1.绪论及点、直线、平面的投影解析

1、授课内容备注绪论及点、直线、平面的投影教学目的：了解本课程的性质和任务；了解投影法的一般知识，建立正投影的 基本概念；掌握点、直线、平面在第一分角中三面投影的作图方法和投影特性；能求作一般位置直线段实长和倾角；能判断和求作平面上的点和直线及直线上 的点；能判断和求作两直线平行、相交和交叉；了解直线与平面以及两平面之 间的平行、相交的投影特性和作图方法（相交是，其中有一个元素对投影面处 于特殊位置）。教学重点：正投影法基本原理；点的投影规律及点的投影的画法；各种位置直 线的投影特性，画直线投影的方法；平面的三面投影、各种位置平面的投影特 性，画和读平面投影的方法；直线与平面以及两平面之间的平行、

2、相交的投影 特性和作图方法。教学难点：点的坐标与投影的关系； 如何利用直线的投影特性求做直线的投影; 利用平面的投影特性完成平面的投影作图。教学方法及手段：讲授法、练习法课外作业：P6:3P6:3、4 4； P6:5P6:5, P7:2P7:2、4 4、5 5； P9:3P9:3、6 6、7 7； P10:P10: 4 4、6 6学时分配：8 8 个学时自学内容：换面法教学内容：0绪论一、 本课程的性质（一）课程性质：本课程研究绘制和阅读工程图样的原理和方法，培养学生的 形象思维能力，是一门既有系统理论又有较强实践性的技术基础课。（二）研究内容：学习绘制和阅读工程图样的原理和方法。（三）工程图

3、样重要性：工程图样按规定的方法表达出机器或建筑物的形状、 大小、材料和技术要求，是表达和交流技术思想的重要工具，是技术部门的一 种重要技术文件。二. 本课程的基本内容（一）画法几何：学习用正投影法图示空间几何形体和图解简单空间几何问题 的基本原理和方法。（二）制图基础：学习国家标准机械制图和技术制图的基本规定，训 练用工具和仪器的尺规绘图，培养绘制和阅读投影图的基本能力，学习标注尺 寸的基本方法。（三）机械图：培养绘制和阅读常见机器或部件的零件图和装配图的基本能 力，并以培养读图能力为重点。三、 本课程的主要任务（一）学习正投影法的基本原理及其应用（二）培养绘制和阅读机械图样的基本能力（三）培

4、养图解简单空间几何问题的能力（四）培养对三维形状与相关位置的空间逻辑思维能力和形象思维能力（五）培养工程意识，以及贯彻、执行国家标准的意识四. 本课程的学习方法课程的性 质、内容、 任务和学 习方法授课内容备注（一）要坚持理论联系实际的学风。要认真学习投影原理，在理解基本概念的 基础上，由浅入深地通过一系列的绘图和读图实践，不断地由物画图、由图想 物，分析和想像空间形体与图纸上图形之间的对应关系，逐步提高对三维形状 与相关位置的逻辑思维能力和形象思维能力，掌握正投影的基本作图方法及其 应用。（二）做习题和作业时，应在掌握有关基本概念的基础上，按照正确的方法和 步骤作图，养成正确使用绘图工具和仪

5、器的习惯。（三）熟悉制图的基本规定和基本知识，遵守有关国家标准的规定，会查阅和使用有关的手册和国家标准，通过习题和作业培养绘图和读图能力。（四）制图作业应做到：投影正确，视图选择与配置恰当，图线分明，尺寸齐 全，字体工整，图面整洁。（五）由于图样在生产建设中起着很重要的作用，绘图和读图的差错都会带来 损失。所以在做习题和作业时，应培养认真负责的工作态度和严谨细致的工作 作风。1.点、直线、平面的投影1.1投影法的基本知识一、投影法与正投影的基本规律（一）投影概述在自然现象中，物体在光线的照射下会在某一平面上产生物体的影子，这 就是物体在平面上的图像。 人类通过科学地总结影子与物体的几何关系，

6、逐步 形成了把空间物体表示在平面上的基本方法，即投影法。如图所示。用光线照射物体，在预设的平面上获得物体图形的方法称为投影法，如图所示。光源 S S 称为投射中心，预设的平面 P P 称为投影面，投影面上得到的物体图 形称为该物体的投影。投影概述投形咿心授课内容备注（二）投影法的分类投影法一般分为中心投影法和平行投影法两类。1 1 中心投影法投射线从投射中心出发，在投影面上获得物体投影的方法，称为中心投影法，所得的投影称为中心投影。 工程上常用中心投影法画建筑透视图， 它用于反映 物体的立体形状， 不注重表达物体的尺寸大小。2.2.平行投影法用相互平行的投射线，在投影面上作出物体投影的方法，称

7、为平行投影法。平行投影法又分为斜投影法和正投影法：斜投影法一一投射线倾斜于投影面。正投影法一一投射线垂直于投影面。由于正投影法度量性好，作图方便，能正确地反映物体的形状和大小，所以工 程图样多数用正投影法绘制。在以后各章节中，如无特殊说明，投影均指正投 影。（三）正投影法的投影特性1 1 真实性 当直线或平面与投影面平行时，则直线的投影反映实长，平面 的投影反映实形，如图（a a）所示。2 2 积聚性 当直线或平面垂直于投影面时，则直线的投影积聚成一点，平 面的投影积聚成一直线，如图（b b）所示。3 3 类似性 当直线或平面倾斜于投影面时，直线的投影仍为直线，但小于 实长；平面的投影面积变小

8、，形状与原来形状相似，如图（c c）所示。（四）多面正投影：如下图所示，由于根据点和物体的一个投影是不能完全确定它们在空间的 形状和位置的，因此常将几何形体放置在两个或更多的投影面之间作投影，以 形成多面正投影。投影法的分类正投影的基本特性授课内容备注定义：GB/TGB/T 1694816948 19971997 规定：物体在互相垂直的两个或多个投影面上得 到正投影之后，将这些投影面旋转展开到一个图面上， 使该物体的各正投影图 有规则地配置， 并互相之间形成对应关系，这样的正投影图称为多面正投影或 多面正投影图。1.2点的投影一、点在一个投影面上的投影如下图所示，过空间点 A A 的投射线与投

9、影面 P P 的交点即为点 A A 在 P P 面上 的投影。点在一个投影面上的投影如下图所示，由空间点 B1B1 作垂直于投影面 P P 的投射线，与平面 P P 交得唯 一的投影 b b。反之，若已知点 B1B1 的投影 b b，由于在从点 b b 所作的平面 P P 的垂线 上的各点（如 B2B2、B3B3 等）的投影都位于 b b,如果补充其他条件，就不能确定 点 B1B1 的位置。由此可见，点在一个投影面上的投影，不能确定点的空间位置。由点的一个投影不能确定点的空间位置 所以，为了确定点的空间位置，需要采用多面投影。多面正投影点在一个 投影面上 的投影授课内容备注点的三面投影、点的两

10、面投影由于点的一个投影不能确定该点的空间位置，故需建立两投影面体系。设立互相垂直的两个投影面，正立投影面（简称正面）V V 和水平投影面（简 称水平面）H H，构成两投影面体系。两投影面体系将空间划分为四个分角。本 书只讲述物体在第一分角的投影。V V 面和H H 面的交线称为投影轴 0X0X。过 A A 作垂直于 V V、H H 面的投射线 AaAa、AaAa，分别与 H H 面交于 a a,与 V V 面交 于 aa、 a a、aa即为点 A A的两面投影。点的两面投影规律：（1 1） 点的两面投影连线垂直于投影轴，即aaaa丄 OXOX。（2 2）点的投影到投影轴的距离，等于该点与相邻投

11、影面的距离，即：a axa a =Aa=Aa a axa=Aaa=Aa。空间点用大写字母如 A A、B B、C C表示，其水平投影用相应的小写字母如a a、b b、c c、表示，正面投影用相应的小写字母加一撇如a a、b b、c c、表示。三、点的三面投影1.1.三投影面体系的建立两面投影能确定点的空间位置，却不能充分表达立体的形状，所以需采用 三面投影图。再设立一个与 V V、H H 面都垂直的侧立投影面（简称侧面）W形成三投影面体系。它的三条投影轴OX OY 0Z必定互相垂直。如下图所示。点的两面投影授课内容备注2.2.点的三面投影如下图所示，由空间点A分别作垂直于H、V W面的投射线，其

12、交点 a a、 a a、a a 即为点 A A的三面投影。空间点的 W W 面投影用相应的小写字母加两撇表示，如a a 、b b 、等，投影面展开时， W W 面绕 0Z0Z 轴向右旋转 9090和 V V 面展成一个平面，得到三 面投影图。0Y0Y 轴在 H H W W面上分别表示为 OYOYH0Y0Y。同样，不必画出投影面的 边框。3.3.点的三面投影规律在三投影面体系中，AaaaAaaXA,故点 B B 在点 A A 之左，同理，点 B B 在点 A A 之后(y yAyyB)、之下(ZBZB,AB B 两点在 同一条 H H 面的投射线上，故它们的水平投影重合于一点a a（ b b），

13、则称点 A A B B为对 H H 面的重影点。同理，位于同一条V V 面投射线上的两点称为对 V V 面的重影点；位于同一条 W W 面投射线上的两点称为对 W W 面的重影点。两点重影，必有一点被“遮盖”，故有可见与不可见之分。因为点A A 在点B B 之上（ZAZB），它们在 H H 面上重影时，点 A A 投影 a a 为可见，点 B B 投影 b b 为不 可见，并用括号将 b b括起来，以示区别。同理，如两点在V V 面上重影，则 y y 坐标值大的点其投影为可见点；在W W 面上重影，则X坐标值大的点其投影为可见点。1.3直线的投影一、直线的投影特性两点确定一条直线，将两点的同名

14、投影用直线连接，就得到直线的同名投 影。（一）直线对一个投影面的投影特性空间直线相对于一个投影面的位置有平行、垂直、倾斜三种，三种位置有 不同的投影特性。1 1真实性当直线与投影面平行时，则直线的投影为实长，这种投影性质称为真实性，如下图所示。授课内容备注2 2 积聚性当直线与投影面垂直时，则直线的投影积聚为一点，这种投影性质称为积聚性，如下图所示。3 3 收缩性当直线与投影面倾斜时，则直线的投影小于直线的实长,这种投影性质称为做收缩性，如下图所示。（二）直线在三个投影面中的投影特性根据直线在三投影面体系中的位置可分为投影面倾斜线、投影面平行线、 投影面垂直线三类。前一类直线称为一般位置直线，

15、后两类直线称为特殊位置 直线。它们具有不同的投影特性，下面分述如下：1.1.投影面平行线平行于一个投影面且同时倾斜于另外两个投影面的直线称为投影面平行 线。平行于 V V 面的称为正平线；平行于 H H 面的称为水平线；平行于 W W 面的称为 侧平线。直线与投影面所夹的角称为直线对投影面的倾角。a、B、丫分别表示直线对 H H 面、V V 面、W W 面的倾角。投影面平行线的立体图、投影图及投影特征（注：清晰版见后附表1 1）名称正平线（/V ）水平线（/H ）侧平蓟叫 b) / /授课内容备注体图投影特性YH(1)正面投影长。a b 反映实(2)正面投影 a b与 OX轴和OZ 轴的夹角

16、a、Y分别为 AB 对H 面和 W 面的倾角(3)水平投影轴 ab /OX 轴， 侧面投影a b /OZ轴，且都 小于实长。2.2.投影面垂直线(1)水平投影 ef 反映实长。(2)水平投影 ef 与 OX 轴和OYH的夹角B、Y分别为 EF 对 V 面 和W 面的倾角。(3)面投影 e f /OX 轴，侧 面投影 e f /OYw，且都小于实长(1) 侧面投影 ij反映实长(2)侧面投影 i j与 OZ 轴和 OYw轴的夹角B和a分别为EF 对 V 面和 H 面的倾角(3)正面投影 i j /OZ 轴,水平投影 ij /OYH,且都小于实授课内容备注垂直于一个投影面且同时平行于另外两个投影面

17、的直线称为投影面垂直线。垂直于 V V 面的称为正垂线；垂直于 H H 面的称为铅垂线；垂直于 W W 面的称 为侧垂线；投影面垂直线的立体图、投影图及投影特征(注：清晰版见后附表 2 2)(2)正面投影 b g ,侧面投影b g都反映实长，且 b g 丄名称Q(1 )正面投影 b (c)积聚成 一点。(1 )水平投影 b(g)积聚成一点。(1)侧面扌点。文2)水平投影 be，侧面投影(2) 正面投正垂线(丄 V)铅垂线(丄 H)侧垂线G实授课内容备注特 b c都反映实长，且 bc 丄 OX , OX , b g 丄 OYw。b c丄 OZ。性3.3.一般位置直线与三个投影面都处于倾斜位置的直

18、线称为一般位置直线。如图所示，直线 ABAB 与 H H、V V、W W 面都处于倾斜位置，倾角分别为a、B、丫。其投影如图所示。一般位置直线的投影特征可归纳为：1 1 直线的三个投影和投影轴都倾斜，各投影和投影轴所夹的角度不等于 空间线段对相应投影面的倾角；2 2任何投影都小于空间线段的实长，也不能积聚为一点。对于一般位置直线的辨认：直线的投影如果与三个投影轴都倾斜，则可判 定该直线为一般位置直线。二、直线与点的相对位置判别方法：如图所示，若点在直线上，则点的投影必在直线的同名投影上。并将线段 的同名投影分割成与空间相同的比例。即：AC/CB=ac/cb=AC/CB=ac/cb= a a c

19、 c / / cbcb(定比定理)若点的投影有一个不在直线的同名投影上，则该点必不在此直线上。三、两直线的相对位置两直线的相对位置有平行、相交、交叉三种情况。影 ek 都反映实长，且 e k丄OZ , ek 丄 OYH。授课内容备注() 两直线平行授课内容备注若空间两直线平行，则它们的各同面投影必定互相平行。由于 AB/CDAB/CD 则必定 abab/ cdcd、a a b b / c c d d 、a a b b/ cc d d。反之，若两直线的各同 面投影互相平行，则此两直线在空间也必定互相平行。在投影图上判定两直线是否平行；若两直线处于一般位置时，则只需观察两直线中的任何两组同面投影是

20、否互相平行即可判定；但当两平行直线平行于 某一投影面时，则需观察两直线在所平行的那个投影面上的投影是否互相平行 才能确定。如图所示，两直线 ABC%ABC%为侧平线，虽然 abab/ cdcd、a a b b/ c c dd, 但不能断言两直线平行，还必需求作两直线的侧面投影进行判定，由于图中所 示两直线的侧面投影 a a b b与 c c d d相交，所以可判定直线 ABAB CDCD 不平行。（二）两直线相交若空间两直线相交，则它们的各同面投影必定相交，且交点符合点的投影 规律。如图所示，两直线 ABAB CDCD 相交于 K K 点，因为 K K 点是两直线的共有点， 则此两直线的各组同

21、面投影的交点k k、 k k、k k 必定是空间交点 K K 的投影。反之，若两直线的各同面投影相交， 且各组同面投影的交点符合点的投影规律， 则此两直线在空间也必定相交。在投影图上判定两直线是否相交：若两直线均为一般位置线时，则只需观 察两直线中的任何两组同面投影是否相交且交点是否符合点的投影规律即可 判定；但当两直线 中有一条直线为投影面平行线时，则需观察两直线在该投 影面上的投影是否相交且交点是否符合点的投影规律才能确定；或者根据直线投影的定比性进行判断。两直线 ABAB CDCD 两组同面投影 abab 与 cdcd、a a b b 与c c d d虽然相交，但经过分析判断，可判定两直

22、线在空间不相交。（三）两直线交叉授课内容备注两直线既不平行又不相交，称为交叉两直线。授课内容备注若空间两直线交叉，则它们的各组同面投影必不同时平行，或者它们的各 同面投影虽然相交，但其交点不符合点的投影规律。反之亦然。如图(a a )所示。空间交叉两直线的投影的交点，实际上是空间两点的投影重合点。利用重 影点和可见性，可以很方便地判别两直线在空间的位置。在图( ABAB 和 CDCD 的正面重影点 k k ( I I )的可见性时， 由于 比 I I 的 y y 坐标值大， 所以当从前往后看时，点 定 ABAB 在 CDCD 的前方。同理，从上往下看时，点 在 ABAB 的上方。四、一边平行于

23、投影面的直角的投影当空间两直线成直角(相交或交叉)时：(1)若两边都与某投影面倾斜，则在该面上的投影不是直角。(2)若两边都与某投影面平行，则在该面上的投影反映直角。(3 3 )若一边平行于某投影面，则在该面上的投影仍是直角。1.4平面的投影、平面的表示法K K、K K 可见，点M M 可见，点b b)中，判断 L L 两点的水平投影 k k L L 不可见，由此可判 N N不可见，可判定 CDCDbtd ftnbcZfltcUrtri ftABL H . BCL HABt H . BCH HABiH. BClH1.1. 不在同一直线上的三点2.2. 直线和直线外一点3.3. 相交两直线4.4

24、. 平行两直线5.5. 任意平面图形，如三角形、四边形、圆形等:、平面的投影特性（一） 平面对一个投影面的投影特性1 1 真实性平面平行投影面-投影就把实形现2 2 积聚性平面垂直投影面-投影积聚成直线3 3 类似性平面倾斜投影面- -投影类似原平面（二） 平面在三投影面体系中的投影特性根据平面在三投影面体系中的位置可分为投影面倾斜面、投影面平行面、 投影面垂直面三类。前一类平面称为一般位置平面，后两类平面称为特殊位置 平面。乎面分类乎面分类平面对投幣面的栩对位置平面对投幣面的栩对位置特殊位宣平面投母面平行面投母面平行面平打于一个投影平打于一个投影 面面，垂直于另外两垂直于另外两 个投影面个投

25、影面正平面正平面（1/水平面水平面仙目面）仙目面）側平面側平面（/財面）財面）投影面垂直面投影面垂直面只垂直于一个投只垂直于一个投正垂面正垂面（丄卩面）（丄卩面）铅垂面铅垂面（丄丽）（丄丽）垂面垂面（丄（丄TO）一最位直平面一最位直平面与三个投母面硼斜与三个投母面硼斜（Zv面、面、面、面、厲）厲）授课内容备注授课内谷它们具有不同的投影特性，下1.1.投影面垂直面垂直于一个投影面且同时倾斜于另外两个投影面的平面称为投影面垂直面。垂直于 V V 面的称为正垂面；垂直于 H H 面的称为铅垂面；垂直于 W W 面的称为 侧垂面。平面与投影面所夹的角度称为平面对投影面的倾角。a、B、 丫分别表示平面对

26、 H H 面、V V 面、W W 面的倾角。 D 合徉血的段硏咐上的按底.低舉盛 MtV 它与就西轴的葩吊.守期碇岭窗对巧网段匝舌的 N 型桎曲2)九驾外弛啊 5 帐点 I 的握岂們与屮调 IH 旳向粗變小投影面垂直面的投影特征：(1) 在垂直的投影面上的投影，积聚成直线；它与投影轴的夹角，分别 反映平面对另两投影面的真实倾角(2)其他两个投影为平面图形，有类似性，且面积缩小。2.2.投影面平行面平行于一个投影面且同时垂直于另外两个投影面的平面称为投影面平行面。平行于 V V 面的称为正平面；平行于 H H 面的称为水平面；平行于 W W 面的称为 侧平面；备注1) +由卅阳肌!M 坝八. 視

27、曲2)酬曲松巔仍为十而 ri- ,K4tn fnrmii i.阵反嚥 貞罠轉吊用-(2) .i(:|AfrtP；，側內代序肝冲半蔺 帽险和枷H)博贞抵需秤常底, Jitt貞需廉巾宀 l /i T h 的检忖离 i 闻起处r応帙宵野(I -(2)山讯圧皿X、才 3 也Q :。八.寸砂机草成-授课内容备注三、用有积聚性的迹线表示特殊位置平面平面主要用几何元素表示，也可以用迹线表示，迹线是平面与投影面的交 线。投幣特栓(冀同(0we 投诺时连幔禅羅连tftffrsfimstl.(3)捕两条誉圾井關栩交1-M何的授事上的岡直(U任那茂的桂诺血I的连坨 有駅転它与fitBM的 史仙.牛和R映丁面对对 神

28、也世谢的4实煉命輕耳外两*挾总嘗I：的连 纯+分別哄血的应的推(u aru的投紙*H无连纯 從先誨，投艺上的进n rh j-fii殛的投影粉四、平面上的直线和点(一)平面上取任意直线 判断直线在平面内的方法：1.1. 定理一： 若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。2.2. 定理二： 若一直线过平面上的一点，且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。(二)平面上取点平面上取点方法：先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然 后再在该直线上确定点的位置。五、圆的投影处于投彫 面垂比而位 比的迹线牛;处f istHi廊平汀面位 配的述线样 而授课内容备注正乘岡正乘岡 住与御平厠

29、平疔的損乗谢上的投犯反快真驱*P）隹与岡平商曜直的投爭丙上弱撩爵歳为一毎何鎌，尺度筲F岡的比冷（3）在与唧翠面帳解的投粥白I：的投滋垦柄圖,K轴址剧的甲行F：这个桧掰闻的 址径的ift昧 删曲的叮1:迷既径幅章苗的自變的投臥1.5直线与平面以及两平面之间的相对位置、在特殊情况下图示与图解直线与平面以及平面与平面的相对位置 可以有以下几种相对位置：1.1.平行（1 1 ）直线与平面平行（2 2 ）平面与平面平行2.2.相交（1 1 ）直线与平面相交（2 2 ）平面与平面相交 （其中垂直是相交的特例）（一） 相交 直线与平面的交点是线面的共有点，两平面的交线是两面的共有直线。投影特性授课内容备注当唯同-投嫌曲的期屮廁iMrH.两平面疝砂董性的冋面h：t=tr芳江线蚌江于投戲而的tifcfli唯仇时,优线淀半行于谨咿曲断 垂口,的投迟面，闻旦,厲堆的投觀皿fl尸尸曲豹和机蚩性的同囲投毎肖护面与投比頂屢