2018版高中数学第二章函数2.2函数的表示法学案北师大版必修1

1、2. 2 函数的表示法学习目标1.掌握函数的三种表示方法：解析法、图像法、列表法（重点）；2.会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；3. 了解简单的分段函数，并能简单应用（重、难点）.|谦前預习自 4 学习.积淀基讪预习教材 P28-31 完成下列问题：知识点一函数的三种表示方法表示法定义解析法用数学表达式表示两个变量之间的对应关系图像法用图像表示两个变量之间的对应关系列表法列出表格来表示两个变量之间的对应关系【预习评价】1.函数的三种表示方法各有什么优、缺点?提示 三种表示方法的优、缺点比较：优点缺点解析法1简明、全面地概括了变量间的关系；2可以通过解析式求出任意一个自变量所对应的函数值不

2、够形象、直观列表法不通过计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值一般只能表示部分自变量的函数值图像法直观、形象地表示出函数的变化情况， 有利于通过图形研究函数的某些性质只能近似地求出自变量所对应的函数 值，有时误差较大2.任何一个函数都可以用解析法、列表法、图像法三种形式表示吗？提示不一定.并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图像法也不适用于所有函数，如0,x QQx） =列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情1,x ?RQ况，列表法只能表示函数的一个概况或片段.知识点二分段函数有些函数在它的定义域中， 对于自变量x的不同取值，对应关系也不同，这样的函数通

3、常称为分段函数.【预习评价】分段函数的定义域和值域是如何确定的？2提示 分段函数是一类特殊的函数， 其解析式是由几个不同的式子构成，它们合为一个3(1)y=x+ 1(x Z)；y=x2 2x(x 0,3).解(1)这个函数的图像由一些点组成，这些点都在直线y=x+ 1 上，如图(1)所示.如图所示.的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表画出图像.2函数的图像可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要注意关键点，如图像与坐标轴的交点、 区间端点，二次函数的顶点等等, 空心点.【训练 1】 作出下列函数的图像.(1)y=x+1(xw0);2(2)y=x 2x(x1，或x1,或x 1)是

4、抛物线分后剩余曲线如图(2).题型二列表法表示函数因为 Owx3,所以这个函数的图像是抛物线y=x2 2x介于 Owxg(f(x)的解为x= 2.答案 12规律方法 解决此类问题关键在于弄清每个表格表示的函数.对于f(g(x)这类函数值的求解应从内到外逐层解决，而求解不等式，则可分类讨论或列表解决.【训练 2】已知函数f(x),g(x)分别由下表给出x123f(x)211x123g(x)321(1)f(g(i) =_;若g(f(x) = 2,贝y x=_.解析 (1)由表知g(i) = 3,-f(g(i) =f(3) = 1;(2) 由表知g(2) = 2，又g(f(x) = 2,得f(x)

5、= 2，再由表知x= 1.答案(1)1(2)1题型三待定系数法求函数解析式【例 3】(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x) = 4x 1,求f(x);(2)已知二次函数f(x) =ax2+bx+c,若f(0) = 0,且f(x+1) =f(x) +x+1,求此二次函数f(x)的解析式.解(1)vf(x)是一次函数，.设f(x) =ax+b(a0)，则f(f(x) =f(ax+b) =a(ax2+b) +b=a x+ab+b.2又vf(f(x) = 4x 1，二a x+ab+b= 4x 1,a2= 4,a=2,a= 2 ,解得丫1或 Lab+b= 1,皆1|b= 1.61 f(x) = 2

6、x 3 或f(x) = 2x+ 1 .3 f(0) = 0, c= 0,f(x) =ax2+bx,/f(x+ 1) =f(x) +x+ 1,当x= 0, 有f(1) =f(0) + 1= 1，即a+b= 1.当x= 1 时，有f(2) =f(1) + 1 + 1= 3, 即 4a+ 2b= 3,1 1由解得a= 2b=2规律方法1.对于特征已明确的函数一般用待定系数法求解析式.2.若所求函数为一次k函数，通常设f(x) =kx+b(k丰0)；若为反比例函数，通常设为f(x) =-(kz0)；若为二次x2函数，则解析式有以下三种：(1) 一般式y=ax+bx+c(azo) ； (2)两根式y=a

7、(xx(xf b X2)(az0)，其中X1,X2是二次函数图像与x轴交点的横坐标；(3)顶点式y=a x+石f+已知二次函数f(x)满足f(0) = 1,f(1) = 2,f(2) = 5,求该二次函数的解析式.解 设二次函数的解析式为f(x) =ax2+bx+c(az0), 1),则x= (t- 1)2,所以f(t) = (t- 1)2+ 2t-1 2=t2- 1, 所以f(x) =x2-1(x1).法二(配凑法)因为x+ 2x= (x+ 1)2- 1,所以f( +1) = (x+1)2- 1 .又因为，x +1 1,所以f(x) =x2- 1(x 1).1(2)由题意知f(x) + 2f

8、=x，令x=7(t丰0),丿t1 1 1则x=t，则f it+ 2f(t) =p,”，口2x解得f(x) = 3x-30丰o).规律方法换元法(或配凑法)、方程组法求函数解析式的思路(1) 已知f(g(x) =h(x)，求f(x)，常用的有两种方法:1换元法，即令t=g(x)，解出x,代入h(x)中，得到一个含t的解析式，即为函数解 析式，注意：换元后新元的范围.2配凑法，即从f(g(x)的解析式中配凑出g(x) ”，即用g(x)来表示h(x)，然后将 解析式中的g(x)用x代替即可.(2) 方程组法：当同一个对应关系中的含有自变量的两个表达式之间有互为相反数或互 为倒数关系时，可构造方程组求

9、解.【训练 4】 已知f(x- 1) =x2+ 4x-5，则f(x)的解析式是()2 2A. f(x) =x+ 6xB. f(x) =x+ 8x+ 7C.f(x) =x2+ 2x-3D.f(x) =x2+ 6x- 10解析 法一 设t=x- 1,则x=t+ 1,因为f(x- 1) =x2+ 4x-5,所以f(t) = (t+ 1)2+ 4(t+ 1) - 5=t+ 6t,f(x)的解析式是f(x) =x2+ 6x.222法二 因为f(x 1) =x+ 4x- 5 = (x- 1) + 6(x- 1)，所以f(x) =x+ 6x.所以f(x)的解析式是f(x) =x+ 6x.A2f(x) =1，

10、于是得到关于xx&与f(x)的方程组8答案 A9|x| x【探究 2】已知函数f(x) = 1+2( 2xw2).(1) 用分段函数的形式表示该函数；(2) 画出该函数的图像；(3) 写出该函数的值域.”,x x解(1)当 OWXW2时，f(x) = 1 +=1;,一X一X当一 2x0 时，f(x) = 1+ 2 = 1 x,1,OWxW2,-f(x)=11x, 2x0.(2)函数f(x)的图像如图所示:L1d-2 O2(3)由 知，f(x)在(一 2,2上的值域为1,3)2x+ 1,x 1.(1) 试比较f(f( 3)与f(f(3)的大小；(2) 画出函数的图像；(3) 若f(x)

11、= 1,求x的值.解(1) 31,互动探究题型五分段函数及应用”1【探究 1】函数f(X) = i2XX,X1f(3) = 32 3 3 = 3,所以厂y2x解析10 f(3)= 2X(3)+1=7./ 71,112 f(f(-3)=f(7)=7-2X7=35./ 31,.f(3) = 32-2X3= 3,f(f(3) = 3.f(f( - 3)f(f(3).函数图像如图所示.(3)由f(x) = 1 和函数图像综合判断可知，当x在(一汽 1)上时，得f(x) =- 2x+ 1 =1,解得x= 0 ；当x在1,+8)上时，得f(x)=X2-2x=1,解得x=1+. 2 或x=1-2(舍去).综

12、上可知x的值为 0 或 1+ 2.规律方法(1)求分段函数值的方法先确定要求值的自变量属于哪一段，然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止.特别地，当出现f(f(Xo)的形式时，应从内到外依次求值.已知函数值求字母的值的四个步骤1讨论：对字母的取值范围分类讨论.2代入：由不同取值范围，代入对应的解析式中.3求解：通过解方程求出字母的值.【探究 4】 已知函数f(x)=3x- 2x,x 1,I2-2x+ 3,x1,求使f(x) 1,解由题意可得彳23x- 2x2-2x2+ 3 1,由*123x2- 2x2,综上可知，使f(x)2 的x值的集合为或务皆124检验：检验所求的值是否在所讨论的区间内.

13、课堂反馈自眾氏如救3.13课堂达标1.已知f(x+ 2) = 6x+ 5,贝 yf(x)等于()A. 18x+ 17B. 6x+ 5C. 6x 7D. 6x 5解析设x+ 2=t，得x=t 2, f(t) = 6(t 2) + 5 = 6t 7,.f(x) = 6x 7,故选C.答案 Cx+2,xw1,答案y= x2+ 4x 2, 1x35.已知f(x)是一次函数，且满足 3f(x+ 1) = 6x+ 4,求f(x)的解析式. 解 因为f(x)是一次函数，所以设f(x) =kx+b(k丰0).则 3f(x+ 1) = 3k(x+ 1) +b = 3kx+ 3k+ 3b= 6x+ 4,3k= 6

14、,3k+ 3b= 4,22.已知函数f(x)=岛则f(2)等于(x 1A. 0C. 1B.D. 2解析f(2) = 2 1 = 1.答案 C3.已知函数f(x)由下表给出，贝 Uf(f(3) =_24 .如图所示，函数图像是由两条射线及抛物线的一部分组成，则函数的解析式为14所以f(x) = 2x3.课堂小结1.函数三种表示法的优缺点一是琦朗、 全面地覘括 了变量闾的芙報；二 是利用解析式可求住一岀软他-bR点不够誓象、 直观.而且 并苓是所有西鞍都有 辭析式能冊象、直观地表示 函數的査化情渡点只能址似求曲d査蚩 的临所对应的禹tut丽JL有时谯集擬大不満计茸可创立接看点仪能表示自变是取戦 少的有限值时