2020届高考数学(文)总复习课堂测试：利用导数研究不等式证明问题

1、课时跟踪检测（十九） 利用导数研究不等式证明问题 1 设函数 f(x) = In x x+ 1. (1)讨论 f(x)的单调性； x 1 求证：当 x( (i ,+) )时，imx0). 由 f (x)0，解得 0 x1;由 f (x)1. f(x)在(0,1)上单调递增，在(1 ,+s)上单调递减. x 一 1 证明：要证当 x (1 ,+)时，1石匚乂, 即证 In xx 1xln x. 由(1)得 f(x)= In x x+ 1 在(1 ,+s)上单调递减， 当 x (1 ,+8)时,f(x)f(1) = 0，即有 In x0, F(x)单调递增. F (x) F(1) = 0,即有 x

2、In xx 1. 原不等式成立. a 2. (2019 武汉调研) )已知函数 f(x)= In x + - , a R (1) 讨论函数 f(x)的单调性； 2a 1 当 a0 时，求证：f(x) -. a 1 a x _a 解：(1)f (x)= - 02= (x0). x x x 当 aW 0 时，f (x)0, f(x)在(0,+s)上单调递增. 当 a0 时，若 xa，则 f (x)0,函数 f(x)在(a, + )上单调递增; 若 0 xa,则 f (x)0 时，f(x)在(0, a)上单调递减，在( (a,+)上单调递增. (2) 证明：由(1)知，当 a0 时,f(x)min=

3、 f(a) = In a+ 1. 2a 1 2a 一 1 要证 f(x) ，只需证 In a + 1 . a a 1 即证 In a + 10. a1 11 a 1 令函数 g(a)= In a+ 丄丄一 1(a0)，贝U g (a)=-匕= 厂, a a a a 当 0a1 时，g (a)1 时，g (a)0, 所以 g(a)在 (0,1)上单调递减，在( (1,+)上单调递增， 所以 g(a)min= g(1) = 0. 1 所以 In a + - 1 0 恒成立， a 2a 1 所以 f(x)上一成立. a 2 3.已知 f(x) = xln x, g(x)= x + ax 3. (1)

4、若对一切 x (0,+s ), 2f(x)g(x)恒成立，求实数 a 的取值范围. 1 2 一、 求证：对一切 x (0,+8 ), In xr 恒成立. e ex 解：( (1)由题意知 2xln x x2+ ax 3 对一切 x (0, + )恒成立， 3 则 a0), 当 x (0,1)时，h (x) 0, h(x)单调递增. 所以 h(x)min= h(1) = 4, 因为对一切 x (0, + s) , 2f(x)g(x)恒成立， 所以 aw h(x)min= 4,故实数 a 的取值范围是( (, 4. 证明：问题等价于证明 xln x家一苗0). 因为 f(x)= xln x(x

5、0), f (x) = ln x+ 1 , 当 x 0 , e 时，f (x) 0 , f(x)单调递增， 所以 f(x)min= f e = e 设 m(x)=总：( (x 0), 1 一 x 则 m (x)=厂, e ， 当 x (0,1)时，m (x) 0 , m(x)单调递增; 当 x (1 ,+8)时，m (x)v 0, m(x)单调递减, 所以 m(x)max = m(1) =- 1 e 从而对一切 x (0 ,+s), f(x) m(x)恒成立， x 2 即 xln x r -恒成立. e e 1 2 所以对一切 x (0 ,+), In x x 恒成立. e ex 4. (20

6、18 黄冈模拟) )已知函数 f(x)=加 x e (入 R). (1)若函数 f(x)是单调函数，求 入的取值范围； 求证：当 0VX1VX2时，e1 X2 e1 X11 j. 解：函数 f(x)的定义域为(0,+), / f(x)= 4n x e 函数 f(x)是单调函数, f (x) 1 时，/ (x)0, 则 O(x)在(0,1)上单调递减，在( (1,+)上单调递增, 1 1 当 x0 时，以如=帕) )=- 当函数 f(x)是单调递增函数时，f (x)A 0, x 由得 以 x)=在(0,1)上单调递减，在(1 , + )上单调递增， e 又 0(0) = 0, x +时，O(x)v0, 0. 综上，入的取值范围为a, eu0,+ ). f (x)=斗 e % x 入 + xe 0, X xe = _x . e X + xe 0, X 入一 xe = ex, 1 1 证明：由( (1)可知，当 =一一时，f(x)= -In X e x在(0, + m)上单调递减, e e 0VX1VX2,： f(X1 )f(X2), 即一 In xi e Xi in X2 e x?, e e -el X2 el Xiin xi In x?. 要证 e1 X2 e1 xii 2 xi 只需证 In Xi In X2i 艺，即证 In xii x2. xi X2 x