小学六年级奥数-第十二章-抽屉原理

1、学习必备欢迎下载第三章抽屉原理知识要点1. 抽屉原理的一般表述(1)假设有 3 个苹果放入2 个抽屉中， 必然有一个抽屉中至少有2 个苹果。 它的一般表述为：第一抽屉原理：(mn 1) 个物体放入n 个抽屉，其中必有一个抽屉中至少有(m1) 个物体。(2) 若把 3 个苹果放入 4 个抽屉中，则必然有一个抽屉空着。它的一般表述为：第二抽屉原理：(mn 1) 个物体放入n 个抽屉，其中必有一个抽屉中至多有(m1) 个物体。2. 构造抽屉的方法常见的构造抽屉的方法有：数的分组、染色分类、图形的分割、剩余类等等。例 1( 第十一届“华罗庚金杯”邀请赛试题) 自制的一副玩具牌共计52张( 含四种牌：红

2、桃、红方、黑桃、黑梅，每种牌都有1 点，2点， 13 点牌各一张 ) ，洗好后背面朝上放。一次至少抽取张牌， 才能保证其中必定有2 张牌的点数和颜色都相同。如果要求一次抽出的牌中必定有 3 张牌的点数是相邻的 ( 不计颜色 ) ，那么至少要取张牌。点拨对于第一问， 最不利的情况是两种颜色都取了1 13 点各一张， 此时再抽一张， 这张牌必与已抽取的某张牌的颜色与点数都相同。点拨对于第二问，最不利的情况是：先抽取了1， 2， 4， 5， 7，8， 10， 11， 13 各 4 张，此时再取一张，这张牌的点数是3，6，9，12中的一张，在已抽取的牌中必有3 张的点数相邻。解(1)13 ×

3、2 127( 张 )(2)9 ×4 1 37( 张 )例 2证明： 37 人中， (1) 至少有 4 人属相相同； (2) 要保证有 5 人属相相同，但不保证有6人属相相同，那么人的总数应在什么范围内？点拨可以把 12 个属相看做12 个抽屉，根据第一抽屉原理即可解决。解(1)因为 37÷123 1，所以，根据第一抽屉原理，至少有3 1 4( 人 ) 属相相同。(2) 要保证有 5 人的属相相同的最少人数为4×12 1 49( 人 )不保证有6 人属相相同的最多人数为5×12 60( 人)所以，总人数应在49 人到 60 人的范围内。例 3有一副扑克牌共

4、54 张，问：至少摸出多少张才能保证：(1) 其中有 4 张花色相同？(2)四种花色都有？点拨首先我们要弄清楚一副扑克牌有2 张王牌， 四种花色， 每种有 13 张。(1) 按最不利原则先取出2 张为王牌， 再取 4 张均不同花色， 再连续取两次4 张也均不同花色，这时必能保证每一花色都有3 张，再取 1 张即可达到要求。(2) 仍需按最不利原则去取牌，先是2 张王学习必备欢迎下载牌，接着依次把三种花色的牌全部取出13×3，这时假设仍是没有四种花色，再取 1 张即可。解 (1)2 4×3 1 15( 张)答：至少摸15 张牌才能保证其中有4 张牌花色相同。(2)213

5、15;3 1 42( 张)答：至少摸出42 张牌才能保证四种花色的牌都有。例 4 学校买来红、黄、蓝三种颜色的球，规定每位学生最多可以借两种不同颜色的球。那么至少要来几名学生借球，就能保证必有两名学生借的球的颜色完全相同？点拨 根据题中“最多可借两种不同颜色的球” ，可知最多有以下 6 种情况：把以上 6 种借球情况看做6 个“抽屉”，只要借球人数超过6，就可以知道他们中间至少有两人借的球的情况完全相同。比6 大的最小整数是7。解 借球有 6 种情况， 看做 6 个抽屉， 所以至少要来 7 名学生借球， 才能保证有两名学生借的球的颜色完全相同。例 5 从前面 30 个自然数中最少要取出几个数，

6、才能保证取出的数中能找到两个数，其中较大的数是较小数的倍数？点拨 把 1 30 这 30 个自然数分成下面 15 组： 1 ， 2， 4， 8， 16 ， 3 ， 6，12， 24 ， 5 ，10， 20 ， 7 ， 14， 28 ， 9 ，18 ， 11 ， 22 ，13 ， 26 ， 15 ， 30 ， 1 7 ， 19 ，21 ，23， 25)， 27，29，在这15 组中，每组中的任意两个数都存在倍数关系，故可把这15 组看做 15 个抽屉，至少要取出16 个数才能达到题目的要求。解由于 1 30 这 30 个自然数可分成 15 组： 1 ， 2， 4， 8， 16 ， 3 ， 6，1

7、2， 24 ， 5 ，10， 20 ，7 ， 14，28 ， 9 ，18 ， 1 ，22 ，13 ，26 ，15 ，30 ，17 ，19 ， 29 。看成 15 个抽屉， 因此至少要取 16 个数，才能保证取出的数中能找到两个数， 其中较大数是较小数的倍数。例 6边长为 1 的正方形中，任意给定13 个点，其中任意三点都不共线。试说明其中至少有 4 个点，以此4 点为顶点的四边形面积不超过1。4点拨把正方形分成四个相同的小正方形，如下图，可作为四个抽屉。解把正方形平均分成四个相同的小正方形，每个正方形的面积为1， 134×3 1，故413 个点至少有4 个点在同一个小正方形，以此4

8、点为顶点的四边形的面积不超过小正方形的面积，即不超过原正方形面积的1。4例 7 平面上给定六个点，没有三点共线。每两点用一条红线段或黄线段连接起来，试说明由这些线段围成的三角形中，至少有一个三角形，它的三条边同色。学习必备欢迎下载点拨连彩线的方法很多，如果一一画图证结论，不可取，故用抽屉原理解决。解因为有六个点， 每个点都要引出五条线段， 据抽屉原理， 任意一点引五条线段中至少有三条线段同色，不妨设是红色 ( 如右图红色线段为实线，蓝色线段为虚线 ) ，这时三角形 a2a3a4 会出现两种颜色情况。(1) 若a2 a3 ，a3a4， a2a4 中有任意一条线段为红的，那么这条红线段与它的两个端

9、点与a1引出的两条线段组成一个红三角形。(2)若 a2a3 ，a3a4， a2a4 中没有一条线段是红色的，则a2a3a4 为一个蓝色三角形。综上所述，无论(1) 还是 (2)，题目结论都成立。说明可证明若把两种颜色连线换成人与人之间的相识或不相识关系， 6 人之间至少有 3 人互相认识或不认识。就可以解决实际问题：结果解题技巧利用抽屉原理解决实际问题时，要按以下三个步骤思考：1. 确定把什么当做“抽屉”；2. 确定把什么当做“物体”；3. 如果条件满足“抽屉少、物体多”就能根据抽屉原理得出结论。要学会构造抽屉。 有时在不同的题目中， 相同的对象， 有时当做“抽屉”， 有时当做“物体”，到底谁

10、当做抽屉，要因题而异，灵活应用。构造抽屉的方法有：数的分组，染色分类，图形分割，剩余类等等。竞赛能级训练A 级1. 要在 30 米长的水泥台上放16 盆花，不管怎么放，至少有几盆之间的距离不超过2 米？2. 幼儿园买来不少小熊、小兔、小狗玩具，每位小朋友都分到其中一、二或三种。某班有40 人，他们当中至少有几人拥有的玩具相同？3. 在一个边长为 1 的正三角形内随意放置 10 个点，试说明其中至少有两个点之间的距离不超过 1。34. 用黑、红两种颜色将一个长9、宽 3 的矩形中的边长为1 的小正方形随意涂色，试证必有两列涂色情况一样。5. 从整数 1，2，3， 199，200 中任选 101

11、个数，求证在选出的这些自然数中至少有两个数，其中的一个是另一个的倍数。学习必备欢迎下载6. 在 10×10 方格纸的每个方格中， 任意填入 1，2，3，4 四个数之一。 然后分别对每个 2×2 方格中的四个数求和。在这些和数中，至少有多少个和相同？7.从八个连续自然数中任意选出五个，其中必有两个数的差等于4，试分析之。8.任意给定七个自然数，说明其中必有四个数，它们的和为4 的倍数。9.从 3， 6， 9， 81， 84 这些数中，任意选出 16 个数，其中至少有两个数的和等于90，试说明之。10.任意给定七个不同的自然数，其中必有两个数的和或差是10 的倍数，试说明之。1

12、1.能否在10 行 10 列的方格中的每个空格处分别填上1， 2， 3 这三个数，使大正方形的每行、每列及两条对角线的各个数字和互不相同？12.能否把1 7 这七个数排成一圈， 使任意两个相邻数的差等于2 或 3？如果能， 请排出来；如果不能，请说明理由。13. 有一个矩形，它由三行若干列小格组成。对于这个矩形的小方格用两种颜色涂色，至少有多少列才能保证其中必有两列的涂色方法完全相同？14. 平面上给定六个点，没有三个点在一条直线上，每两点用一条红色线段或蓝色线段连接起来。试说明这些线段围成的三角形中，至少有两个同色三角形。15. 库房里有一批篮球、排球、足球和手球，每人任意搬运两个，至少有多

13、少人搬运才能保证有 5 人搬运的球完全一样？16. 在一个 3×4平方米的长方形盘子中，任意撒入5 个豆， 5 个豆中距离最小的两个豆的最大距离是几米？( 这时盘子的对角线长为5 米 )17. 某中学 1999 名学生去游故宫、 景山和北海三地， 规定每人至少去一处， 至多去两地游览，那么至少有多少人游的地方相同？18. 一个 3 行 7 列的 21 个小方格的长方形，每个小方格用红或黄中的一种颜色涂色。证明：不论如何涂色， 一定能找到一个由小方格组成的长方形， 它的四个角上的小方格具有相同的颜色。B 级1. 某店有 126 箱苹果， 每箱至少有 120 个苹果， 最多有 144 个

14、苹果。 现将苹果个数相同的箱子作为一组。如果其中箱子数最多的一组有n 个箱子，那么押的最小值是多少？2. 在 1 ，2， n 中，任意取 10 个数，使得其中有两个数的比值不小于2，且不大于 3。32求 n 的最大值。3. 把 1， 2，3， 1993，1994 ，1995 置于一个圆周上，请设计一种方法，使其相邻数之间的差不超过 2。4. 从 1， 2，3， 1988，1989 这些自然数中，最多可取多少个数，其中每两个数的差不等于 4?5. 四个人聚会， 每人各带了两件礼品，分赠给其余三个人中的两人。试证明：四个人中至少有两对，每对是互赠过礼品的。6. 一排长椅共有 90 个座位，其中一些

15、座位已经有人就座了。这时，又来了一个人要坐在这排长椅上， 有趣的是， 他无论坐在哪个座位上都与已经就座的某个人相邻。原来至少有几人学习必备欢迎下载已经就座？7. 把 1， 2，3， 8，9，10 任意摆放在一个圆圈上，每相邻的三个数组成一个和数。试说明其中至少有一个和数不小于17。8. 已知线段AB 的长是 1 米，在 AB上共有 11 个点，那么其中必有两点之间的距离1 米。109. 从 1 到 1994 这些自然数中，任取 998 个不同的数。试证：其中必有两个数，它们的差是997。10. 世界中学生数学竞赛满分是42 分，有 450 名选手参加。 (1) 比赛结束后是否一定能找到12 人

16、，这 12 人所得的分数相同？(2) 比赛结束后是否一定能找到11 人，这 11 人所得的分数相同？为什么？11. 某人步行 10 小时， 走了其余每小时都走了整数千米。45 千米。已知他第一小时走了 5 千米，最后一小时走了 3 千米，证明在中间 8 小时当中， 一定存在连续的两小时， 这人至少要走 10 千米。12. 在1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11， 12 这 12个自然数中，任意选取8 个不同的数，其中必有两对数，每对数的差是1。能力测试一、选择题 ( 每题 6 分，共 30 分 )1. 一副扑克牌有 54 张，至少抽取 ( ) 张，才能保证其中必有一张“ A”。A.4

17、9B.50C.51D.522. 有红、黄、蓝、绿四色的小球各10 个，混合放在一个布袋里。一次摸出8 个小球，其中至少有()个小球的颜色是相同的。A.3B.2C.83. 某班的小图书库中有诗歌、 童话、小人书三类课外读物， 规定每位同学最多可以借阅两种不同类型的书。 至少有 ( ) 位同学来借阅图书， 才一定有两位同学借阅的书的类型相同。A.10B.8C.74.第三十一届国际中学生数学奥林匹克竞赛于1990 年7 月在北京举行， 全世界52 个国家的308 名选手参加了竞赛。按组委会规定，每个国家的选手不得超过6 名，至少有()个国家派6 名选手参赛。A.50B.48C.455.某中学有10

18、位老师，每位至少与另外9 位中的7 位认识， 我们必可从中找出()位，他们彼此认识。A.6B.4C.5二、填空题 ( 每题 6 分，共 30 分 )1. 袋子里有 4 种不同颜色的小球， 每次摸出 2 个。要保证有 10 次所摸出的结果是一样的，至少要摸 ( ) 次。2.从 1，2，3， 1994 这些数中最多可以选出()个数，使其中每两个数的差不等于4。3. 某班有 27 名同学排成三路纵队外出参观，同学们都戴着红色或白色的太阳帽。在9 个学习必备欢迎下载横排中，至多有()排同学所戴的帽子的颜色顺序不同。4. 任意给定四个自然数： a b c d，在 b a， c a， d a， c b，d b， d c 这六个差中，可保证有 ( )个是 3 的倍数。5.一副扑克牌共 54张( 其中 2 张王牌 ) ，至少从中抽