--七级数学分式的性质及运算

1、1 / 14【基础精讲】 一、分式的概念1 正确理解分式的概念:1-中，属于整式的有：；属于分式的有：。2、判断分式有无意义关键是看分母是否为零(1)例如，当 x 为时，分式一匚2有意义.(x+2(x-3)错解：x严3时原分式有意义.(2)不要随意用“或”与“且”。例如 当 x_时，分式 * 有意义？错解：由分母| :I，得13、注意分式的值为零必受分母不为零的限制.x +1【例 2】当x时，分式有意义.x-1X十1当x时，分式无意义.x-1x2-1当x时，分式-值为 o x-1二、分式的基本性质：1、分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变(1) 分式的基本性质是分

2、式恒等变形的依据， 它是分式的约分、 通分、 化简和解分式方程 基础，因此，我们要正确理解分式的基本性质，并能熟练的运用它.理解分式的基本性质 时，必须注意：1分式的基本性质中的A、B M表示的都是整式.2在分式的基本性质中，M0.3分子、分母必须“同时”乘以MM0)，不要只乘分子(或分母).4性质中“分式的值不变”这句话的实质，是当字母取同一值(零除外)时，变形前后分分式性质及运算1【例 1】有理式(1)(3)2xyx y(5) ；(6)x-12 / 14式的值是相等的。但是变形前后分式中字母的取值范围是变化的.注意：1根据分式的基本性质有：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个

3、，分 式的值不变.2分式的基本性质是一切分式运算的基础，分子与分母只能同乘以（或除以）同一个不等于零的整式，而不能同时加上（或减去）同一个整式【例 3】下列变形正确的是（）.a a-b -c b -ca - b a b-a b ab中的x, y都扩大 3 倍,那么分式的值一定（）.A.C.-a-a b【例4】a -b如果把分式5x2x -yA.扩大 3 倍C.扩大 6 倍2、约分约分是约去分式的分子与分母的最大公约式，约分过程实际是作除法，目的在于把分式化为最简分式或整式，根据是分式的基本性质2 .2a的结果为（ab【例5】B.D.扩大 9 倍不变( 1)( 2009 淄博)化简2a(2)(

4、2009 吉林)化简A.B. C.x 2 x 2(3)( 2009 深圳)化简x29D.axy -2yx2-4x 4亠x 2 x -2的结果是()2x-62x 9Dx - 32 2的结果（）C.3、通分通分的依据是分式的基本性质， 通分的关键是确定最简公分母 法确定：（1）最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；（2）最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幕的积。 三、分式的运算1、分式运算时注意：.最简公分母由下面的方（1）注意运算顺序.例如，计算 丄（3 a）匚旦，应按照同一级运算从左到存依次1a3+a计算的法则进行.错解：原式- (1 _a)1(1 -a)23 / 144 / 1

5、4(2)通分时不能丢掉分母例如，计算 x _x_，出现了这样的解题错误：原式X 一 1=x X一1 =一1分式通分是等值变形，不能去分母，不要同解方程的去分母相混淆;(3)忽视“分数线具有括号的作用”：分式相减时， 若分子是多项式，其括号不能省略.(4) 最后的运算结果应化为最简分式.2、分式的乘除注意分式的乘除法应用关键是理解其法则(1) 先把除法变为乘法；(2) 接着对每个相乘的分式的分子、分母进行因式分解，当然有乘方运算要先算乘方，然后同其它分式进行约分；(3) 再把每个分式的分子与分子相乘、分母与分母相乘；(4) 最后还应检查相乘后的分式是否为最简分式3、加减的加减1)同分母分式加减法

6、则：分母不变，分子相加减。2)异分母分式加减法则：运算步骤：先确定最简公分母；对每项通分，化为分母相同； 按同分母分式运算法则进行；注意结果可否化简，化为最简4、分式的混合运算注意分式的混合运算的顺序：先进行乘方运算，其次进行乘、除运算，再进行加、减运算，遇有括号，先算括号内的如果分式的分子或分母中含有多项式，并且能分解因式,可先分解因式，能约分的先约分，再进行运算 (3)：.2 x+1 L x+4(3)1 +-厂- -、x x-2丿x -2x(4)_已知1一1=3，则代数式2x-14xy-2y的值为_。x yx-2xy_y【分类解读】一、分式运算的几种技巧分式加减运算是分式的重点和难点，尤其

7、是导分母分式的加减运算更需要具备扎实的 基础知识和解题技巧，下面例谈几种运算技巧。1、先约分后通分技巧【例 6】计算:a_41(1)a - 2a 2a -2(2)Xx -2X -225 / 14xFx22x例1计算x23x 2+x2-4分析：不难发现，两个分式均能约分，故先约分后再计算6 / 14X+1X(X2)1xx+1解：原式：=(x 1)(x 2)+(x2)(x 2)=x 2+x 2=x 22、分离整数技巧2 2x 3x +3 x 5x+71例2计算x2-3x 2-x2-5x 6-x2_4x 3分析：前两个分式的分子、分母不能约分，如把分子突出分母，用分离整数方法可使计算 化简。11 1

8、=1+x2-3x 2-1-x2-5x 6-x2-4x 311 1=(x-1)(x-2)-(x-2)(x-3)-(x-1)(x-3)X3(X_)(X2)_ _ _ X=(x-1)(x_2)(x_3)=(x-1)(x-2)(x-3)=-(x-1)(x-2)(x-3)3、裂项相消技巧123例 3 计算x(x 1)+(x 1)(x 3)+(x 3)(x 6)111 1分析：此类题可利用n(n m)=m(n-m)裂项相消计算。1 1211311解：原式=(x-X亠1)+2(X 1-x 3)+3(x 3-x 6)1 1 6 _=x-x 6=x( x 6)4、分组计算技巧1 221例 4 计算a_2+a1-

9、a-1-a 2分析：通过观察发现原式中第一、四项分母乘积为a2-4，第二项、第三项分母乘积为a1,采取分组计算简捷。1 1 2 2解：原式=(a_2-a2)+(a1-a-1)4_412=a2-4+a2-1=(a2-4)(a2-1)5、变形技巧丄例 5 已知X2-3X+仁 0 ,求 x2+x2的值。解：原式=2(x -3x 2) 1x2-3x 22(x -5x 6) 1x2-5x 61x2-4x 37 / 141分析：将已知两边同除以X ( X 工 0)可变出X+X，然后利用完全平方公式的逆用可求出丄X2+X2的值。解：由X2-3X+仁 0 ,两边同除以X(XM0),得1丄X-3+X=0,即X+

10、X=3丄1所以 X+X2= (X+X)2-2=32=7二、分式求值中的整体思想在已知条件下求分式的值是一类常见题型，本文介绍用整体思想求分式值，希望对 同学们有所帮助。21 1例 1 若分式 一2-的值为一，则 一2的值为()2y23y 74 4y26y -111A、1 B 、-1 C 、D、一75212解：由已知 -= 得 2y +3y+7=82y2+3y+742 21 12y2+3y=1 , 4y2+6y=2 所以2= =1,故选 A。4y +6y_12 _11 14a 3ab 4b例 2 已知一 + =4,贝 U=。a b-3a+2ab-3b分析：由已知可得到a+b 与 ab 的关系式，

11、所求式通过分解因式可得到用a+b 与 ab的表达式，然后将 a+b 用 ab 代换即可求出所求式的值。a+b解：由已知得=4/a+b=4abab4a +3ab +4b=4(a +b) +3ab=44ab +3ab=19-3a 2ab -3b -3(a b) - 2ab -34ab 2ab 10点评：本题还可以将所求式分子、分母同除以ab 得到4411+34( + ) +3ba=ab33=112 -( ) 2baab然后将已知式代入求值，这种方法也是常用的一种方法。8 / 142a例 3 已知 a2-3a+仁 0 ,求4的值。a +121 1解：由已知 a -3a+仁 0 知 a丰0,将已知等式

12、两边同除以a 得 a-3+ =0,二 a+ =3aa42a 121/1、22a 1所以2=a +2= (a+ ) -2=3 -2=7 - -4=aaaa +1 7点评：所求式的倒数与已知式有联系时，先求所求式的倒数，再得所求式。a2 2=（ a -）2- 2 这一变换在以后经常用到同学们务必掌握。aa111111 111+ abc例 4 已知_ + = ，+ = ，+_= ，求的值。ab6bc9a c 15 ab+ac + bcabc 可得到，只要将已知式变换出1 1 1 + + abc1+1+1即可。abc小明做题时把“x 2008”错抄成了“x=.2008”，但他的计算结果也是正确，请你

13、通过计算解释这是怎么回事？解读：首先对原分式进行化简，再根据化简结果说理2(x-1 . 2x 1=(X -1) 2xx 1 x2-1x2T (x 1)(x -1)因为当x =-2008和x=72008时，x2+1的值都是 2009,所以小明把“x . 2008”错抄成了“x.2008” ,计算结果也是正确的12 2解：因为1a11+ =b1，1+1=1，91 1+ 二a c_ 115，将、左、右分别相6b c加，得C/111、111.11 131-2 (+)= + + =所以abc6915abc180abc=1=180ab ac bc11131十一+ cba例 5 有一道题：“先化简再求值:分

14、析：(口 羊)J，其中x= -2008”，x 1 x -1 x -1(x2-1) =(X-1)22x = X21.9 / 14例 6 已知 x -3x+仁 0 ,求 x+x2的值。10 / 141分析：将已知两边同除以x (x 工 0)可变出 x+-，然后利用完全平方公式的逆用可求出丄X2+2的值。入解：由X2-3X+仁 0 ,两边同除以 x (XM0),得11丄丄X-3+X=0,即X+X=3 所以 X2+x2= (X+X)2-2=32-2=72 2X一3x +3 x -5x+71例7计算x2-3X2-x2-5X6-分析：前两个分式的分子、分母不能约分，如把分子突出分母，用分离整数方法可使计算

15、 化简。11 / 14(x2-3X2) 1解：原式=x2-3X2-2(X-5X6) 1x25x 61x2-4x 31111=1+x2-3X2-1-x2-5X6-x2-4x 3=(x-1)(x-2)1(x-2)(x-3)-1(x-1)(x-3)x-3-(x-1)-(x-2)(x-1)(x-2)(x-3)_ _ x=(x-1)(x-2)(三、分式运算新型题分式运算也追赶新潮流，经常身着新的问题情景的“时装” 给人以耳目一新的感觉.解决此类问题的关键是透过其靓丽的外表 运算的身影.1、说理型,频频亮相于各类试卷中,找到我们所熟悉的分式X 1 2X例 1 有一道题：“先化简再求值：(I 冷匚)X +1

16、 X -1,1X2-1，其中X2008”，小明做题时把“x=-、.2008”错抄成了“x=、.2008”，但他的计算结果也是正确，请你通过计算解释这是怎么回事？解读：首先对原分式进行化简，再根据化简结果说理.(口 务)X 1 X2-1X -1(X 1)(x _1)工2X(X2一1) = &一1)22x=x21.因为当x - -x=r2008”错抄成了“X= 2008” ,计算结果也是正确的12 / 14温馨提示：本题以同学们答题的过程为背景，营造出了温馨的课堂学习气氛，能激发我们以主人翁的心态，主动参与到解题过程中去.2、开放型例 2 请利用1m和23这三个分式组成一个算式，来表示其中

17、两个分m -3m 3m - 9式的商减去第三个分式的差，并化简.解读:本题为开放性问题，答案不唯一 按题目的要求可得到 10 多个不同的算式，选取 其中一个进行化简即可，但一般应选择一个计算较简便的算式，以减少运算量，提高正确率如，宾十m一9m1_3m 31m 3m-3 (m 3)( m-3) mm-3=31=3_m1等等m(m -3)m -3，、JJ .m(m -3)m温馨提示：这类开放型问题有利于思维能力和创新意识的培养，已成为各类考试的热点，但所考查的知识却是我们所熟悉的3、“陷阱”型例 3 先化简代数式，然后选取一个合适 的a值，代入求值.5 5汽7（2）上述求和的想法是通过逆用 _ 法则，将和式中的各分数转化为两个数之差，使得除首末两项外的中间各项可以 _，从而达到求和的目的.（3 ）受此启发，请你解下面的方程：111_3x(x 3) (x 3)(x 6) (x 6)(x 9)一2x 1812. 5.12 汶川大地震给我们国家造成巨大损失，有许多人投入了抗震救灾战斗之中， 身为医护人员的小刚的父母也投身其中如图12-1，小刚家、王老师家，学校在同一条路上，小刚家到王老师家的路程为3 千 M 王老师家到学校的路