(0i+02)cos

11、(0i-02)=20,即|OP|2+|OQ|2等于定值 20.(2)由中点坐标公式得到线段PQ 的中点 M 的横、纵坐标分别为 x=2(cos0i+cos02),y=sin0i+sin02,儒2所以有 +y =2+2(cos0icos02+sin0isin02)=2+2cos(0i-02)=2,即所求线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程为+ =i.方法点睛 由椭圆方程，联想到 cos20+sin20=i,于是可进行三角换元”(得到的是椭圆的参数方程),通过换元引入新的参数,转化为三角函数问题进行研究本题还要求能够熟练使用三角公式和“平方法”，在由中点坐标公式求出M 点的坐标后，将所得方程稍作变形

12、，再平方相加，即(cos0计 cos02)2+(sin0计 sin02)2,这是求点M 的轨迹方程的关键一步.一般地，求动点的轨迹方程运用“参数法”时，我们可以将点的横、纵坐标分别表示为一个或几个参数的函数，再运用“消参法”消去所含的参数，即得到所求的轨迹方程.跟踪集训-12 -i.若函数 y=f(x)的值域是,则函数F(x)=f(101-13-2.函数f(x)=cos2X-2COS爹的一个单调递增区间是(A. -C.3.不等式 log2(2x-1) log2(2X+1-2)2的解集是1 12222444.已知实数 x,y 满足 4x -5xy+4y =5,设 S=x +y ,贝 U+ 的值为

13、_B.D.-14 -技法六构造法用构造法解题的关键是由条件和结论的特殊性构造数学模型，从而简化推导与运算过程构造法是建立在观察联想、分析综合的基础上的，首先应观察题目，观察已知条件形式上的特点，然后联想、类比已学过的知识及各种数学式子、数学模型，深刻了解问题及问题的背景（几何背景、代数背景），通过构造几何、函数、向量等具体的数学模型快速解题.典型例题例 6 （1）如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体各个面的面积中，最小的值为（）A.2 .B.8C.4 .D.8 .1_ m已知 m，n (2，e)，且- nB.m 2+D.m，n 的大小关系不确定答案(1)B

14、(2)A解析（1）构造棱长为 4 的正方体，由三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥P-ABC，其中点 P 、 B 分 另 U 为 相 应 棱 的 中 点因 为人弓厂： =8.因为 8. 4. 8,所以该几何体各个面的面积中，最小的值为 8,故选1SAPAB=SAPB(=XX4X4=8，SPAC=1丿=2X4X-15 -B.-16 -1 1 1 12727(2)由原不等式可得 - 一 ln m-ln n, 即+ln n0, 故函数 f(x)在(2,e)上单调递增.因为 f(n)f(m), 所以 *m故选 A.方法点睛 应用构造法的技巧：是“定目标构造”，从已知条件入手，紧扣要解决的问题进行构造

15、，把陌生冋题构造为熟悉的冋题;二是“解决构造的问题”，用相关的知识解决所构造的问题.跟踪集训1 1 11.若 a=ln ：-：,b=ln 1 1 1-一L,c=ln =-匚亠：,贝 y a,b,c 的 大 小关系2.函数 y=+ 1的最小值为3.已知 x,y,z (0,1),求证：x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)-1 恒成立,求实数 a 的取值范围.2ct -解析If(x) -1 ?-1 ? 2ax2-ex,由条件知,2ax2-ex对于任意 xl恒成立.令 g(x)=x2-ex,h(x)=g(x)=2x-ex,则 h(x)=2-ex,当 x1,+a)时,h(x)=2-ex2-e0,h(

16、x)=g(x)=2x -ex在1,+a)上单调递减h(x)=2x -exW2-e0,即 g(x)-1 在1,+a)上恒成立，只需 2ag(x)max=1-e,匸+胡 a ,故实数 a 的取值范围是.方法点睛应用分离参数法解决不等式恒成立问题或有解问题然后将问题转化为参数与函数最值的大小关系问题.分离参数时要注意参数系数的符号是否会发生变化，如果参数的系数符号为负号，则分离参数时应注意不等号的变化，否则就会导致错解.跟踪集训若不等式|x- 1| kx-2 对一切实数 x 恒成立，则实数 k 的取值范围是 _ .技法九整体代换法整体代换法是根据式子的结构特征,在求值过程中，直接将两数或多个数之和的

17、表达式当成分离参数法是求解不等式有解、恒成立问题常用的方法,通过分离参数将问题转化为相应函,关键在于准确分离参数-20 -一个整体来处理，从而建立已知和所求之间的关系或方程进行求解的方法.利用该种方法求值,可以避免烦琐的计算.该方法适用于等差、等比数列中连续几项和的有关计算-i21 -3是正数，求证：+:+ 一 :- .典型例题例 9(1)等比数列an中,已知 a 计 a3=8,a5+a7=4,则 a9+aii+ai3+ai5的值为()A.iB.2C.3D.5已知函数 f(x)的导函数为 f (X),且满足 f(x)=2fcos x+sin2TiA.0B.C.iD.答案C(2)B解析(i)解法

18、一:设等比数列an的公比为 q,则 a5=aiq3 4,a7=a3q4,勺+幻41所以x+2x,则 f 跟踪集训8 8 8又 a9+aii=aiq +a3q =(ai+a3)q =8Xi2i2i2ai3+ai5=aiq +a3q =(ai+a3)q =8X所以 a9+aii+ai3+ai5=2+i=3.=2,=i,解法二：因为an为等比数列，所以 a5+a7是 ai+a3与 a9+aii的等比中项，十a7斗所以(a5+a7)=(ai+a3)(a9+aii),故 ag+aii= = =2.同理,a9+aii是 a5+a7与 ai3+ai5的等比中项,(dg + fl.J1)2所以(a9+aii)

19、2=(a5+a7)(ai3+ai5),故 ai3+ai5=:=i.所以 a9+aii+ai3+ai5=2+i=3.(2)因为 f(x)=2f 令 x=,得 f 方法点睛rJTA cos x+sin x+2x, 所以 f (x)=-2f sin +cos +2,解得 f =.故选 B.整体代换法求值的关键是准确把握代数式的结构特征sin x+cos x+2.,确定已知和所求之间的已知 x,y,z-i22 - 23 -技法十 判别式法判别式法就是将实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a丰0),利用方程有解的充要条件(判别式2 =b - 4ac 0)求解.典型例题例 10 已知a,3, 丫为任意

20、三角形的三个内角，求证：2 2 2x +y +z 2xycosa+2yzcos3+2zxcos 丫 .222证明 设 f(x)=x +y +z -(2xycosa+2yzcos3+2zxcos 丫 )2 2 2=x -2(ycosa+zcosY)x+y +z -2yzcos3,2 2 2又=4(ycosa+zcosy) -4(y +z -2yzcos3)=-4(ysina-zsin 丫)2w0,所以 f(x) 0,即 x2+y2+z22xycosa+2yzcos3+2zxcos 丫 .方法点睛 判别式是方程、函数和不等式之间联系的重要工具 , 是不等式之间相互转化的重要桥梁，运用判别式法证明不

21、等式有两种途径：(1)构造一元二次方程，然后利用 厶0来证明；(2)构造恒大于(或小于)零的二次函数，然后利用AWO来证明.-24 -/CQB=4PAB 与平面 CDP 所成二面角的度数为 45跟踪集训1. 设 x,y 为实数，若 4x2+y2+xy=1,则 2x+y 的最大值是 _ .2. 设 ai,d 为实数,首项为 ai,公差为 d 的等差数列an的前 n 项和为 Sn,满足 SS5+15=O,则 d 的取值范围是_ .技法十一割补法割补法主要是针对平面图形或空间图形采用的一种几何方法，其主要思想是把不规则图形转化为规则图形，这种方法常常用来求不规则平面图形的面积或不规则空间几何体的体积

22、典型例题(1)如图，过正方形 ABCD 的顶点 A 作线段 PU 平面 ABCD 若 PA=AB 则平面 PAB 与平面CDP 所成二面角的度数为()A.90 B.60 C.45D.30(2)已知四边形 ABCD 和 BCEG 匀为直角梯形，AD/BC,CE/ BG,ZBCDMBCE=,平面 ABCD_平 面BCEG,BC=CD=CE=2AD=2BG 则五面体 EGBAD(的体积为 _ .1答案(1)C(2)解析(1)把原四棱锥补成正方体ABCD-PQRH 如图所示，连接 CQ,则所求二面角转化为平面CDPQW 平面 BAPQ 所成的二面角，而/CQB 是平面 CDPQ 与平面 BAPQ 所成

23、二面角的平面角，又因为例 11D-25 -如图所示，连接 DG,BD.由平面 ABCEL 平面 BCEG/BCDMBCE=,可知 EC!平面 ABCD,又 CE/ GB 所以 GBL 平面 ABCD.又 BC=CD=CE=2,AD=BG=1,1所以 V五 面 体EGBAD=V四 棱 锥D-BCE（+V三 棱 锥G-AB=S梯 形112+1117BCEGDC+SAABDBG=X丄X2X2+X厶X1X2X1=.方法点睛对于一些不规则的几何体（图形）,不能直接利用体积（面积）公式，此时必须对几何体（图形）进行相应的割补，将其转化为规则几何体（图形）以便于计算其体积（面积）.跟踪集训1. 一个几何体的

24、三视图如图所示,则该几何体的体积是（）正视图恻视图A.6 B.8 C.10D.122. 已知 0k4,直线 Ii：kx-2y-2k+8=0 和直线 I2：2x+k y-4k -4=0 与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k 值为_.3. 函数 y=cos x（0 x2 n）和 y=1 的图象所围成的封闭图形的面积为 _.技法十二等体积转化法等体积转化法是通过变换几何体的底面，利用几何体（主要是三棱锥）体积的不同表达形式求解相关问题的方法其主要用于求解点到面的距离典型例题例 12 如图，已知三棱锥 P-ABC,底面 ABC 是边长为 2 的正三角形，平面 PABL 平面ABC,P

25、A=PB= ,D 为 BC 的中点.（1）求证:AB 丄 PC;-26 -（2）求三棱锥 B-PAD 的体积.-27 -B-28 -解析(1) 证明：如图所示,取 AB 的中点 E,连接 PE,CE.因为 PB=PA,所以 AB 丄 PE.因为 AC=BC 所以 AB 丄 CE.又 PEACE=E 所以 AE 丄平面 PEC.又 PC?平面 PEC,所以 AB 丄PC.(2) 因为平面 PABL平面 ABC,PE?平面 PAB,平面 PABH平面 ABC=AB且 PEIAB, 所以 PE!平面 ABC.AB_由 PA=PB= ,BE= =1 得 PE=. I=1.因为 D 是正三角形 ABC

26、的边 BC 的中点，所以 ADL BC.111 阴V三棱锥B-PACFV三棱锥P-ABC= PESABCF X1X X1 X .=,故三棱锥 B-PAD 的体积为-.方法点睛利用等体积转化法求解点到平面的距离，关键是选择合适的底面，选择的底面应具备两个特征：一是底面的形状规则，面积可求；二是底面上的高比较明显，即线面垂直比较明显 跟踪集训1.如图所示,正三棱柱 ABC-ABQ 中,D 是 BC 的中点，AA1=AB=2,则三棱锥 C1-AB1D 的体积为()B D C-29 -12.如图所示,已知正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直，AD 丄 CD,AB/ CD,AB=AD=

27、 CD=1.当点 M 为 ED 的中点时,求证:AM/平面 BEC;求点 D 到平面 BEC 的距离.V3A.V3B.2x/3C.:-30 -跟踪集训1.C 取 m=1,依题意得 ai=30,ai+a2=100,则 a2=70.跟踪集训1作出函数 y=|lo x|的图象，如图所示，由 y=0,解得 x=1,由 y=2,解得 x=4 或 x=.所以区间 1 3的长度 b-a 的最小值为 1- =令 h(x)=O,得 f(x)=g(x),所以函数 h(x)=f(x)-g(x) 的零点个数即函数 f(x)与 g(x)的图象的 交点个数(4x - 4tx W 1,分别画出函数 f(x)=和函数 g(x

28、)=log2X 的图象，如图所示.由图可知，两函数图象的交点个数是 3.故选 C.答案精解精析技法一特例法又an是等差数列，所以a3=110,故 S3=210.2.B函数的定义域为(-1 1=cos 2 log22g ,0)U(0,+ g1=-cos ,12),1=-cos所以 f -3.A/=f V-!,排除 A,D;1=-cos 5n.故选 D.技法四待定系数法化简得11 =一 2,故 s=3n2-2n.-32 -所以 |PQ|= -33 -=J(叼-七)十梓=2 岳.2717T整理得|XI-X2|=2,所以函数 f(x)的最小正周期 T=2|xi-x2|=4,即 =4,解得w=.又函数图

29、象过点(0,-.),所以 2sin$ =-.,即 sin $.7171(TT兀又 | $ | ,所以 $ =-,所以 f(x)=2sin:.技法五换元法跟踪集训/ -1wsin 2a38-5sin 2a w13,10 10 10令 t=f(x),ri即3则 t 卩.由函数 g(t)=t+11忆丿上是减函数，在(1,3上是增函数，且io” io3 ,得 F(x)的值域为 I T J,故选 B.22勺勺22.A f(x)=cos x-2cos =cos x-cosX-1,令 t=cosX -1,1,原函数可以看作g(t)=t2-t- 1,t -1,1.1由于对称轴为t=,对于g(t)=t3. I

30、答案时,g(t)为减函数，当 t &呂,原函数在：上单调递增，故选 A.8 的孑旳如)11代绡时,g(t)为增函数，当 x I* R 丿时,t=cosX为减函解析 设 log2(2x-1)=y,则 y(y+1)2,解得-2ybc11 - x解析令 f(x)=ln x-x, 贝 U f (x)=-1=-.当 0 x0,即函数 f(x)在(0,1)上是增函数111因为 11 二rJ 1 二：0,所以 abc.2. I 答案.解析将函数变形为门-,则问题可以转化为在x轴上找一点，使它到 A(1,1),B(3,2)两点的距离之和最小的几何模型问题.将点 A(1,1)关于 x 轴对称，得 A(1

31、,-1), 连接 AB 交 x 轴于点 P,则线段 AB 的长就是所求的最小值，即 |AB|=_： _ 1 一=.：故填.3. C 证明 构造边长为 1 的正三角形 ABC,DE、F 分别为三边上的任意一点，并令 BD=x,CE=y,AF=z,如图.显然有SABDE+SME+SAADFSXABC=:,週 迥 週 週 即：x(1-y)+ : y(1-z)+ : z(1-x) ,即 x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)1.技法七 反证法跟踪集训2- k-V-35 -A 假设 a,b,c 均小于 1,即 a1,b1,c1,则有 a+b+c 3.显-36 -然两者矛盾，所以假设不成立故 a,b,c

32、 至少有一个不小于1.选 A.技法八跟踪集训I 答案-1,1f3-I, 0 0 时,k w 尤 = X|x - 11 + 2 3x= -1,得 k-1;x=0 时,k R.综上，-1w kw 1.分离参数法vl,1,得 kw 1;-37 -技法九整体代换法 跟踪集训I 证明设 a=y+z,b=x+z,c=x+y,c ac h + b c贝 U x=,y=,z=.x y z b+c -a a + c-b a-b - c所以 T - : +： +：-.- f=3：上+3 二+f+纠化+纠？=& 2bja 2c)c 2bJ.2a jc a卩3 3技法十判别式法 跟踪集训2101. 答案I 解

33、析设 2x+y=t,贝 U y=t-2x,于是有 4x+(t-2x)+x(t-2x)=1,22化简得 6x -3tx+t - 1=0(x R),2%.;10 2%.;1022LL由厶=9t -24(t -1) 0,得-WtW,Mo所以 2x+y 的最大值是2. I 答案 (-a, -2 U2 ，+a)此解析因为 S5Se+15=0,所以(5ai+10d)(6ai+15d)+15=0,/ 2化简得 2 +9da1+10d +仁 0.因为 a R,于是有 =81d2-8(10d2+1) 0,得 d2或 d-2 .技法十一割补法 跟踪集训1.D 根据题中所给的三视图，可以还原几何体，如图，该几何体可以将凸出的部分补到凹进去的地方成为一个长方体，其中长方体的长、宽、高分别是-38 -3,2,2,所以该几何体的体积为2X2X3=12