2.7隐函数微分法.

1、2.7隐函数的微分法一、 一个方程的悄形二、 方程组的惰形三、 小结预备知识：隐函数的概念设有方程F( (n,x“)=o,如果存在一个4元函数V=/(旺，兀2,X“) )，使得F(xpx2, XW,/(XPX2XH)SO,则称y= /(曲,兀2,x“)是由方程F(xpx2-,xw, j) = 0所确定的隐函数。例如，y= V1 x是由方程 l+ y 1 =0所确定的隐函数c2.7.1由一个方程确定的隐函数的微分法1. F(x,) = 隐函数存在定理1设函数在点的某一邻域内具有 连续的偏导数，且尸( (Uo) )=。，竹(斗)0) )工0 则方程F(x,j) = 0在点P(x0,j0)的某一邻域

2、内 恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的 函数y = f(x),它满足条件J0= /(x0),并有dy Fx石=-可隐函数的求导公式如果F(x,j)的二阶偏导数连续，则可求y对x的二阶 导数：例2. 52证方程x2+y2-1 = 0在点,1)的菓邻域内能唯一确定一个单值可导、J&x=O = 1的隐函 数=/( (x),并求这函数的一阶和二阶导数在 的值.解 令F(x,j) = x2+j2 1则Fx= 2x,竹=2几均连续。兀0= 0=l.F(O,1) = O, FyM) = 20,依定理知方程+ ,2 _ 1 = 0在点(0J)的某邻 域内能唯一确定一个单值可导、且时J = 1的函

3、J&J = /( (X) ).函数的一阶和二阶导数为X + yy-x2. F(x,j,z) = O隐函数存在定理2设函数F(x.j,z)在点P(x0.yzQ)的某一邻域 内有连续的偏导数，且F(xo,yo,zo) = O, F；( (x) )o S) )工则方程F(x.y.z)= ”在点 尸(AT。,儿,)的某一邻域内恒能唯一确定一个 单值连续且具有连续偏导数的函数;:=/(x,j),它满足条件5=/(兀0儿)，并有 更=_竺，dz =_ dx Fzdy Fz例2已知用公式求字xax解 令v) = In Jx2+ y2arctan,xJ x2+y2a_ ” + y XX2InJx2y2

4、arctanxV-xx2+y2设0)具有连续的一阶偏导数.方程p(cx-azcy-fe) = 0确定了函娄如=z(x).求az”+bj 解 令-cx-azyv =cy-te,显然复合函数qAcx-az cy-bz)有对r,y,z的连续偏导数“ 而化=p (cx-az)x+02-反)=Pc,而理=9 (cx-az)z+(-加)二=3(F) +处(),同理，5=-冬=-丝化一dp -b(p2a、+ 碣己知X =Inz，求血，求血.zy厶xzX解设F(xyz) =-In =-Inz 4-Inyy贝ijz y z所以區二丄(二亠亠,dx Fzzzz z + x& 竹1 X 1z2故“冇+hzv

5、=a7S+-a(p_b(p、aP+化a(px+bp、= /(- ) =-QyFzy z z y(z + x)解二利用全微分形式的不变性，两端求全微分得77整理即得dz =-(dxddy).Z +xy设门“宀W) )具有连续偏导数，方程八X + ”y+Z,Z + x) =()确定了函数Z =2( (几刃求5心解一直接利用求导公式得- fx/ri + /2o+/3i/, 4-/3z -=- =- ,xfz刀0 + /2 i + Zr】+A牙1 + /2 1 + Zrf+兀fz/| -0 + /21 4-/3-lf2+/3解二 方/(x + y,y+ z,z + x) = O两端对x求导，同时 注意

6、z是r, y的函数，有所以Nz=(dx + dy).Z + X y/|+厶3+人U+z*) = O,所以_AA,力+同理可得一餡.解三 利用全微分形式不变性，两端求全微分，得f(兀 + 刃 + 几rf(z + x) = O,f (dx+dy) + f (dy +dz、+f、(dz+dx、=O,所以dz = _心厶心-心厶分.f2七f3兀+/*3因此设z = /(x + y + z.xyz)令F(x.z) = z-/(x + y+ z xyz). = x + y + z,v = xyz F =z /(w,v)(X0, J*( (rHo,V()的某一邻域内恒能唯一确定一 组单值连续且典有连续偏导数

7、的函数“= “()arardudvdGdC；ditdr0(,Gd(uv)下面推导公式:现即,等式两边对兀求导,Glx.y,u(x.y).vx.y)=OF(X,JUGV) = ()G(“S) )= O确定了 ()，()A西+尸西Mdxvdx唸 5吿卜 5 鑒+化寻duDjId(AG)dv21a( (AG)ctrDJd(xv)9dxDJd(ux)(Fx.y.u(x.y)v(x.y)=OGx, j,w(x, j),v(x)= 0等式两边对y求导，得关于等，等的线性方程组。 解方程组得特别地，(定理2 13)方程组JFgy,z) = uIG(x,y,z) = O可以确定函数y = y(x), z= z(x),且d(F.G)dyd(x9z)GxGzdx d(F.G) d(y9z)a( (F,G)Fy Fxdz3(y,x)by G*厶 _d(F.G) _|竹巧 d(y9z)bv G.y z类似，对3“ _10(F-G)dy J西二1 3(FQdy Jd(uy)(2 x)g(mczMoJIIN32Z存I c I (9 = )2ZHXoizH(z,r) )= O所确定，其甘均可微，且/=创)工求包.3(z,f)dy对方程组中