2020届江苏高考数学(理)总复习课堂检测：抛物线

1、课时跟踪检测(四十九) 抛物线 一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1 在平面直角坐标系 xOy 中，若抛物线 y2= 2px(p 0)上横坐标为 2 的点到焦点的距离 为 4,则该抛物线的准线方程为 _ . 解析：抛物线 y2= 2px(p0)的焦点坐标为P, 0 ,准线方程 x=-弓，由抛物线的定义 可知，2+ p= 4p= 4,.抛物线的准线方程为 x=- 2. 答案：x=- 2 2. _ (2018 扬州期末) )若抛物线 y2= 2px(p0)的焦点也是双曲线 x2 y2= 8 的一个焦点， 贝 y p= _ . 解析：抛物线 y2= 2px 的焦点为 p, 0 ,双曲线 x2 y2=

2、8 的右焦点为( (4,0),故 4, 即 p= 8. 答案：8 3. _ 已知 P 为抛物线 y2= 8x 上动点，定点 A(3,1), F 为该抛物线的焦点，贝V PF + PA的 最小值为 _ . 解析：易知点 A 在抛物线内部，抛物线的准线方程为 x= 2,过点 P 作准线的垂线， 垂足为 M，贝U PF + PA= PM + PA,当 A, P, M 三点共线时取得最小值，所以 PF + PA= 3 (2) = 5. 答案：5 4. (2018 前黄中学检测) )已知抛物线 y2= 2px(p0)的准线经过点( (1,1)，则该抛物线焦 点坐标为 _ . 解析：由于抛物线 y2= 2

3、px(p0)的准线方程为 x = p,由题意得一 卜一 1, p= 2, 所以焦点坐标为(1, 0). 答案：( (1, 0) 5. 已知点P 在抛物线 y2= 4x 上，且点 P 到 y 轴的距离与其到焦点的距离之比为 *,则 点 P 到 x 轴的距离为 _ . 解析：设点 P 的坐标为( (Xp, yp),抛物线 y2= 4x 的准线方程为 x= 1，根据抛物线的 定义，点P到焦点的距离等于点 P到准线的距离，故 xP 1 解得 xP= 1，所以 yP = XP ( 1 ) 2 4,所以 |yp|= 2. 答案：2 6. (2019 连云港模拟) )设抛物线 y2= 2x 的焦点为 F，过

4、点 M(,3, 0)的直线与抛物线相 交于 A, B 两点，与抛物线的准线相交于 C, BF = 2,则SBCF SA ACF 解析：抛物线方程为 y2= 2x,.焦点 F 的坐标为 2, o ,准线方 程为 x=- 1. 如图，设 A(Xi,浙)，B(X2, y2) ),过 A, B 分别向抛物线的准线作垂 线，垂足分别为 E, N, 贝V BF = BN = x2+ 1= 2 ,. x2= 3, 2 2 2 2 把 X2= 2 代入抛物线 y= 2x，得 y2= 3, 直线 AB 过点 M(, 0)与 B?,-Q 则直线 AB 的方程为，3x + 3 3 y 3= 0，与抛物线方程联立，解

5、得 召=2, 1 5 AE = 2 + 2= 5. 在 AEC 中，BN / AE, BC AC = 1 BC h BN 2 4 SA BCF 2 4 一 AE_ 5 一 5 SA ACF_ 1 5. 2 2AC h 答案： 4 5 保咼考，全练题型做到咼考达标 1. (2019 宿迁一模) )抛物线 x2= 4y 的焦点坐标为 解析： 抛物线 x2= 4y 的焦点在 y 轴上，开口向上，且 2p= 4, 号=1. 抛物线 x2= 4y 的焦点坐标为( (0,1). 答案：( (0,1) 2. 过抛物线 x2= 12y 的焦点 F 作直线垂直于 y 轴，交抛物线于 A, B 两点，O 为抛 物

6、线的顶点，则 OAB 的面积是 _ . 解由题意 F (0, 3),将 y= 3 代入抛物线方程得 x= , 1 所以 AB = 12,所以 SAOAB = jx 12 X 3= 18. 答案：18 3. 已知过抛物线 y2= 2px(p 0)的焦点 F 且倾斜角为 60的直线 l 与抛物线在第一、四: V 象限分别交于 A, B 两点，则 BF = _ . 解析：设 A(X1, y1), B(X2, y2), 由题意知 AB 所在的直线方程为 y= 3 x P , 答案：3 4. (2019 南通调研) )已知 F 是抛物线 C: y2= 12x 的焦点，M 是 C 上一点，FM 的延长 线

7、交 y 轴于点 N，若 M 是 FN 的中点，贝 U FN 的长度为 _. 3 解析：/ F(3,0),.由题意可得 M 的横坐标为 2 3 9 FM =-+ 3= , FN = 2FM = 9. 2 2 答案：9 5已知抛物线 y2= 2x 的弦 AB 的中点的横坐标为 2，则AB的最大值为 _ AB= 4 ,3,正三角形 OAB 的面积为 4 , 3X 6= 12 .3. o = 224 + X 宝3 - 2 X P6? 3- P 一 6 解析：设 A(xi, yi), B(x2, y2) ), AF + BF = xi + X2 + 1= 4,由图可知 线AB 过焦点 F 时，AB 取得

8、最大值 则 xi + X2 = 3，由抛物线的定义可知， AF + BF AB, ABW 4,当且仅当直 4. 答案：4 6. 个顶点在原点，另外两点在抛物线 解析：如图，根据抛物线的对称性得/ 直线 OA 的方程 ypx, 代入 y2= 2x，得 x2 6x= 0, 解得 x = 0 或 x= 6. 即得 A 的坐标为(6,2 3). y2= 2x 上的正三角形的面积为 _ AOx = 30 答案：12 3 7. (2018 无锡调研) )过点 P( 2,0)的直线与抛物线 C: y2= 4x 相交于 A, B 两点，且 PA 1 =QAB，则点 A 到抛物线 C 的焦点的距离为 _ . 解

9、析：设 A(Xi, yi), B(X2, y2) ),分别过点 A, B 作直线 x=- 2 的垂线，垂足分别为 D , 3( (xi + 2 尸 x2+ 2, 又 y 3yi = y2, |y2 线 C 的焦点的距离为 1 + 2= 5. 3 3 答案:5 8. _ 抛物线 y2= 2px(p 0)的焦点为 F ,0 为坐标原点，M 为抛物线上一点， 且 MF = 4OF , MFO 的面积为 4 寸 3,则抛物线的方程为 . 解析：设 M(x, y),因为 OF = p, MF = 40F，所以 MF = 2p,由抛物线定义知 x + p = 2p,所以 x= Qp,所以 y= 3p.又厶

10、 MFO 的面积为 4 巧， 所以” 3p= 4 玄解得 p = 4(p=- 4 舍去) )所以抛物线的方程为 y2= 8x. 答案：y2= 8x 9. 已知抛物线 y2 = 2x 的焦点为 F，点 P 是抛物线上的动点，点 A(3,2)，求 PA+ PF 的 最小值，并求取最小值时点 P 的坐标. 解：将 x= 3 代入抛物线方程 y2= 2x,得 y= . 6. 因为,62，所以 A 在抛物线内部. 设抛物线上的点 P 到准线 I: x =-Q 的距离为 d, 由定义知 PA+ PF = PA+ d. 当 PA 丄 I 时，PA+ d 最小，最小值为 7,即 PA+ PF 的最小值为 7,

11、此时 P 点纵坐标为 2, 代入/= 2x，得 x= 2，所以点 P 的坐标为( (2,2). 10. (2018 扬州中学检测) )在平面直角坐标系 xOy 中， 直线 I 与抛物线 y2= 4x 相交于 A, B 两点. (1)如果直线 I 过抛物线的焦点，求 )A -OB的值； 如果6A -OB =- 4，证明直线 I 必过一定点，并求出该定点. 解：( (1)由题意：抛物线焦点为(1,0), 设 I： x = ty+ 1,代入抛物线 y2= 4x, 消去 x，得 y2-4ty-4 = 0, E(图略) )，因为 PA= QAB,所以 设 A(X1, y1), B(X2, y2),贝y

12、y1 + y2= 4t, y1y2=- 4, 所以OX = X1X2+ y1y2= (W1+ 1)(ty2 +1) + yy 2 2 2 =t yiy2+ t(yi + y2) )+ 1 + yiy2= 4t + 4t + 1 4 = 3. 证明：设 I: x = ty+ b,代入抛物线 y2= 4x，消去 x,得 y2 4ty 4b= 0,设 A(xi, yi), B(x2, y2) ), 贝V yi + y2= 4t, yiy2= 4b, 所以 OA OB = X1X2+ yiy2= (tyi+ b)(ty2 + b) + yiy2 =t2yiy2 + bt(yi + y2) )+ b2

13、+ yiy2= 4bW+ 4b2 + b2 4b= b2 4b. 令 b2 4b= 4,得 b2 4b+ 4 = 0,解得 b= 2. 所以直线 I 过定点( (2,0). 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1. (20i8 连云港二模)从抛物线 x2= 4y 上一点 P 引抛物线准线的垂线，垂足为 M，且 PM = 5，设抛物线的焦点为 F，则 MPF 的面积 S= _ . 解析：设 P(xo, yo),依题意可知抛物线的准线方程为 y= i, yo= 5 i = 4,. |Xo|hj4X 4= 4, i i - MPF 的面积 S= QPM |x0| = 2X 5X 4 = i0. 答案：1

14、0 2. _ 过抛物线 x2= 4y 的焦点 F 作直线 AB, CD与抛物线交于 A, B, C, D 四点，且 AB 丄 CD ,U FX 五 B + -RC FlcT的最大值等于 . 解析：依题意可得，FA FEB = (|FA | |). - B - B 又因为 |FA|= yA + 1, |FB |= yB+ 1, 所以 FA - FB = (yAyB +A+B+ 1). 设直线 AB 的方程为 y= kx+ 1(k丰丰0), 联立 x2= 4y,可得 x2 4kx 4= 0, 所以 XA+ XB= 4k, XAXB= 4. 所以 yAyB= 1 , yA+ yB= 4k + 2. 所以At B = (4k2 + 4). 同理？ ) =表 + 4 . 当且仅当 k= 1 时等号成立. 答案：16 - B 所以 FA - B - B - B FB + FC -FD = 4k2+ 令 + 8 0). 因为点 P(1,2)在抛物线上， 所以 22= 2px 1, 解得 p= 2. 故所求抛物线的方程是 y2= 4x，准线方程是 x=- 1. (2)设直线 PA 的斜率为 kPA，直线 PB 的斜率为 kpB. y1 2 y2 2 则 kpA