第2讲直接证明与间接证明

1、第 2 讲直接证明与间接证明一、选择题1设 a， b R，则“ ab1”是“ 4ab1”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析 若“ab1”，则 4ab4a(1a) 4 a12 ”，；若“21 14ab 1取 a 4， b 1， a b 3，即 “a b 1” 不成立；则 “a b 1” 是“4ab1”的充分不必要条件答案A2对于平面 和共面的直线 m，n，下列命题中真命题是()A若 m，mn，则 nB若 m， n，则 m nC若 m? ， n，则 m nD若 m，n 与 所成的角相等，则 m n解析对于平面 和共面的直线 m，n，真命题是 “若 m? ，n

2、，则 mn”答案C3要证： a2b2 1 a2b20，只要证明() 2 2044ABa2 b2 1a b02ab1a b2C. ab 21a2b2 0D(a2 1)(b2 1)02解析因为 a22 220? (a21)(b21) ，故选D.b1a b0答案D4设 a， b 是两个实数，给出下列条件：ab>1； a b 2； ab>2； a2b2；>2ab>1.其中能推出：“ a，b 中至少有一个大于 1”的条件是()ABCD解析若 a1， 2，则ab>1，但a<1，b<1，故推不出；2b3若 ab1，则 ab2，故推不出；若 a 2， b 3，则 a2

3、b2>2，故推不出；若 a 2， b 3，则 ab>1，故推不出；对于，即 a b>2，则 a， b 中至少有一个大于 1，反证法：假设 a1 且 b1，则 ab2，与 ab>2 矛盾，因此假设不成立， a，b 中至少有一个大于1.答案C5设a， b， c 均为正实数，则三个数1 1 1 ab， b c， c a()A都大于 2C至少有一个不大于2B都小于 2D至少有一个不小于2解析a0，b0，c0，1ab1b c1c a1a a1b b1c c 6，当且仅当abc 时，“ ”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.答案D6如果 A1B1C1的三个内角的余弦值分

4、别等于A2B2C2的三个内角的正弦值，则()A A1 B1C1 和 A2B2C2 都是锐角三角形B A1B1 C1 和 A2B2C2 都是钝角三角形C A1B1C1 是钝角三角形， A2 B2C2 是锐角三角形D A1 B1C1 是锐角三角形， A2B2C2 是钝角三角形解析由条件知， A1B1C1 的三个内角的余弦值均大于0，则A1B1C1 是锐角三角形，假设A2B2 C2 是锐角三角形sin A2cos A11，2 1sin 2AA2A ，不妨令sin B2cos B1sin 2B1，得 B22B1，sin C2cos C1 sin 2C1，C22C1.那么， A2 B2C22，这与三角形

5、内角和为相矛盾所以假设不成立，所以 A2B2C2 是钝角三角形答案D二、填空题7用反证法证明命题“ a， b N，ab 可以被 5 整除，那么 a， b 中至少有一个能被 5 整除”，那么假设的内容是 _解析“至少有 n 个 ”的否定是 “最多有 n 1 个”，故应假设a，b 中没有一个能被 5 整除答案a， b 中没有一个能被5 整除8设 a>b>0，mab，nab，则 m，n 的大小关系是解析取 a2，b1，得 m<n.再用分析法证明：_ab<ab?a<bab?a<b2b·abab?2b·ab>0，显然成立答案m<n199

6、已知 a，b，(0， )且 a b 1，则使得 ab恒成立的 的取值范围是_1 9解析 a，b(0， )且ab1， 199a b102916，a b 的最小值为 16.a b(ab) a b10b a要使ab恒成立，需 16，0<16.答案(0,1610已知下表中的对数值有且只有一个是错误的.x35689lg x2a bac 11 a b c3(1 a c)2(2ab)试将错误的对数值加以改正_解析由 2ablg 3，得 lg 92lg 32(2a b)从而 lg 3 和 lg 9 正确，假设 lg5 a c 1 错误，则由1abclg 6 lg 2 lg 3，lg 2 1 a c，3

7、1ac lg 83lg 2，得lg 3 2ab，所以 lg 51lg 2ac.因此 lg 5a c1 错误，正确结论是lg 5ac.答案lg 5ac三、解答题11若 a，b，c 是不全相等的正数，求证：lga b2 lgb c2 lgca2 lg a lg blg c.证明a，b，c (0， )，ab2b cab 0，2a cbc0，2 ac0.又 a，b，c 是不全相等的正数，故上述三个不等式中等号不能同时成立ab bc ca 2 ·2 · 2 abc 成立上式两边同时取常用对数，得 lgab bc calg(abc)，2·2 ·2abbcc alg2

8、lg 2 lg2 lg alg blg c.12设数列 an 是公比为 q 的等比数列， Sn 是它的前 n 项和(1)求证：数列 Sn 不是等比数列；(2)数列 Sn 是等差数列吗？为什么？(1)证明假设数列 Sn 是等比数列，则 S22 S1S3，即 a21(1q)2 a1·a1·(1qq2)，因为 a10，所以 (1q)21qq2，即 q0，这与公比 q0 矛盾，所以数列 Sn 不是等比数列(2)解当 q 1 时， Sn na1，故 Sn 是等差数列；当 q1 时， Sn 不是等差数列，否则 2S2S1S3，即 2a1(1 q)a1a1(1q q2)，得 q0，这与公

9、比 q0 矛盾13已知 f(x) x2ax b.(1)求： f(1)f(3)2f(2) ；1(2)求证： |f(1)|，|f(2)|， |f(3)|中至少有一个不小于 2.(1)解f(1)ab1，f(2)2ab4，f(3)3ab9， f(1)f(3)2f(2)2.1(2)证明假设 |f(1)|， |f(2)|，|f(3)|都小于2.111111则 2<f(1)<2，2<f(2)<2，2<f(3)<2， 1<2f(2)<1， 1<f(1)f(3)<1. 2<f(1)f(3)2f(2)<2，这与 f(1)f(3)2f(2)2 矛盾假设错误，即所证结论成立14对于定义域为 0,1 的函数 f(x)，如果同时满足以下三条：对任意的 x 0,1 ，总有 f(x)0；f(1) 1；若 x10，x2 0，x1x2 1，都有 f(x1x2) f(x1)f(x2)成立，则称函数 f(x) 为理想函数(1)若函数 f(x)为理想函数，求f(0)的值；(2)判断函数 g(x)2x 1(x 0,1) 是否为理想函数，并予以证明解 (1)取 x1x20 可得 f(0)f(0) f(0)， f(0)0，又由条件得 f(0)0，故 f(0