2020届江苏高考数学(理)总复习课堂检测：正弦定理和余弦定理

1、课时跟踪检测（二十三）正弦定理和余弦定理 一抓基础，多练小题做到眼疾手快 n 3 1. (2019 泰州模拟) )在厶 ABC 中，BC = 3, B A= 2，且 cosB= -,则 AC = 4 3 x BC sin B 5 , 由正弦定理，得 AC = = = 4. sin A 3 5 答案：4 答案：5 3.在 ABC 中，a, b, c 分别是内角 A, B, C 的对边.若 bsin A= 3csin B, a= 3, 2 r, cosB= 3，贝 V b= 解析：bsin A= 3csin B? ab= 3bc? a = 3c? c= 1, 所以 b2= a2+ c2 2acco

2、sB = 9+ 1 2 x 3 x 1X f = 6, b= 6. 答案：6 4.在 ABC 中，AB= 3, BC= 13 , AC= 4，则边 AC 上的高为 AB2 + AC2 BC2 1 解析：由题意得 cosA= 1 2AB AC 所以边 AC 上的高h = ABsin A=兮. 5. （2019 东调研股厶 ABC 中的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c,且 a+ b= 2 3, c= 3, C=于，则厶 ABC 的面积为 解析：由余弦定理，得 c2= a2 + b2 2abcosC= (a + b)2 ab，即 9= 12 ab,故 ab= 3,解析：/ B A

3、= , cosB = cosA+ n = sin A = sin A = 3, 2 5 5 sin B =- 5. 2. （2018 姜堰中学测试）在厶 ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c,若 a2= b2 a2+ c2 b2 解析：由已知及余弦定理得 cosB = 2ac 2 1 2 T 4c 丿=5c 2ac 8a, a2 + c2 ac 所以acosB 5 c 8 2 所以 sin A = 2， 贝 V SABC = gabsin C = 3 3. 2 4 答案：3 3 4 6. （2018 苏锡常镇一调）若一个钝角三角形的三内角成等差数列，且最大边与最小边之

4、比为m,则实数 m 的取值范围是 _ . 解析：由三角形的三个内角成等差数列，得中间角为 60 .设最小角为 a则最大角为 120 a 其中 0 x V3+ 2. Sin a 2 tan a 2 2 丫 2 答案：（2,+s ） 二保咼考，全练题型做到咼考达标 1.在 ABC 中，2acosA + bcosC + ccosB= 0，则角 A 的大小为 解析： a2+ b2 c2 a2+ c2 b2 由余弦疋理得 2acosA + b 2ab + - 2ac = 0 即 2acosA+ a= 0 所以 cosA=- 1, A= 120. 答案：120 答案：3 4 3. (2019 镇江调研)

5、)已知 ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, a= V13, c= 4,贝 U b= _ . 解析：T A= 60 , a= . 13, c= 4, 由余弦定理，得 13= b2+ 16 8bcos 60 , 即 b2 4b+ 3= 0, 解得 b= 1 或 3. 答案：1 或 3 4.已知 a, b, c 分别为 ABC 三个内角 A, B, C 的对边，且(b c)(sin B + sin C) = (a V3c)sin A，则角 B 的大小为 _. 解析：由正弦定理 一= 1 = c 及(b c) (sin B + sin C)= (a 3c)sin A 得(b

6、 c)(b sin A sin 2. （2018 海门中学检测）在厶 ABC 中，内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, b2 c2= ab=3，则 ABC 的面积为 _. a2+ b2 c2 1 解析：依题意得 cosC= =孑孑，即 C= 60 ,因此 ABC 的面积等于 c, 且 a2 + 2ab 1 absin C = c , A= 60 B sin C 2十 C2 b2 + c) = (a f3c)a,即 b? c? = a? -.，3ac,所以 a? + c? bb= 3ac,又因为 cos B = 2 , 所以 cosB=，所以 B = 30 2 答案：30 n 5. _

7、 已知 ABC 中，内角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c,若A= 3, b= 2acosB, c =1,则厶 ABC 的面积等于 . 解析：由正弦定理得 sin B= 2sin AcosB, 故 tan B= 2sin A = 2sinn= 3,又 B (0, n )所以 B= n 3 3 故 A= B =扌，则厶 ABC 是正三角形， 所以 ABC = bcsin A=1 x 1 x 仁 = 2 2 2 4 答案：43 4 n 2 6. (2019 无锡调研) )在厶 ABC 中，C= 3, BC = a, AC = b,且 a, b 是方程 x 13x+ 40 =0 的两根

8、，则 AB = _ . 解析：/ a, b 是方程 x2 13x+ 40 = 0 的两根， a+ b= 13, ab= 40, 由余弦定理，得 AB2= a2+ b2 2abcosC= (a + b)2 3ab= 132 3X 40 = 49, 贝U AB = 7. 答案：7 7. _ 在 ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c,若 asin Asin B+ bcoA = . 2a, 则 b= _ . a 解析：因为 asin Asin B + bcos?A= 2a,由正弦定理得 sin Asin Asin B+ sin Bcos?A = 2 sin A,所以 sin

9、B= 2sin A,所以 b=弘 B= , 2. a sin A 答案：2 8. _ (2019苏州一模) )已知 ABC的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c,且 A, B, C 成等差数列，则 汁 + 5 的值为 . b+ c a+ b 解析：/ A, B, C 成等差数列， 2B = A+ C,n 又 A+ B+C=n B=3, 9 9 9 9 a2+ ab+ bc+ c2 a2+ ab+ bc+ c2 “ 2 2 2 2 1 a + c ac+ ac+ bc+ ab a + c + bc+ ab 答案：1 9. (2018 苏锡常镇调研) )在厶 ABC 中，角 A

10、, B, C 的对边分别为 a, b, c.已知 acos B , n =3, bcosA= 1，且 A B= 一. 6 (1) 求 c 的长； (2) 求 B 的大小. 解： 法一：在厶 ABC 中，acosB = 3, - b + c a o o o 由 bcosA= 1，得 b = 1,即卩 b2 + c2 a2= 2c. +得 2c2 = 8c,所以 c= 4. 法二：因为在 ABC 中，A+ B+ C= n, 则 sin AcosB+ sin BcosA= sin(A + B)= sin C, 由正弦定理，得 sin A= 诞，sin B= 皿 又 tan(A B)= tan Ata

11、n B = =号 1 + tan Atan B 1 + 3tan B 3 解得 tan B=二3,又 B (0, n )所以 B =三 3 6 10. (2019 盐城期中) )在厶 ABC 中，设内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c.且 sin； C 若 c= 3 3 且 sin A = 2sin 8,求厶 ABC 的面积. 由余弦定理，得 a +匕=3,即 a2+ c2 b2= 6c. 2ac 由余弦定理，得 b?= a?+ c? 2accosB= a?+ c? ac, 代入上式得，c= acos B+ bcosA= 3+ 1 = 4. + sin (1)求角 C 的大小；

12、解: (1)由 sin 得守(cos C-sin Cj+cosC + sin C)=舟， - cosC= 2, 又 ov cv n, c= 3 (2)由 c= 3 3 且 sin A = 2sin B,可得 a= 2b, 由余弦定理可得 c2= a2+ b2- 2abcosC 2 2 2 1 2 =4b+ b-4bX i= 3b = 27， - b= 3, a= 6, 则厶 ABC 的面积为 S= absin C= 1 1 x 6 x 3 93. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1.已知在厶 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c,若 sin(B- A) + sin(B +

13、A)= 3sin 2A，且 c= 7, C =扌，则厶 ABC 的面积是 _ . 解析：由 sin(B- A)+ sin(B + A)= 3sin 2A,得 2sin BcosA= 6sin AcosA,所以 cosA = 0 或 sin B= 3sin A. 若 cosA= 0,贝 U A=n,在 Rt ABC 中，C=n, 2 3 所以 b=厂匕= ，此时 ABC 的面积 S= ；bc= 1 ,7= ; tan C 3 2 2 3 6 若 sin B = 3sin A,即 b= 3a,由余弦定理得 7 = a2 + 9a2- 2 a 3a ,得 a = 1,所以 b= 3, 2 此时 AB

14、C 的面积 S = 1absin C =1 x 1 x 3x- = . 2 2 2 4 答案：乎或于 4 6 2. （2019 苏州高三期中调研）设厶 ABC 的内角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c, D 为 AB 的中点，若 b= acosC + csin A 且 CD = 2，则 ABC 面积的最大值是 _ . 解析：由 b= acosC + csin A 及正弦定理可得 sin B= sin AcosC + sin Csin A,所以 sin（A n + C) = sin AcosC + sin Csin A，化简可得 sin A= cosA，所以 A=：.在 ACD 中，

15、由余弦定 4 理可得 CD2= 2= b2+ :-2b 2 cosAbebc,当且仅当 b=扌扌时取 2 2,所以 ABC 的面积 S=1bcsin A = bc 2+ 1，所以 ABC 面积的最大值是 2 + 1. 答案：.2+ 1 3. （2018 苏州模拟）如图所示，在四边形 ABCD 中，/ D= 2/ B,“=”，所以 bc 4 + 3 且 AD = 1, CD = 3, cos/ B= 3 求厶 ACD 的面积; 若 BC = 2 3，求 AB 的长. 解：( (1)因为/ D = 2/ B，cos/ 8=于, 1 所以 cos/ D = cos 2Z B= 2co$B 1 =-. 3 因为/ D (0, n 所以 sin/ D = 1 cos?D = -2. 因为