2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的几何性质学案新人教B版选修2-1

1、242抛物线的几何性质【学习目标】1. 了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质2 会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.ET问题导学-知识点一抛物线的范围思考 观察下列图形，思考以下问题:(1)观察焦点在x轴的抛物线与双曲线及椭圆的图形，分析其几何图形存在哪些区别?根据图形及抛物线方程y2= 2px(p0)如何确定横坐标x的范围？梳理 抛物线y2= 2px(p0)中，x_,y_.抛物线y2= 2px(p0)中，x_,y_.抛物线x2= 2py(p0)中，x_,y_.抛物线x2= 2py(p0)中，x_,y_.知识点二四种形式的抛物线的几何性质标准方程y2= 2px(pC)2

2、y= 2px(p0)2x= 2py(p0)2x= 2py(p0)图形miLQ7LITKPPIn范围x0,y Rx0,x Ryw0,xR对称轴x轴x轴y轴y轴焦占八 、八、pF(2,o)pF( 2, 0)pF(0 , /pF(0，专)2准线方程x=-x=2y=-叮y=2顶点坐标O00)离心率e= 1通径长2p知识点三直线与抛物线的位置关系2y=kx+b,直线y=kx+b与抛物线y= 2px(p0)的交点个数决定于关于x的方程组*2解y= 2px的个数，即二次方程k2x2+ 2(kbp)x+b2= 0 解的个数.当k工0时，若 0,则直线与抛物线有 _ 个不同的公共点；若 = 0 时，直线与抛物线

3、有_个公共点；若 0), |PF= |xo+2 = 2 +xo；2P P2抛物线y= 2px(p0), |PF| = |Xof = 2 一Xo；2p p2p3抛物线x= 2py(p0), |PF=|yo+ 2 = 2 +yo;抛物线x= 2py(p0), |PF| = |yog p=2y.已知AB是过抛物线y2= 2px(pO)的焦点的弦，F为抛物线的焦点，A(X1,y,B(X2,y2), 则：22P1y1y2=p,X1X2=;2p2|AB=X1+X2+p=/( 0为直线AB的倾斜角);sin02p3SA AB=(0为直线AB的倾斜角);2sin041 1 24IAF十 |BF p；5以AB为

4、直径的圆与抛物线的准线相切.(3)当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为 抛物线的通径，显然通径长等于2p.跟踪训练 2 已知直线I经过抛物线y2= 6x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点. (1)若直线I的倾斜角为 6O,求|AB的值；若 IAB= 9 求线段AB的中点M到准线的距离.5类型三抛物线综合问题命题角度 1 与抛物线有关的最值问题 例 3 抛物线y2= 4x的焦点为F,点P(x,y)为该抛物线上的动点,的最小值.反思与感悟(1)若曲线和直线相离，在曲线上求一点到直线的距离最小问题，可找到与已知直线平行的直线，使其与曲线相切，则切点为所要求的

5、点.(2)以上问题一般转化为“两点之间线段最短”或“点到直线的垂线段最短”来解决.2跟踪训练 3 已知直线li： 4x 3y+ 6 = 0 和直线12:x= 1,抛物线y= 4x上一动点P到直线l1和直线I2的距离之和的最小值是()1137A. 2 B . 3 C. D.516命题角度 2 定值或定点问题例 4 抛物线y2= 2px(p0)上有两动点A B及一个定点M F为抛物线的焦点，若|AF , I MF, IBF成等差数列.(1)求证：线段AB的垂直平分线过定点Q若|MF= 4, |OQ= 6(O为坐标原点)，求抛物线的方程.反思与感悟 在抛物线的综合性问题中， 存在着许多定值问题， 我

6、们不需要记忆关于这些定 值的结论，但必须牢牢掌握研究这些定值问题的基本方法，如设直线的点斜式方程、根与系数关系的利用、焦半径的转化等.跟踪训练 4 在平面直角坐标系xOy中，直线I与抛物线y2= 4x相交于不同的A, B两点，克ASB=4,求证：直线l必过一定点.IpF若点A 1,0),求眉6EI当堂训练1 已知点A-2, 3)在抛物线C：y2= 2px的准线上，记C的焦点为F,则直线AF的斜率为4A. - B 1 C32.已知点P是抛物线y2= 2x上的一个动点，则点P到点(0 , 2)的距离与点P到该抛物线准 线的距离之和的最小值为( )人罟 B . 3 C. 5 D.93._ 过抛物线y

7、2= 4x的焦点作直线I交抛物线于A,B两点，若线段AB的中点的横坐标为 3, 则 |AB=_.4._ 已知过抛物线y2= 2px(p0)的焦点F作倾斜角为 45的直线交抛物线于 A,B两点，若 线段AB的长为 8，则p=.5已知抛物线C: y2= 8x的焦点为F,准线与x轴的交点为K,点A在抛物线C上，且|AK|= Q2|AF，则AFK勺面积为_.厂规律与方法-1抛物线的中点弦问题用点差法较简便.2.轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系.3在直线和抛物线的综合问题中，经常遇到求定值、过定点问题解决这类问题的方法很 多，如斜率法、方程法

8、、向量法、参数法等解决这些问题的关键是代换和转化.提醒：完成作业第二章 2.4.27合案精析问题导学知识点一思考(1)抛物线与另两种曲线相比较，有明显的不同，椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有 两个焦点，有中心；双曲线虽然不是封闭曲线，但是有两支，有两个顶点，两个焦点，有中 心；抛物线只有一条曲线，一个顶点，一个焦点，无中心.22px=y2 0,由抛物线y= 2px(p0)有*所以x0.所以抛物线x的范围为x0.抛p0,物线在y轴的右侧，当x的值增大时，丨y丨也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限 延伸.梳理0,+)(-m,+m)(-m,0(-m,+m)(-m,+m)0,+8)(m,+m)(-m

9、,0知识点三两一没有平行或重合一题型探究2 2例 1 解 椭圆的方程可化为x+= 1 ,其短轴在x轴上，抛物线的对称轴为x轴，.设49抛物线的方程为y2= 2px或y2= 2px(p0).抛物线的焦点到顶点的距离为3,即 2= 3 ,p= 6.抛物线的标准方程为y2= 12x或y2= 12x,其准线方程分别为x= 3 或x= 3.引申探究解 由题意，设抛物线方程为y2= 2mXm0)，焦点F(m0)，直线I:x=多所以A B两点坐标为(多m,(m, m,所以 |AB= 21m.因为OAB勺面积为 4 ,1j所以 2i2 2|m= 4,所以m=2.2.所以抛物线的标准方程为y2=42x.跟踪训练

10、 1 解 由已知，抛物线的焦点可能在X轴正半轴上，也可能在负半轴上.8故可设抛物线方程为y2=ax(a工 0).设抛物线与圆x2+y2= 4 的交点A(xi,yi) , 0X2,y2).T抛物线y2=ax(a 0)与圆x2+y2= 4 都关于x轴对称，点A与B关于x轴对称，|yi| = |y2| 且|yi| + |y2| = 2 3,I yi| = |y2| =詁 3，代入圆x+y=4,得x2+ 3= 4, x= i,A i, . 3)或A i, 3)，代入抛物线方程，得(，3)2=a,.a= 3.所求抛物线方程是y2= 3x或y2= 3x.例 2(i)i6(2)x+y i = 0 或xy i

11、 = 0(3) 7跟踪训练 2 解 因为直线l的倾斜角为 60,所以其斜率k= tan 60 =3.fy2= 6x,又Fq, 0 ,所以直线I的方程为y= .3x.联立， 一 329消去y得x 5x+ = 0.4若设A(xi,yi) ,B(X2,y2)，贝UXi+X2= 5,十pp而 IAB= |AF+ |BF=Xi+ 2+X2+ 2=Xi+X2+p,所以 |AB= 5 + 3= 8.pp设A(Xi,yi) ,B(X2,y2)，由抛物线定乂知|AE| = |AF|+ |BF| =Xi+ +X2+=Xi+X2+p=Xi+X2+ 3,3所以Xi+X2= 6.于是线段AB的中点M的横坐标是 3,又准

12、线方程是x=-,39所以M到准线的距离等于 3 + 2= ?.例 3 解 抛物线y2= 4x的准线方程为x= i，如图，过点P作PN垂直x= i 于点N,9由抛物线的定义可知|PF= IPN,连接PA在 Rt PAN中,sin /PAW，当 鬻 =IPA最小时，sin /PAN最小，即/PAN最小，即/PAF最大,1 PA 1 PA 1 PA此时，PA为抛物线的切线，设PA的方程为y=k(x+ 1),y=k x+1,联立2iy= 4x,得k2x2+ (2k2- 4)x+k2= 0,所以 = (2k2- 4)2- 4k4= 0,解得k= 1,所以/PAF=ZNPA=45跟踪训练 3 A例 4 (

13、1)证明 设点A(X1, y” ,B(X2,y2),Mxo,yo),“pp则|AF| =X1+ 2，|BF=x2+ ，p|MF=X0+ 2,X0为已知值.由题意得X0= 尹，线段AB的中点坐标可设为(X0,t),V1+V2其中t=2 丰0(否则 |AF= |MF= |BF| ?p= 0).十、y1-y2y1-y?2pp而kAB=7,X1-X2122y+y2t?yiy22p y y故线段AB的垂直平分线的方程为yt= -p(xxo), 即t(x-Xo-p) +yp= 0,可知线段AB的垂直平分线过定点Qxo+p, 0).p(2)解 由 |MF= 4, |OQ= 6,得x+ 2= 4,X0+p= 6,联立解得p= 4,X0= 2. 抛物线方 程为y2= 8x