(完整word版)高中数学三角函数疑点难点讲解(word文档良心出品)

1、高中数学三角函数疑点难点讲解【考点审视】1、 掌握三角函数概念，其中以三角函数的定义学习为重点。（理科：兼顾反三角）2、 提高三角函数的恒等变形的能力，关键是熟悉诱导公式、同角关系、和差角公式及倍角公式等，掌握常见的变形方法。3、 解决三角函数中的求值问题，关键是把握未知与已知之间的联系。4、 熟练运用三角函数的性质，需关注复合问题，在问题转化过程中，进一步重视三角恒等变形。5、 掌握y Asin（ x ）等的图象及性质，深刻理解图象变换之原理。6、 解决与三角函数有关的（常见的）最值问题。7、 正确处理三角形内的三角函数问题，主要是理解并熟练掌握正弦定理、余弦定理及三角形内角和定理，提高边角

2、、角角转化意识。8、 提高综合运用的能力，如对实际问题的解决以及与其它章节内容的整合处理。【疑难点拔】一、概念不清例 1.若、为第三象限角，且，则（)(A)coscos(B)coscos(C)coscos(D)以上都不对错解选（A）分析:角的概念不清，误将象限角看成类似3(,2）区间角。如取72 ,，可知（A）不对。用排除法,63可知应选（D）。二、以偏概全例 2.已知sin m，求cos的值及相应的取值范围。错解当 是第一、四象限时，cos. 1 m2,当是第二、三象限时，cos.12m。分析：把 限制为象限角时，只考虑| m | 1且m 0的情形，遗漏了界限角。应补充：当|m | 1时，k

3、(k Z), cos0；当m 0时，2k (k Z), cos1,或cos1。三、忽略隐含条件例3.若sin x cosx 10，求x的取值范围。错解移项得sinx cosx 1，两边平方得sin 2x0,那么 2k2x2k(kZ)即kx k -(k Z)2分析:忽略了满足不等式的x在第一象限，上述解法引进了sin xcosx 1。正解:sinx cosx 1即.2sin(x) 1，由sin(x44）2石得2k3x2k(k Z) 2kx4442k-(k Z)2四、忽视角的范围，盲目地套用正弦、余弦的有界性例 4.设 、为锐角，且+120，讨论函数ycos2cos2的最值。错解1y 1(cos

4、2cos 2 ) 1 cos()cos(2)1cos()2212可见，当cos(1时，max3；当cos(21)1时，ymin。分析：由已知得30906060,则-2cos( 当cos(60时,ymin1，最大值不存在。五、忽视应用均值不等式的条件例 5.求函数y2a2cos xsinb22 (ax0,0才的最小值。错解2ay cos xb2_2sin x(i)2absin xcosx4absin 2x(2)4ab( 0sin 2x1) 当sin2x 1时,ymin4ab分析：在已知条件下,(1)、(2)两处不能同时取等号。正解：y a (12 .2a btan2x)2abb2(1 cot2x

5、) a2b2(a b)2(a2tan2xb2cot2x)当且仅当atanxbcotx,即tanx，时，ymina(a b)2专题四：三角函数【经典题例】例 1：点 P 从(1,0)出发，沿单位圆21逆时针方向运动 弧长到达 Q 点，则 Q 点的坐标为(3(B)(,-2 2(C)(1,空)(D)(三丄2 2 2 2思路分析POQ，由三角函数定义可知Q 点的坐标(x, y)满足x r cos , y rsin，故选(A)简要评述三角函数定义是三角函数理论的基础，理解掌握能起到事半功倍的效果。例 2:求函数f (x).4422sin x cos x sin x cos x的最小正周期、最大值和最小值

6、2 sin 2x思路分析f(x)1 sin2xcos2x2(1 sin xcosx)111(1 sin xcosx) sin 2x -242所以函数 f(x)的最小正周期是n,最大值是31，最小值是44简要评述三角恒等变形是历年高考考察的主要内容，变形能力的提高取决于 定量的训练以及方法的积累，在此例中“降次、化同角”是基本的思路。此外，求函数的周期、最值是考察的热点，变形化简是必经之路。例 3：已知sin(2 ) sin(2 )442求 2 si n tan cot 1的值.思路分析Tsin(41sin( 4 )2 21cos4，得cos4是 2si n2tan cot 1 cos2sin(

7、 2 ) cos( 2 )442sin2cos2sin coscos 252 cos2si n2(cos2 2cot2 ) (cos 2cot )(32 3) 3.6 6 2 2简要评述此类求值问题的类型是：已知三角方程，求某三角代数式的值。一般来说先解三角方程，得角的值或角的某 个三角函数值。如何使解题过程化繁为简，变形仍然显得重要，此题中巧用诱导公式、二倍角公式，还用到了常用的变 形方法，即“化正余切为正余弦”。例 4：已知 b、c 是实数，函数 f(x)=x2bx c对任意a、BR 有：f(sin ) 0,且f (2 cos )0,(1)求 f (1)的值；(2)证明：c3; (3)设f

8、(sin )的最大值为 10,求 f (x)。思路分析(1 )令 =，得f0,令B=，得f (1)0,因此f(1)0,;2(2)证明：由已知，当1 x 1时，f(x) 0,当1 x 3时，f(x) 0,通过数形结合的方法可得：f(3)化简得 c3;(3)由上述可知， -1 , 1 是f(x)的减区间， 那么f( 1)10,又f(1) 0,联立方程组可得b 5,c所以f (x) x25x 40,4,简要评述 三角复合问题是综合运用知识的一个方面, 复合函数问题的认识是高中数学学习的重点和难点，这一方面的学习有利于提高综合运用的能力。例 5:关于正弦曲线回答下述问题:(1)x函数y log1sin

9、()的单调递增区间是2348k2x 8k4k Z；33(2)若函数y sin 2xa cos2x的图象关于直线x对称，则a的值是 18 -(3)把函数y7)的图象向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标扩大到原来的3 倍(纵坐标不变)8，则所得的函数解析式子是ysin(x )8(4)若函数y Asin( x ) B(A0,0,| -)的最大值是2 2，最小值是、2，最小正周期是图象J2经过点(0, ),则函数的解析式子是43.2si n(3x)2 6思路分析略简要评述正弦曲线问题是三角函数性质、图象问题中的重点内容，必须熟练掌握。上述问题的解答可以根据正弦曲线的“五点画法”在草稿纸上作出函数的草

10、图来验证答案或得到答案。例 6:函数f (x)-1sin 2xsin x cosx(1)求 f(x)的定义域;(2)求 f(x)的最大值及对应的 x 值。思路分析(1) x|x2k(2)设 t=sinx+cosx,则y=t-1且 x 2kk Z2ymax21, x 2kk Z4简要评述若f (x)关于sin x cosx与sinx?cosx的表达式，求函数的最值常通过换元法，如令t sinx cosx，使问题得到简化。CA3例 7：在厶 ABC 中，已知sinAcos2sin Ceos2sin B( 1)求证：a、b、c 成等差数列；(2)求角 B 的取值范22 2围。，得 B 的取值范围(0

11、,简要评述三角形中的变换问题，除了需要运用三角式变换的所有方法、与“角”运用“正弦定理、余弦定理或面积公式” 例&水渠横断面为等腰梯形，如图所示，渠道深 的渗水量达到最小，应使梯形两腰及下底之和达到S 思路分析 CD= _h coth，考虑 y=2 cos的最小值，可得当 时，ysin3简要评述“学以致用”是学习的目的之一，三角应受到重视。进行互换。S -为 h,梯形面积为S,为了使渠道最小， 此时下底角a应该是多少？S2C=h(-cot ),转化为hsinD最小，即 C 最小。C知识的应用很广泛,在复习过程中【热身冲刺】 一、选择题:1.若0 a 10,则满足sina=0.5 的角a

12、的个数是(C)(A) 2(B) 3(C)4(D) 52.为了得到函数ysin (2x )6|的图象，可以将函数ycos2x的图象(B )(A)向右平移个单位长度(B)向右平移一个单位长度63(C)向左平移个单位长度(D)向左平移一个单位长度633 已知函数f(x)sin x,则下面三个命题中：(1)f(1)33f( )0( 2)f (2) f( )0( 3)f(3) f( )0;444其中正确的命题共有(B )(A) 0 个(B)1 个(C) 2 个(D) 3 个4 .若f(x)是奇函数，且当x0 时，f(x) x2si nx,则当xR时，f (x)为(C )(A)xsinx(B)xsinx(

13、C) |x|x sinx(D) |x|x sinx5.函数f(x) . 3 cos(3x ) sin(3x)是奇函数，则等于(D)思路分析(1)条件等式降次化简得sin A sinC 2sin Ba c 2b(2)cosBa c2(丁)22ac2 23(a c ) 2ac 6ac 2ac8ac8ac技巧外，还经常需要考虑对条件或结论中的“边的最大值是（C ）解答题:N=farcos(cos4)，讨论 M 和 N 的大小。答案：MN(A)k(B)k(C)k(D)k 6336 .如果圆2x2 2yk至少覆盖函数f(x).3 sinx的一个最大值点和一个最小值点，则k的取值范围是（B(A)| k|3

14、(B)|k| 2(C)|k| 1(D)1 |k| 2)28.函数y sin x2cosx在区间2,a上的最小值为1，则a的取值为（C ）34.A. . 2、22 224(A),)(B) 0 ,(C),(D)( ,33333 39.若 ABC 面积 S=1(a2b242c )则/ C= ( C)10 .已知向量a(2cos ,2sin ),（2,）,b(0,1）,则a与b的夹角为（A ）(A)3(B)(C)(D)222二、填空题：11.若f （x）是以 5 为周期的奇函数，f( 3)=4,且cos1，则f (4cos2 )= -4 .(A)(C)4(D)6212.函数y=lg(sinxcosx)

15、的增区间是(k , k k 47 若X5123，贝y y=tan(xtan(x)cos(x6 6(A)12,2(B)11,256(C)11.36(D)12 ,3513. 用x表示不超过实数x的最大整数。则sin 10 14. 设x cossin 20 sin 303sin，且sinsin 2000 = _81_ 。cos30，则x的取值范围是(0, . 2；15. （文） 求函数y、2 2sinxlg（3tanx3）的定义域。答案：（2k73 ,2k- (2k,2k)k Z6462（理）二次函数 f （x）的二次项系数是负数，对任何x R，都有f(x3) =f(1 x)，所以tan A 2ta

16、nB.16. 在锐角三角形ABC 中，sin(A3B) , sin (A B)5(i)求证tan A2ta nB；(n)设AB=3,求AB边上的高.cos Asin B3,sin AcosB255cos Asin B1cos As in B155tan A 2tan Bsin AcosB略解（i）证明：sin AcosB3(n)解：A B,sin(A B) ,25tan A tan B3即，将tan A1 tan AtanB4V3 11略证：由已知得cosAcosC,又 cos(A C), .进一步可求出cos(CA 45 , B 60 ,C 75，a , 2b 2R(sin 45, 2 si

17、n 60 )4R?二 4Rsi n75 2c419. (1)已知x (0,)，证明不存在实数2m (0,1)能使等式 cosx+msinx=m(*)成立;(3)在扩大后的 x 取值范围内，若取m三求出使等式(*)成立的x值。3x提示：(可化为m tan(-)20.设函数f (x)=ab，其中向量a=(2cosx, 1),(1)若f (x)13且x ,，求x;33(2)若函数 y=2sin2x的图象按向量c=(m, n)(|m|)平移后得到函数 y=f(x)的图象，求实数 m2y=2sin2x的图象按向量c=(m, n)平移后得到函数y2sin 2(x m) n的图象，即函数 y=f(x)的图f (x)=2sin2(x+ )+1.T|m| , m= 12 2 12tan B2-，舍去负值，tan A22ta nB 2设AB边上的高为CD.由AB=AD+DB=CD-tan ACDtan B得 CD=2+6.2 .617 .已知y2 sin ?cos sincos,x sinCOS，其中0求函数 f(x)的解析式;