最新概率论与数理统计笔记资料

1、精品文档第一章概率论的基本概念1 随机试验1.对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验.2.随机试验 E 的所有结果构成的集合称为 E 的样本空间，记为，称 S 中的元素 e 为基本事件或样本点 .3.可以在相同的条件下进行相同的实验；每次实验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；进行一次试验之前不能确定哪一个结果会实现 .2. 样本空间、随机事件1. 对于随机试验，尽管在每次试验之前不能预知试验结果，但试验的所有可能结果组成的集合是已知的 .我们将随机试验 E 的所有可能结 果组成的集合称为 E 的样本空间，记为 S 样本空间的元素，即 E 的每 个结果称为样本点.2. 一

2、般我们称 S 的子集 A 为 E 的随机事件 A，当且仅当 A 所包含的一 个样本点发生称事件 A 发生 .如果将 S 亦视作事件，则每次试验 S 总是 发生，故又称 S 为必然事件。为方便起见，记 ' 为不可能事件， ?不 包含任何样本点.3. 若 A B , 则称事件 B 包含事件 A，这指的是事件A 发生必导致事件的发精品文档精品文档生。若 A B 且 B A，即 A 二 B，则称事件 A 与事件 B 相等.精品文档4. 和事件 AUB= X|XA 或 xA ： A 与 B 至少有一发生 .5?当 AB- ' 时，称事件 A 与 B 不相容的，或互斥的.这指事件 A 与事

3、 件 B 不能同时发生 .基本事件是两两互不相容的.A 的逆事件记为A, A A = S,若 AU A = S,则称 A, B 互逆，互斥AA =0 AB =06. 当且仅当 A,B 同时发生时，事件 AB 发生 .A"B 也记作 AB . 当且仅当 A, B 同时发生时，事件 A n B 发生 ，A" B 也记作 AB.7.事件 A 的对立事件：设A 表示事件“A 出现” ，贝“事件A不出现”称为事件A 的对立事件或逆事件 .事件间的运算规律：,，则有设 AB C为事件(1)交换律：AUB 二 BUA, AB 二 BA(2)结合律：( AUB) UC 二 AU( BUC)

4、 ,( AB ) C 二 A(BC)(3)分配律 :(A UB) Oc =(APlC)U(BnC) 二 ACUBC(4) deMorga n 律: AUB 二 A“ B, A “B二AUB3. 频率和概率"I.记 fn A 二nA其中 nA - A 发生的次数 ( 频数 ) ；n - 总试验次数 . 称 fn(A) 为 A 在这 n 次试验中发生的频率 .频率 fn(A) 反映了事件 A 发生的频繁程度 .2. 频率的性质 : 1 O fn(A) 乞 12 。fn (S) = 1精品 若仙 A,A 两两互不相容，则kkfn( UA) 匹 fn(A) 冃品 y id 3?当重复试验次数

5、 n逐渐增大时，频率f (A)呈现出稳定性，逐渐稳定于某个常数 .这种“频率稳n定性”即通常所说的统计规律性 .我们让试 验重复大量次数，计算频率 fn(A) 以它来表征事件 A 发生可能性的大 小是合适的 .fn (A)随 n 的增大渐趋稳定，记稳定值为 p . f n( A) 的稳定 值 p 定义为 A 的概率，记为 P(A) = p .精品文档精品文档4. 概率定义：设 E 是随机试验， S 是它的样本空间 .对于 E 的每一个 事件 A赋予一个实数，记为P(A) ，称为事件 A 的概率 .满足下列条件 ：(1)非负性：对于每一个事件A, 有 P(A) 一 0;规范性：对于必然事件S,有

6、 P(S) = 1; 可列可加性： 设 A,A 2,iil 是两两相互不相容的事件，即对于i = j， AA j， i, j 72IH ，则有P(A UA2 U 尸 P( A)+ P A) +；5. 概率定义推得的重要性质 .(1) P( )=0(2)有限可加性若AiA 2A3An 是两两互不相容的事件则有P Al 4 UA n = P(A) P A 2 P (An )(3) 对于任一事件 P(A) 叮(4)对于任一事件A 有 P(A) P A(5)P(AU B) 二 P(A) P(B) - P(AB)精品文档4 . 等可能概型 ( 古典概型 )1?当试验的样本空间只含有有限个元素，并且试验中

7、每个基本事件发生的可能性相同，具有这样特点的试验是大量存在的，则称这种试验为等可能概型?它在概率论发展初期曾是主要的研究对象，所以也称为等可能概型 .2.kkA 包含的基本事件即是等可能概型中p A 八 p数j njj事件 A 的概率的计算公式5?条件概率1. 条件概率定义：设 A,B 是两个事件 ，且 P(A) 0 ，称 P(B|A) 二巴迪1 P(A)为在 A 事件发生条件下B 事件发生的条件概率.2?符合条件概率的三个条件，即：(1) 非负性 对于每一事件 B 有 P( BA ) HO(2)规范性对于必然事件S,有P(SA)=1(3) 可列可加性 设 B1B2 川是两两互不相容的事件，则

8、有P|J B|A =无 P(B A)liT丿 i 占3. 乘法定理：设 P(A) AO，则有 P(AB)=P(B|A)P(A)推广 ：一般设AAJHAn 为 n 个事件， n2,且 PAA 12 A m_ ? 0 有P( AA2 ilA) = P ( A|A A 2 |liAn P(AdA AJII 人 /A P( AJA)P(A).4. 全概率公式：设试验E 的样本空间为S，A 为 E 的事件 ,精品文档精品文档BI,B2,? ,Bn 为 S 的一个划分，且P(B i)0(i=1,2, ,n)，则P A 二 PA|B PBIPA|B 2 P B 2lli p A B nP Bn5. 贝叶斯公

9、式：设试验 E 的样本空间为 S , A 为 E 的事件 ，E,B2,? ,Bn 为 S 的一个划分，且 P(B i)0( 1,2,., n) ，则ce A P ( A|B )P(Bi )P(B i |A)= - -S P(AB j )P(B j )j 討6. 独立性1. 定义：设 A,B 是两事件，如果满足等式P(AB) 二 P(A)P(B) ，则称事件 A,B 相互独立，简称A,B 独立 .若 P(A) O,P(B) 0 , 则 A,B 相互独立与 A,B 互不相容不能同时成立.2. 定理一：设 A,B 是两事件，且 P A >0, 若 A,B 相互独立，则P(B|A)=P(B).

10、反之亦然 .3. 定理二：若事件 A 与 B 相互独立则 A 与 B， A 与 B，A 与 B 也相 互独立 .4. 推广定义：设 A,B,C 是三个事件，如果满足等式P(AB) 二 P(A)P(B),P(BC) 二 P(B)P(C)，P(AC) 二 P(A) P(C) , P(ABC) 二 P(A)P(B)P(C) 则称事件A,B,C 相互 独立 .5. A, B 相互独立二A, B 相互独立二A, B 相互独立二A, B 相互独立当PAB 二 PAPB 时PAB 二 PA-AB 二 PA-PAB 二 PA 讣1-PB=PAPB精品文档精品文档第二章随机变量及其分布1. 随机变量1. 定义：

11、设随机试验的样本空间s e, x = x 1 e 是定义在样本空间 s 上的实值单值函数，称x为随机变量离散型常见的两类随机变量连续型2. 本书中一般以大写字母如 X,Y,Z, W,表示随机变量，而以小写字 母x,y, z,w, 表示实数 .2. 离散型随机变量及其分布律1. 定义：有些随机变量，它全部可能取到的不相同的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量称为离散型随机变量.2. 定义：取值可数的随机变量为离散量 .一般地，设离散型随机变量X 所有可能取的值为xk（k=12 ）x 取各个可能值的概率论，即事件的概率为PlX 二 Xk?二 Pk,k 二 1,2,称为离散型随机变量X 的分布律。

12、 Pk 满足如下两个条件：cd（1） Pk -0（2） ' Pk =13. （0- 1）分布设随机变量 X 只可能取 0 与 1 两个值 ,它的分布律是PX =k = pH", k =0,1（ 0 ： p <1, p * q=1）, 则称X 服从（ 0- 1）分布或两点分布 .(01) 分布的分布律也可写成精品文档精品文档4. 设试验只有两个可能结果：A 及 A,则称 E 为伯努利试验 . 设P(A) 二 P( 0 * P : 1)，此时 P(A) - p, 将 E 独立重复地进行n 次，则称这一串重复的独立试验为n 重伯努利试验 .PX 二 k-ChW ，k = 0,

13、1,2,|, nC； pkqZ 刚好是二项式 (p q) n 的展开式中出现Pk 的那一项，故称随机变量 X 服从参数 n, p 的二项分布，记为 X? B(n, p) 特别，当 n时 二项分布化为 Plx 二 k?二 pp1 七 k =0,1 ，这就是 ( 0-1 ) 分布 .5. 泊松分布设随机变量 X 所有可能取值为0,1,2 .而取各个值的概率为, ,kP：X =k k = 0,1,2，,其中 0 是常数， k!则称 X 服从参数为 的泊松分布， 记为 X PC ).3. 随机变量的分布函数1. 分布函数的定义设 X 是一个连续随机变量，称F(x) 二 p(X 辽 x)(- x 为 X

14、 的 分布函数 .X是随机变量 ，x 是自变量 .由定义，对任意实数x! ： x，随机点落在区间,X 21 的概率为：px1 X X2=px 兰 X2一 px 兰 X,= F( X2) F( X1)2. 分布函数性质(1)0zF(x) z1,x ( 八，二 )尸 ( 儿) 乞 F(X2 ) ,(x ： x2)(单调不减性 )精品文档精品文档(3) F(- ： )二 lim F(x) = 0,F( ： )二 lim F(x) = 1 x_sc(4) lim 二 F(Xo),(- xo ： )x”即任一分布函数处处右连续.3. 公式(1) Pa ： X 乞 b二 F (b) F(a)(2) PX

15、a =1 -F(a).4. 连续型随机变量及其概率密度1. 如果对于随机变量X 的分布函数 F x ，存在非负函数f(x)，使x对任意实数 x 有 F(x)=J f(t)dt ，则称 X 为连续型随机变量，其中 _oQ 函数 f (x) 称为 X 的概率密度函数简称概率密度。在实际应用中遇到的基本上是离散型或连续型随机变量.2. 概率密度 f(x) 性质：(1) f(x)-O(2)f xdx=1-_oO(3) 对于任意实数冷 X2 ，为乞 x2 ,P' x 1 X - x = F x 2 - F x 1f x dxx1(4)若 f (x) 在点 x 处连续则有F x =f(x)3. 均

16、匀分布：设连续型随机变量 X 具有概率密度? 1 .- a x b精品文档精品文档f (x)- a,，则称 X 在区间 a,b 上服从均匀分布 .记为【 0,其他精品文档精品文档XU ( a,b ) .易知 f(x)O, 且 f(x)dx=1-GO4 指数分布：设连续型随机变量X 具有概率密度ex a 0f ( x)= e ,x 0 ，其中 日0 为常数，则称X 服从参数为 日的指0,其他数分布 .易知 f(x)0, 且 J f (x)dx=1-QO5 正态分布：设连续型随机变量X 具有概率密度则称 X 服从参数为 J 5 的正态分布.特别的，当 =0” =1时，称 X 服从标准正态分布5.

17、随机变量的函数分布定理：设随机变量X 具有概率密度fX x , ：，又设函数g(x) 处处可导且恒有 g(x) ? 0(或恒有 g (x) : 0)，则 Y=g(X) 是连续型随机变量，''其概率密度为fY x 八 0 川川心：其丁 .第三章多维随机变量及其分布1.二维随机变量1. 设随机试验 E 的样本空间为： Se,X e 、Ye 为定义在 S 上的随机变量，由它们构成一个随机向量( X、Y),叫二维随机向量或二维随机变量 .2. 定义：设二维随机变量( X、Y)，对任意实数x、y , 二元函数精品文档精品文档F(X, Y) 二 PxYV 称为 (X、 Y)的( 联合 )

18、概率分布函数 .二维随机变量分布函数的性质：（1） F x, y 是变量 x 和 y 的不减函数，即对任意固定的y，当 仇 Xi时 F X 2, y - F X i,y ; 对于任意固定的x，当 y yi 时F x,y 2 _F x,y i .（2） 0 乞 F x, y < 1，且对于任意固定的y，F -： ,yi；=O，对于任意固定的x, F x,- ：- 0, F - ： ,- ： - 0, F 二厂： -1.（3） F x,y =F x 0,y ，F x, y =F x, y 0 ，即 Fxy, 关于 x 右连续，关于 y 也右连续 .（4）对于任意 xi,yi ， X2,y2，

19、 x? ?人， 土 * ，下述不等式成立： F x 2,y2 - F x 2,%F x 1,y1 - F xy 2 - 0.如果二维随机变量 （X,Y）全部可能取到的不相同的值是有限对或可列无限多对，则称 （X,Y）是离散型的随机变量.3. 对于二维随机变量 X,Y 的分布函数 F x,y . 如果存在非负的函数 f x,y 使对于任意 （X、Y）有 F x,y 二 f J , dF , 丄 _oO _oO则称 X,Y 是连续型的二维随机变量，函数f x,y 称为二维随机变量 X,Y 的概率密度，或称为随机变量X 和 Y 的联合概率密度 .概率密度 f x, y 具有以下性质：(1) f(x,y)-0(2)二： f(x,y)dxdy 二 FC < ) =1精品文档精品文档 设 G 是 xOy 平面上的区域，点 (X、Y)落在 G 内的概率为P"X,Y) G= f (x, y)dxdyG精