第18讲随机抽样

1、第十八讲随机抽样一、复习目标要求1能从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题；2结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性；3在参与解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；通过对实例的分析，了解分层抽样和系统抽样方法；4能通过试验、查阅资料、设计调查问卷等方法收集数据。二、 2010 年命题预测统计是在初中数学统计初步的深化和扩展，本讲的主要内容是随机抽样的方法在总体中抽取样本。预测 2010 年高考对本讲的考察是：（ 1）以基本题（中、低档题为主） ，多以选择题、填空题的形式出现，以实际问题为背景，综合考察学生学习基础的知识、应用基础知识、解决实际问题

2、的能力；（ 2）热点是随机抽样方法中的分层抽样、系统抽样方法。三、知识精点讲解三种常用抽样方法：1简单随机抽样：设一个总体的个数为 N。如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样。实现简单随机抽样，常用抽签法和随机数表法。（ 1）抽签法制签：先将总体中的所有个体编号（号码可以从 1 到 N ），并把号码写在形状、大小相同的号签上，号签可以用小球、卡片、纸条等制作，然后将这些号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌；抽签：抽签时，每次从中抽出1 个号签，连续抽取成样：对应号签就得到一个容量为n 的样本。n 次；抽签法简便易行，当总体的个体

3、数不多时，适宜采用这种方法。（ 2）随机数表法编号：对总体进行编号，保证位数一致；数数：当随机地选定开始读数的数后，读数的方向可以向右，也可以向左、向上、向下等等。在读数过程中，得到一串数字号码，在去掉其中不合要求和与前面重复的号码后，其中依次出现的号码可以看成是依次从总体中抽取的各个个体的号码。成样：对应号签就得到一个容量为n 的样本。结论： 用简单随机抽样，从含有 N 个个体的总体中抽取一个容量为n 的样本时， 每次抽取一个个体时任一个体被抽到的概率为1；在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为n；NN 基于此，简单随机抽样体现了抽样的客观性与公平性； 简单随机抽样的特点：它是不放回抽样；它

4、是逐个地进行抽取；它是一种等概率抽样。2系统抽样：当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取1 个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样）。系统抽样的步骤可概括为：（ 1）将总体中的个体编号。采用随机的方式将总体中的个体编号；（ 2 ）将整个的编号进行分段。为将整个的编号进行分段，要确定分段的间隔k .当 N 是整数时，N ；当 N 不是整数时，通过从总体中剔除一些个体使剩下的个体数nNkN能被n 整除，这时 k；nnl ；n（ 3）确定起始的个体编号。在第1 段用简单随机抽样确定起始的个体边号（ 4）抽取样本。按照先确定的规

5、则（常将l 加上间隔 k ）抽取样本： l , l k , l 2k , , l (n1)k 。3分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分成的各部分叫做层。结论：（ 1）分层抽样是等概率抽样， 它也是公平的。 用分层抽样从个体数为N 的总体中抽取一个容量为n 的样本时，在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，都等于n ；N（ 2）分层抽样是建立在简单随机抽样或系统抽样的基础上的，由于它充分利用了已知信息，因此利用它获取的样本更具有代表性，在实践的应用更为广泛。四典例解析题型 1：统计概念及简单随机抽样例

6、1为调查参加运动会的1000 名运动员的年龄情况，从中抽查了来说，下列说法正确的是（）A 1000 名运动员是总体B 每个运动员是个体C抽取的100 名运动员是样本D 样本容量是100100 名运动员的年龄，就这个问题解析：这个问题我们研究的是运动员的年龄情况，因此应选D。答案： D点评：该题属于易错题，一定要区分开总体与总体容量、样本与样本容量等概念。例 2今用简单随机抽样从含有6 个个体的总体中抽取一个容量为2 的样本。 问： 总体中的某一个体 a 在第一次抽取时被抽到的概率是多少? 个体 a 不是在第1 次未被抽到，而是在第2 次被抽到的概率是多少 ? 在整个抽样过程中，个体a 被抽到的

7、概率是多少?解析：（ 1） 1 ，（ 2）1，（3）1。333点评：由问题 (1)的解答，出示简单随机抽样的定义，问题 ( 2 ) 是本讲难点。基于此，简单随机抽样体现了抽样的客观性与公平性。题型 2：系统抽样例 3为了了解参加某种知识竞赛的 1003 名学生的成绩，请用系统抽样抽取一个容量为 50 的样本。解析：（ 1）随机地将这 1003 个个体编号为 1， 2， 3， ， 1003（ 2）利用简单随机抽样，先从总体中剔除 3 个个体 (可利用随机数表 )，剩下的个体数 1000 能被样本容量 50 整除，然后再按系统抽样的方法进行点评：总体中的每个个体被剔除的概率相等3，也就是每个个体不

8、被剔除的概率相等10001003.100350采用系统抽样时每个个体被抽取的概率都是，所以在整个抽样过程中每个个体被抽取的概率仍然1000相等，都是10005050。100310001003分成第 1 在第例 4（ 2004 年福建， 15）一个总体中有100 个个体，随机编号为0， 1， 2， ， 99，依编号顺序平均10 个小组，组号依次为1， 2， 3， ， 10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10 的样本，规定如果在组随机抽取的号码为m，那么在第k 小组中抽取的号码个位数字与m+k 的个位数字相同.若 m=6，则7 组中抽取的号码是_.剖析：此问题总体中个体的个数较多，因此采用系统抽样

9、.按题目中要求的规则抽取即可. m=6， k=7，m+k=13 ，在第 7 小组中抽取的号码是 63.答案： 63点评：当总体中个体个数较多而差异又不大时可采用系统抽样。采用系统抽样在每小组内抽取时应按规则进行。题型 3：分层抽样例 5（ 2006 湖北文， 19）某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加了其中一组。在参加活动的职工中，青年人占42.5，中年人占47.5，老年人占10。登山组的职工占参加活动总人数的1，且该组中，青年人占50，中年人占40，老年人占10。为了了解各4组不同的年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工

10、中抽取一个容量为 200 的样本。试确定（）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；（）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数。解析：（）设登山组人数为x ，游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a、 b、 c，则有x 40% 3xb47.5%, x 10%3xc10% ，解得 b=50%,c=10%.4x4x故 a=100% 50% 10%=40%, 即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40、50、 10。（）游泳组中，抽取的青年人数为320040% 60 （人）；4抽取的中年人数为350 75（人）；2004抽取的老年人数为310 15（人）。2004

11、点评：本小题主要考查分层抽样的概念和运算，以及运用统计知识解决实际问题的能力。例 6（ 2006 四川文， 5）甲校有 3600 名学生，乙校有5400 名学生，丙校有1800 名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为 90 人的样本，应在这三校分别抽取学生（ ）A 30 人， 30 人， 30 人B30 人， 45 人， 15 人C20 人， 30 人， 10 人D30 人， 50 人， 10 人解析： B；点评：根据样本容量和总体容量确定抽样比，最终得到每层中学生人数。题型 4：综合问题例 7（ 1）（2004 年湖南， 5）某公司在甲、乙、丙、丁四个地区

12、分别有150 个、 120 个、 180 个、 150个销售点 .公司为了调查产品销售的情况，需从这 600 个销售点中抽取一个容量为100 的样本， 记这项调查为；在丙地区中有20 个特大型销售点，要从中抽取7 个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为 .则完成、这两项调查宜采用的抽样方法依次是A 分层抽样法，系统抽样法B 分层抽样法，简单随机抽样法C系统抽样法，分层抽样法D 简单随机抽样法，分层抽样法分析：此题为抽样方法的选取问题.当总体中个体较多时宜采用系统抽样；当总体中的个体差异较大时，宜采用分层抽样；当总体中个体较少时，宜采用随机抽样.依据题意，第项调查应采用分层抽样法、第项调查

13、应采用简单随机抽样法.故选 B.答案： B（ 2）（ 2005 湖北卷理第11 题，文第 12 题）某初级中学有学生270 人，其中一年级108 人，二、三年级各 81 人，现要利用抽样方法抽取10 人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1， 2， ， 270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2， ， 270，并将整个编号依次分为10 段 .如果抽得号码有下列四种情况： 7， 34， 61， 88， 115， 142， 169， 196， 223， 250； 5， 9， 100， 107， 11

14、1， 121， 180， 195， 200， 265； 11， 38， 65， 92， 119， 146， 173， 200， 227， 254； 30，57， 84，111， 138， 165，192， 219， 246，270；关于上述样本的下列结论中，正确的是（）A 、都不能为系统抽样B、都不能为分层抽样C、都可能为系统抽样D、都可能为分层抽样解析： D。点评：采用什么样的抽样方法要依据研究的总体中的个体情况来定。五思维总结常用的抽样方法及它们之间的联系和区别：类别共同点各自特点简单随机抽样从总体中逐个抽取抽样过程将总体均匀分成几个中每个个系统抽样部分，按照事先确定体被抽取的规则在各部分

15、抽取的概率是相同的将总体分成几层，分分层抽样层进行抽取相互联系适用范围总体中的个数比较少在起始部分抽总体中的样时采用简单个数比较随机抽样多各层抽样时采总体由差异明显的用简单抽样或几部分组者相同抽样成不放回抽样和放回抽样：在抽样中，如果每次抽出个体后不再将它放回总体，称这样的抽样为不放回抽样；如果每次抽出个体后再将它放回总体，称这样的抽样为放回抽样。随机抽样、系统抽样、分层抽样都是不放回抽样。出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。然侍卫之臣不懈于内，忠志之士忘身于外者，盖追先帝之殊遇，欲报之于陛下也。诚宜开张圣听，以光先帝遗德，恢弘志士之气，不宜妄自

16、菲薄，引喻失义，以塞忠谏之路也。宫中府中，俱为一体；陟罚臧否，不宜异同。若有作奸犯科及为忠善者，宜付有司论其刑赏，以昭陛下平明之理；不宜偏私，使内外异法也。侍中、侍郎郭攸之、费祎、董允等，此皆良实，志虑忠纯，是以先帝简拔以遗陛下：愚以为宫中之事，事无大小，悉以咨之，然后施行，必能裨补阙漏，有所广益。将军向宠，性行淑均，晓畅军事，试用于昔日，先帝称之曰事，悉以咨之，必能使行阵和睦，优劣得所。“能 ”，是以众议举宠为督：愚以为营中之亲贤臣，远小人，此先汉所以兴隆也；亲小人，远贤臣，此后汉所以倾颓也。先帝在时，每与臣论此事，未尝不叹息痛恨于桓、灵也。侍中、尚书、长史、参军，此悉贞良死节之臣，愿陛下亲之、信之，则汉室之隆，可计日而待也。臣本布衣，躬耕于南阳，苟全性命于乱世，不求闻达于诸侯。先帝不以臣卑鄙，猥自枉屈，三顾臣于草庐之中，咨臣以当世之事，由是感激，遂许先帝以驱驰。后值倾覆，受