小学奥数教案——抽屉原理

1、优秀教案欢迎下载教案抽屉原理一本讲学习目标初步抽屉原理的方法和心得；二概念解析把 3 个苹果任意放到两个抽屉里，可以有哪些放置的方法呢？一个抽屉放一个，另一个抽屉放两个； 或 3 个苹果放在某一个抽屉里. 尽管放苹果的方式有所不同，但是总有一个共同的规律：至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果. 假如把 5 个苹果任意放到4 个抽屉里，放置的方法更多了，但仍有这样的结果 . 由此我们可以想到，只要苹果的个数多于抽屉的个数，就肯定能保证至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果 . 道理很简洁：假如每个抽屉里的苹果都不到两个（也就是至多有1 个），那么全部抽屉里的苹果数的和就比总数少了. 由此得到：

2、抽屉原理：把多于n 个的苹果放进n 个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果；假如把苹果换成了鸽子，把抽屉换成了笼子，同样有类似的结论，所以有时也把抽屉原理叫做鸽笼原理 . 不要小看这个“原理”，利用它可以解决一些表面看来好像很难的数学问题；比如，我们从街上任凭找来13 人，就可以肯定他们中至少有两个人属相（指鼠、牛、虎、兔、等十二种生肖）相同. 怎样证明这个结论是正确的呢？只要利用抽屉原理就很简洁把道理讲清晰. 事实上，由于人数（ 13）比属相数（12）多，因此至少有两个人属相相同（在这里，把13 人看成 13 个“苹果”，把 12 种属相看成12 个“抽屉”）；应用抽屉原理要留

3、意识别“抽屉”和“苹果”，苹果的数目肯定要大于抽屉的个数；三例题讲解例 1 有 5 个小伴侣，每人都从装有很多黑白围棋子的布袋中任意摸出3 枚棋子 . 请你证明，这 5 个人中至少有两个小伴侣摸出的棋子的颜色的配组是一样的；分析与解答第一要确定 3 枚棋子的颜色可以有多少种不同的情形，可以有：3 黑，2 黑 1 白， 1 黑 2 白，3 白共 4 种配组情形，看作4 个抽屉 . 把每人的 3 枚棋作为一组当作一个苹果，因 此共有 5 个苹果 . 把每人所拿3 枚棋子按其颜色配组情形放入相应的抽屉. 由于有 5 个苹果，比抽屉个数多，所以依据抽屉原理，至少有两个苹果在同一个抽屉里，也就是他们所拿

4、棋子的颜色配组是一样的；优秀教案欢迎下载例 2 一副扑克牌（去掉两张王牌），每人随便摸两张牌，至少有多少人才能保证他们当中肯定有两人所摸两张牌的花色情形是相同的？分析与解答扑克牌中有方块、 梅花、黑桃、红桃 4 种花色， 2 张牌的花色可以有： 2 张方块，2 张梅花， 2 张红桃， 2 张黑桃， 1 张方块 1 张梅花， 1 张方块 1 张黑桃， 1 张方块 1 张红桃，1 张梅花 1 张黑桃， 1 张梅花 1 张红桃， 1 张黑桃 1 张红桃共计 10 种情形 . 把这 10 种花色配组看作 10 个抽屉，只要苹果的个数比抽屉的个数多 1 个就可以有题目所要的结果 . 所以至少有 11 个

5、人；例 3 证明：任取8 个自然数，必有两个数的差是7 的倍数；分析与解答在与整除有关的问题中有这样的性质，假如两个整数a、b，它们除以自然数m 的余数相同，那么它们的差a-b 是 m的倍数 . 依据这个性质，此题只需证明这8 个自然数中有 2 个自然数，它们除以7 的余数相同 . 我们可以把全部自然数按被7 除所得的7 种不同的余数 0、1、2、3、4、5、6 分成七类 . 也就是 7 个抽屉 . 任取 8 个自然数，依据抽屉原理，必有两个数在同一个抽屉中，也就是它们除以7 的余数相同， 因此这两个数的差肯定是7 的倍数；把全部整数依据除以某个自然数m的余数分为m类，叫做 m的剩余类或同余类

6、， 用0 ，1 ， 2 ， m-1 表示. 每一个类含有无穷多个数，例如1 中含有 1， m+1，2m 1， 3m 1，. 在讨论与整除有关的问题时，常用剩余类作为抽屉. 依据抽屉原理，可以证明：任意 n+1 个自然数中，总有两个自然数的差是n 的倍数；在有些问题中， “抽屉”和“苹果”不是很明显的，需要细心制造“抽屉”和“苹果”. 如何制造“抽屉” 和“苹果” 可能是很困难的， 一方面需要仔细地分析题目中的条件和问题， 另一方面需要多做一些题积存体会；例 4 从 2、4、6、30 这 15 个偶数中，任取9 个数，证明其中肯定有两个数之和是34；分析与解答我们用题目中的15 个偶数制造8 个

7、抽屉：凡是抽屉中有两个数的，都具有一个共同的特点：这两个数的和是34；现从题目中的15 个偶数中任取9 个数，由抽屉原理（由于抽屉只有8 个），必有两个数在同一个抽屉中. 由制造的抽屉的特点，这两个数的和是34；例 5 从 1、2、3、4、 19、20 这 20 个自然数中，至少任选几个数，就可以保证其中一 定包括两个数，它们的差是12；分析与解答在这20 个自然数中，差是12 的有以下 8 对：优秀教案欢迎下载20，8， 19，7， 18，6， 17，5， 16， 4， 15， 3， 14，2， 13，1；另外仍有4 个不能配对的数 9， 10， 11， 12，共制成12 个抽屉（每个括号看

8、成一个抽屉）. 只要有两个数取自同一个抽屉，那么它们的差就等于12，依据抽屉原理至少任选13 个数，即可办到（取 12 个数：从 12 个抽屉中各取一个数 （例如取 1，2，3， 12），那么这12 个数中任意两个数的差必不等于12）；例 6 从 1 到 20 这 20 个数中，任取11 个数，必有两个数，其中一个数是另一个数的倍数；分析与解答依据题目所要求证的问题，应考虑依据同一抽屉中，任意两数都具有倍数关系 的原就制造抽屉 . 把这 20 个数按奇数及其倍数分成以下十组，看成10 个抽屉（明显，它们具有上述性质）：1，2，4，8，16，3，6，12，5，10，20，7，14， 9，18，1

9、1， 13， 15， 17， 19；从这 10 个数组的 20 个数中任取11 个数，依据抽屉原理，至少有两个数取自同一个抽屉. 由于凡在同一抽屉中的两个数都具有倍数关系，所以这两个数中，其中一个数肯定是另一个数的倍数；例 7 证明：在任取的5 个自然数中，必有3 个数，它们的和是3 的倍数；分析与解答依据被 3 除所得的余数， 把全体自然数分成3 个剩余类， 即构成 3 个抽屉 . 假如任选的 5 个自然数中， 至少有 3 个数在同一个抽屉， 那么这 3 个数除以3 得到相同的余数r ，所以它们的和肯定是3 的倍数（ 3r 被 3 整除）；假如每个抽屉至多有2 个选定的数， 那么 5 个数在

10、 3 个抽屉中的安排必为1 个，2 个，2个，即 3 个抽屉中都有选定的数. 在每个抽屉中各取1 个数，那么这3 个数除以3 得到的余数分别为0、1、2. 因此，它们的和也肯定能被3 整除（ 0+1+2 被 3 整除）；例 8 某校校庆，来了n 位校友，彼此熟悉的握手问候. 请你证明无论什么情形，在这n 个校友中至少有两人握手的次数一样多；分析与解答共有 n 位校友，每个人握手的次数最少是0 次，即这个人与其他校友都没有握过手；最多有n-1 次，即这个人与每位到会校友都握了手. 校友人数与握手次数的不怜悯形（ 0， 1， 2， n-1 ）数都是n，仍无法用抽屉原理；然而，假如有一个校友握手的次

11、数是0 次，那么握手次数最多的不能多于n-2 次；假如有一个校友握手的次数是n-1 次，那么握手次数最少的不能少于1 次. 不管是前一种状态0、 1、2、n-2 ，仍是后一种状态1、2、3、n-1 ，握手次数都只有n-1 种情形 . 把这 n-1种情形看成n-1 个抽屉，到会的n 个校友每人依据其握手的次数归入相应的“抽屉”，依据抽屉原理，至少有两个人属于同一抽屉，就这两个人握手的次数一样多；优秀教案欢迎下载五课堂练习1. 从 10 至 20 这 11 个自然数中，任取7 个数，证明其中肯定有两个数之和是29；2. 从 1、2、3、20 这 20 个数中，任选12 个数，证明其中肯定包括两个数

12、，它们的差是 11；3.20 名小围棋手进行单循环竞赛（即每个人都要和其他任何人竞赛一次），证明： 在竞赛中的任何时候统计每人已经赛过的场次都至少有两位小棋手竞赛过相同的场次；4. 从整数 1、2、3、199、200 中任选 101 个数，求证在选出的这些自然数中至少有两个数，其中的一个是另一个的倍数.5.将这 11 个自然数分成以下6 组：10，19， 11， 18， 12，17， 13，16， 14，15， 20，从中任取7 个数，依据抽屉原理，肯定有两个数取自同一数组，就这两个数的和是29；优秀教案欢迎下载6.把这 20 个数分成以下11 个组；1，12， 2，13，3，14， 9，20

13、， 10， 11 .其中前 9 组中的两数差为 11.任取 12 个数，其中必有两个数取自同一数组，就它们的差是11.7.假如有一个人赛过0 次（即他仍未与任何人赛过），那么最多的只能赛过18 次；假如有人赛过19 次（即他已与每个人都赛过了），那么最少的只能赛过1 次.无论怎样，都只有 19 种情形，依据抽屉原理，20 名棋手肯定有两人赛过的场次相同；8.把这 200 个数分类如下：1，1×2，1×22，1×23， 1×27，2363，3×2，3×2 ，3×2 ， 3×2 ，5，5×2，5×22，5×23， 5×25，5099， 99×2， 51101， 52103，100199，以上共分为100 类，即 100 个抽屉，明显在同一类中的数如不少于两个，那么这类中的 任意两个数都有倍数关系.从中任取 101 个数，依据抽屉原理，肯定至少有两个数取自同一类，因此其中一个数是另一个数的倍数.优秀教案欢迎下载六励志或学科小故事居里夫人几十年前，波兰有个叫玛妮雅的小姑娘