2018年普通高等学校招生全国统一考试高考数学信息卷(十一)理

1、2018 年普通高等学校招生全国统一考试最新高考信息卷理科数学（一）注意事项：1 1、本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必 将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。2 2、回答第I卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。3 3、回答第n卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。4 4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷一、选择题：本大题共1212 小题，每小题 5 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的。1 1 设集合M二3,log3a?,N a,b

2、?，若M仃N 0,，则M U N二（）A.A.3,0?B B.3,0,1?C.C.3,0,2?D.D.3,0,12?【答案】B B【解析】因为Mp|N0?,a 0，所以b =0，所以log3a=0,所以a =1，所以M.3,0?,N=1,0?，所以M J N：3,0,1，故选B.2 2已知a R,i为虚数单位若复数z二a|是纯虚数则a的值为（）1 +iA.A. -1-1B B. 0 0C.C. 1 1D.D. 2 2【答案】C C【解析】由题意，复数z =a =aT1T =a一1一a 1为纯虚数，1+i（1+i ）（1-i ）2则a 1 = 0，即a =1，故选C.3.若cos a1n . _

3、, 且冗,贝U sin 2a的值为（)12 /3224逅A.A.- -22B B.C.C.22D.D.4、2999 99 9-2 -【答案】A An又因为sin : 0，所以.-0，所以cos：24 4已知等比数列 订奁的前n项和Sn满足4S5=3S4S6,且a2=1则a4等于（【答案】D D【解析】因为4S5= 3S4 S6，所以3S5- 3S4= S6- S5，所以3a5= a6,故q =3，由等比数列的通项公式得a4= a2q4_2=1 32= 9，故选D.5.5.现有 5 5 人参加抽奖活动，每人依次从装有 5 5 张奖票（其中 3 3 张为中奖票）的箱子中不放回地 随机抽取一张，直到

4、 3 3 张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4 4 人抽完后结束的概率为（）【答案】C C【解析】将 5 5 张奖票不放回地依次取出共有C5=10种不同的取法，若获恰好在第四次抽奖结束，则前三次共抽到2 2 张中奖票，第四次抽的最后一张奖票，共有 为 P P = =，故选 C.C.106.6.个几何体的视图如下图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ 勺，所以灼0,b 0)，得A(-a,0 ), B(a,0 ), F (-c,0 ),a b又过点F作垂直与x轴的直线分别在第二，第三象限角双曲线C于P、Q两点,-9 -aCx，令x=0，得y-c ，即E0, c - a,11212已知函数f

5、 xax2- x-1exaR若对区间101 1内的任意实数Xi、x?、X3，都2有f Xif x?- f x3，则实数a的取值范围是（）A.A.1,2丨B B.e,41C.C.1,41D.D.i,2ije,41【答案】C C【解析】由题得x = ax - ”ex x -1 ex= ax - xex= x a - ex,当a 1时，x：0,所以函数f x在1.0,1单调递减，因为对区间0,11内的任意实数捲、X2、X3，都有f为f x?- f x3,所以f 1 f 1一f 0，所以丄a丄a _1,2 2故a -1，与a : 1矛盾，故a -1不成立.当1乞a：e时，函数f x在（0,1 na】单

6、调递增，在In a,1单调递减.X2、X3，都有f x,f x?- f X3,所以Pb2)如图所示，设因为QM二2MF,解得 口A,E三点共线，所以kAE= kMA，即3，a c a又由直线PB的又因为b2=C2-a2，整理得c -a所以f (x max= f(In a )=1a In2a -aln a a,2因为对区间0,11内的任意实数x1， 即M3abT3a2 2Ca，即c=2a，所以3a c-a-10 -所以f0f1_f Ina所以1_如Jaal na a,121即一aln a-al naa-10,2 2121令g a aln a-alnaa -1,1 _a：e,12所以a ln a-

7、1：0，所以函数g a在1,e上单调递减，所以g amax二g 1 =0,所以当 仁a :e时，满足题意.当a_e时，函数f x在0,1单调递增，因为对区间0,11内的任意实数X1、X2、X3，都有f为fX2- fX3,1所以f 0 f 0 _ f 1，故11 a，所以a空4，故e乞a乞4；综上所述，a- 1,4；故选C.第n卷本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)(21)(13)(21) 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第(22)(23)(22)(23) 题为选考题，考生根据要求作答。、填空题：本大题共4 4 小题，每小题 5 5 分。1313.若两个非零向量a、b满足a+b=|a-b

8、= 2 b,则向量a + b与a的夹角为_n【答案】-6【解析】设b= 1，贝Ua+b=|ab= 2, a b = 0，故以a、b为邻边的平行四边形是矩形，且a = J3x y _ 0X-yO，贝V 3x - 2y的最大值为设向量a b与a的夹角为二，则cos =a2a b a|ab1414 .设变量X,y满足约束条件-11 -3x y乞4【答案】5 5-12 -【解析】画出不等式组所表示的平面区域，如图所示,由图象可知，当直线y-过点A点时，直线在纵轴的截距最大,2 2所以目标函数的最大值为3 1 2 1=5.1515已知F为抛物线E:y2=2px p 0的焦点，过F作倾斜角为30的直线I与

9、抛物线E交于A、B两点，过A、B向E的准线作垂线，垂足分别为C、D，设CD的中点为M,则|MF =_.【答案】2P联立直线和抛物线的方程得2 24x -28px p=0.设A音，力、B x2, y2，则为x?=7 p,所以设AB的中点为N且其的横坐标为 为一=-p,2 2所以N的纵坐标为y p 3p =.3p,326所以|MF| = J3p2+p2=2p，故填2p.1616记m二d1a1 d2a2d佝佝，若击是等差数列，则称m为数列订,的“dn等差均n值”；若是等比数列，贝U称m为数列aj的“dn等比均值”.已知数列的“2n-1【解析】设直线的方程为y -0 =设目标函数z = 3x - 2

10、y，化简得此时目标函数取得最大值，由，解得!xy=!，即A1,1，-13 -n项和为Sn,若对任意的正整数n都有Sn乞S6，则实数k的取值范围是【答案】13.11K 54【解析】a1- 3a22 n -1 an,由题得2-,所以ai 3a2| 2n -1 an= 2n,n所以印3a2 III 2n -3 and-2n -2，两式相减得an:2n 1又由题得3 :3b23乜，所以b3b2|3nbn=3n,n所以b,3b2J| 3nbnJ-3n -3，两式相减得bn=32，所以cn= 2 -k n 2k -1，因为对任意的正整数n都有Sn S6，所以C6，c 01311丄士1311解之得K，故填K

11、5454三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1717. (1212 分)已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c其面积为S，且b c2-a2=4、3S.(1) 求角A;(2) 若a =、3,b二m m 0，当ABC有且只有一解时，求实数m的范围及S的最大 值.【答案】(1 1)A =n; (2 2)3-3等差均值”为2 2，数列仏？的“3n-等比均值”为 3 3记2cn二an-k log3bn，数列tCn?的前-14 -34【解析】(1 1)由己知b2 c2-a2 2bc = 2、3bcsi nA,由余弦定理得2bccos A 2bc = 2、3bcsin A,所以co

12、sA 13s in A,即sin A-n=丄,I 6丿2-15 -n I n5n 匚厂、n nn彳畀所以A一匸6,A盲(2)由己知，当ABC有且只有一解时,当m=2时，ABC为直角三角形，1133,2 21818. ( 1212 分)某市教育部门为了了解全市高一学生的身高发育情况，从本市全体高一学生中随机抽取了 100100 人的身高数据进行统计分析经数据处理后，得到了如下图1 1 所示的频事分布直方图，并发现这 100100 名学生中，身不低于 1.691.69 米的学生只有 1616 名，其身高茎叶图如下图 2 2 所示，用样本的身高频率估计该市高一学生的身高概率.:Am 0, n,msi

13、n - -. 3或03:m3，所以0,、一3 U2?;当0 : m乞J3时，由正弦定理msin Bm = 2sin B，sin31_2n3S 3sinB sinC =、3sin B sin一B sin BcosB23二si n2B23si n BcosB23sin2B31cos2B3前2B -上2 2 2 2冗冗 冗-2BJ r所以，当B=丄时,3Smax3.3,2综上所述，Smax334冗-16 -(1)求该市高一学生身高高于 1.701.70 米的概率，并求图 1 1 中a、b、c的值.(2)若从该市高一学生中随机选取 3 3 名学生，记为身高在1.50,1.70的学生人数，求的 分布列和

14、数学期望；(3)若变量S满足P -；：S： 0.6826且P- 2-: S2- 0.9544, 则称变量S满足近似于正态分布N亠匚2的概率分布.如果该市高一学生的身高满足近似于正态分布N 1.6,0.01的概率分布，则认为该市高一学生的身高发育总体是正常的.试判断该市高一学生的身高发育总体是否正常，并说明理由.【答案】(1 1)见解析；(2 2)见解析；(3 3)见解析.【解析】(1 1)由图 2 2 可知，100100 名样本学生中身高高于1.701.70 米共有 1515 名，以样本的频率估计总体的概率，可得这批学生的身高高于1.701.70 的概率为 0.150.15 .记X为学生的身高

15、，结合图1 1 可得：2f 1.301.4f 1.80：X 1.900.02,13f 1.40：X E1.50；=f 1.70：X 1.800.13,100, , 1f 1.50：X_1.60二f 1.60：X _1.701 -2 0.02 2 0.13 = 0.35,又由于组距为 0.10.1，所以a =0.2,b=1.3,c=3.5.(2 2)以样本的频率估计总体的概率，可知从这批学生中随机选取1 1 名，身高在1.50,1.70】的概率为-17 -P 1.50：X乞1.70 = f 1.50：X乞1.60 f 1.60：X 1.70 =0.7,因为从这批学生中随机选取3 3 名，相当于三

16、次重复独立试验，所以随机变量服从二项分布B 3,0.7,故的分布列为：P = n =C30.3310.7nn =0,1,2,3,-18 -E0 01 12 23 3P&）0.0270.0270.1890.1890.4410.4410.3430.343E =0 0.027 1 0189 2 0.441 3 0.343 = 2.1（或E=3 0.7 =21）（3 3）由N 1.6,0.01，取=1.60,；:,01,由（2 2）可知，P-；X：；- P 1.50：X乞1.70=0.7 0.6826,又结合（1 1）,可得：P（4 2bX兰卩+2b）=P（1.40cX W1.80）,=2 f

17、 1.70X E1.80 P（1.50：X乞1.70） =0.96 0.544,N 1.6,0.01的概率分布，应该认为该市高一学生的身高发育总体是正常的.AD/BC,PA =AB =AC二AD =3,BC = 4,M为线段AD上一点，2AM二MD,N为PB的中点.(1) 证明：MN/平面PCD;(2) 求直线PN与平面AMN所成角的正弦值.【答案】(1 1)见解析.(2 2)色.71【解析】(1 1)由己知得AM AD =1,DM =2,3取CP的中点T,连接DT,TN由N为PB中点知TN/BC,TN二丄BC = 2,2又AD/BC故TN/DM，四边形DMNT为平行四边形，于是MN/DT.因

18、为DT平面PCD,MN二平面PCD，所以MN/平面PCD.(2 2)取BC的中点E,连结AE,由AB二AC得AE _ BC，从而AE AD,所以这批学生的身高满足近似于正态分布1919. ( 1212 分)如下图，四棱锥P ABCD中，PA1底面ABCD,BC-19 -,AM = 0,1,0,AN , -12 2y2=1的右焦点为F，坐标原点为O.椭圆C的动弦AB过右焦点F且不垂直于坐标轴，AB的中点为N，过F且垂直于线段AB的直线交射线ON于点M.(1 1)求点M的横坐标;(2 2) 当 OMF最大时，求 MAB的面积.【答案】(1 1)见解析；(2 2)出0.10【解析】(1 1)易知F

19、2,0，设AB所在直线为y二kx-2 k = 0,A x1,y1,B x2,y2,In AM =0 -y可取心)5n AN =0即丿453，可取n=下,-1x - y十z = 0&5丿、一22设n =x, y, z为平面AMN的法向量,故直线PN与平面AMN所成角的正弦值为则T 1n PNcos c n,PN=n |PlN3_3514 3也2752以A为坐标原点,AE的方向为x轴正方向，建立如下图所示的空间直角坐标系A_ xyz，由题意知，A 0,0,0，P 0,0,3，M 0,1,0，B(g ), N可，2X2020. ( 1212 分)已知椭圆 -5且AE = . AB2-BE2-

20、20 -联立方程组2X2.y 15，化简得y=k x-22 2 2 25k 1 x -20k x 20k -5 = 0,由韦达定理得x-ix2=20k25k21x-|x220k2一55k2110k22k（5k2+1 5k2+1丿从而ON所在直线方程为15k又FM所在直线方程为（2 2）由（1 1）得M 5,1 12 22k，则诟1，2k，紡处，2k则cos OMF二5 J4225k26k1 4225k410k2116k2125k426k211625k226!k2_二5(当且仅当321k2=时取等号)，5当COS. OMF取得最小值时，OMF最大，此时x1*2=2,AB二1 k2片_x211, 22_4 （_；）FMm+4严1，从而SAMAB=一AB FM23 30102121. （1212 分）已知函数f x =1 nxmxT,g x =xl nx-n x2-1 m, n R.(1)若函数f x,g x在区间0,1上均单调且单调性相反，求m,n的取值范围;x，-21 -22 -（2 2）若O”：a：b，证明：,0b,0b 4 4In a