最新必修5-解三角形知识点归纳总结

1、精品文档第一章解三角形.正弦定理 :1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等， 并且都等于外 接圆的直径，即 - 2R（其中 R 是三角形外接圆的半径）sin A sin B sinC2.变形 :1a+b+ca b c） sin z sinh 亠 sinCsinz sinmsinC2）化边为a : b : c =A: sin B :sin C 7角：sina si nA.b sin Basin AJc sin CJsin C 'b sin Bc3）化边为角： a = 2Rsin A,b = 2Rsin B,c = 2Rsi nC4）化角为边：sin A a .sin

2、Bb si nA aJsin B bsin Cc sin C c5）化角为边：sin Aasin BbsinC 2R 二2R2R3.利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： 已知两个角及任意一边，求其他两边和另一角；例：已知角 B,C,a ，解法：由 A+B+C=18 °0, 求角 A,由正弦定理旦 =竺 4 b sin B bsin Ba sin A tcsin Cc sin C;求出 b 与 c 已知两边和其中一边的对角，求其他两个角及另一边。例：已知边 a,b,A,解法：由正弦定理ab sin B弦定理 a =泄求出 c 边c sin C求出角 B,由 A+B+C=180 求

3、出角 C,再使用正4. ABC 中，已知锐角 A, 边 b, 贝 U a : bsi nA 时， B 无解； a = bsinA 或 a _b 时， B 有一个解 ; bsin A ： a : b 时， B 有两个解。如：已知 A = 60 Y a = 2,b = 2 i 3,求 B （有一个解）已知 A = 60 = ； b = 2,a = 2 、.3,求 B （有两个解 ） 注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。精品文档精品文档.三角形面积1. S ABC111absinCbcsin A acsinB2222. SABC =1( a b c ) r ,其中 r 是三角形内切圆半径 ., _

4、 13.S ABC = p(p a)(p b)(p c),其中p=2 ( a+b + c),4. SABC 二也 , R 为外接圆半径少 4R5. S ABC =2R 2sin As in Bs in C,R 为外接圆半径三. 余弦定理1. 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的 2 倍，即222-2bccos Aabc222-2accos Bbac222cab 2abcosCcosB =2ac2.变形： 2 2 2八b +c -a cos A2bc22,22cosC =a + b -c2ab注意整体代入，如： a2 c2 -b2 = ac= co

5、sB =-13?利用余弦定理判断三角形形状 :2设 a、b、c 是? 5C 的角二、三、 C 的对边，则 :吟專c" +b 2 >acos42hc>0?J4<90°若，所以虫为锐角若 c2 b2 =a2 = A 为直角c2 +b2 <a2 ?cos 4 =22bc<0.4>90 °.若，所以虫为钝角，则胡 EC 是钝角三角形精品文档精品文档4.利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题：1）已知三边，求三个角2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角四、应用题1. 已知两角和一边（如 A、B、C）, 由 A+B+C= n 求

6、C,由正弦定理求 a、b.2. 已知两边和夹角（如 a、b、c）, 应用余弦定理求 c 边；再应用正弦定理 先求较短边所对的角，然后利用 A+B+C= n , 求另一角 .3. 已知两边和其中一边的对角（如 a、b、A）, 应用正弦定理求 B,由 A+B+C =冗求 C,再由正弦定理或余弦定理求c 边，要注意解可能有多种情况.4. 已知三边 a、b、c, 应用余弦定理求 A、B, 再由 A+B+C= n，求角 C.5. 方向角一般是指以观测者的位置为中心， 将正北或正南方向作为起始方向 旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成 .正北或正南，北偏东 XX 度， 北偏西 XX 度，南偏东 XX 度，南偏西 XX 度.6. 俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中 ，视线在水平线上 方的角叫仰角 ，视线在水平线下方的角叫俯角 .视线铅直线水平线视线五、三角形中常见的结论1） 三角形三角关系： A+B+C=180 ;C=180 （A+B ）;2） 三角形三边关系：两边之和大于第三边：:.;两边之差小于第三边：，：" ，】 ?，一：；3）4） 在同一个三角形中