数学建模灰色预测法PPT精选文档

1、1灰色预测法灰色预测法王玉雷王玉雷河南工业大学理学院河南工业大学理学院2 在预测分析中，最基本的预测模型为线性回归方程，针对一些规律性较强的数据，该模型能作出精确的预测，但在实际中，我们得到的常是一些离散的，规律性不强的数据，为解决此类问题，线性的方法就不适用了，此时，就需要采用灰色预测的方法。31 灰色预测理论2 GM(1,1)模型 3 GM(1,1)残差模型及GM (n, h)模型 灰色预测法灰色预测法回总目录41. 灰灰 色色 预预 测测 理理 论论 一、灰色预测的概念 （1）灰色系统、白色系统和黑色系统 白色系统是指一个系统的内部特征是完全 已知的，即系统的信息是完全明确的。回总目录回

2、本章目录5 黑色系统是指一个系统的内部信息对外界 来说是一无所知的，只能通过它与外界的 联系来加以观测研究。 灰色系统内的一部分信息是已知的，另一 部分信息是未知 的，系统内各因素间有不 确定的关系。回总目录回本章目录6 灰色预测是对既含有已知信息又含有不确定信息的系统进行预则，就是对在一定范围内变化的、与时间有关的灰色过程进行预测。 （2）灰色预测法回总目录回本章目录 灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对 原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。7（3）灰色系统的应用范畴

3、 灰色系统的应用范畴大致分为以下几方面： （1）灰色关联分析。 （2）灰色预测：人口预测；初霜预测；灾变预测.等等。 （3）灰色决策。 （4）灰色预测控制。8 （4）灰色预测的四种常见类型 灰色时间序列预测 即用观察到的反映预测对象特征的时间序列来构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。 畸变预测 即通过灰色模型预测异常值出现的时刻，预测异常值 什么时候出现在特定时区内。 回总目录回本章目录9 系统预测 通过对系统行为特征指标建立一组相互关联的灰色预测模型，预测系统中众多变量间的相互协调关系的变化。 拓扑预测 将原始数据做曲线，在曲线上按定值寻找该定值发生的所有时点

4、，并以该定值为框架构成时点数列，然后建立模型预测该定值所发生的时点。回总目录回本章目录10 二、生成列 设已知数据变量组成序列X(0)，则我们可得到数据序列 为了弱化原始时间序列的随机性，在建立灰色预测模型之前，需先对原始时间序列进行数据处理，经过数据处理后的时间序列即称为生成列。回总目录回本章目录 nXXXXX00000,.3,2,111累加累加是将原始序列通过累加得到生成列。 灰色系统常用的数据处理方式有累加和累减两种。 （1）数据处理方式回总目录回本章目录12 累加的规则: 将原始序列的第一个数据作为生成列的第一个数据，将原始序列的第二个数据加到原始序列的第一个数据上，其和作为生成列的第

5、二个数据，将原始序列的第三个数据加到生成列的第二个数据上，其和作为生成列的第三个数据，按此规则进行下去，便可得到生成列。回总目录回本章目录13记原始时间序列为： nXXXXX00000,.3,2,1生成列为： nXXXXX11111,.3,2,1上标1表示一次累加，同理，可作m次累加： kimmiXkX11回总目录回本章目录14 对非负数据，累加次数越多则随机性弱化 越多，累加次数足够大后，可认为时间序 列已由随机序列变为非随机序列。 一般随机序列的多次累加序列，大多可用 指数曲线逼近。回总目录回本章目录15累减 将原始序列前后两个数据相减得到累减生成列 累减是累加的逆运算，累减可将累加生成

6、列 还原为非生成列，在建模中获得增量信息。一次累减的公式为： 1001kXkXkX回总目录回本章目录16三、关联度 关联度分析是分析系统中各因素关联程度的方法，在计算关联度之前需先计算关联系数。（1）关联系数设 nXXXkX0000,.,2,1 nXXXkX0000,.,2,1则关联系数定义为： 00000000minminmaxmax( )maxmaxXkXkXkXkkXkXkXkXk回总目录回本章目录17式中： kXkX00 kXkX00minmin kXkX00maxmax为第k个点 称为分辨率，01, 对单位不一，初值不同的序列，在计算相关系数前应首先进行初始化，即将该序列所有数据分别

7、除以第一个数据。 0X 0X的绝对误差； 和为两级最小差； 为两级最大差； 回总目录回本章目录若 越小，关联系数间差异越大，区分能力越强。一般取=0.5；18（2）关联度 kX0 kX0 11nkrkn和的关联度为：回总目录回本章目录19一个计算关联度的例子 工业、农业、运输业、商业各部门的行为数据如下： 9 .41 , 3 .42 , 4 .43 , 8 .451X)9 .44 , 9 .43 , 6 .41 , 1 .39(2X5 . 3 , 5 . 3 , 3 . 3 , 4 . 33X7 . 4 , 4 . 5 , 8 . 6 , 7 . 64X工业农业运输业商业参考序列分别为 21,

8、XX，被比较序列为 43, XX试求关联度。 回总目录回本章目录20解答：以1X为参考序列求关联度。 第一步：初始化，即将该序列所有数据分别 除以第一个数据。得到：9138. 0 ,9235. 0 ,9475. 0 , 11X1483. 1 ,1227. 1 ,063. 1 , 12X31, 0.97, 1.0294, 1.0294X 7 . 0 ,805. 0 ,0149. 1 , 14X回总目录回本章目录21第二步：求序列差2335. 0 ,1992. 0 ,1155. 0 , 021146. 0 ,1059. 0 ,0225. 0 , 032148. 0 ,1185. 0 ,0674.

9、0 , 04第三步：求两极差 2335. 0maxmaxkMi 0minminkmi回总目录回本章目录X2-X1X3-X1X4-X122第四步：计算关联系数 取=0.5，有： 4 , 3 , 2 ,11675. 011675. 01ikkii 从而： 1112 503. 0212 3695. 0312 3333. 0412 1113 8384. 0213 5244. 0313 504. 0413 1114 634. 0214 4963. 0314 352. 0414回总目录回本章目录23第五步：求关联度 551. 041411212kk 717. 041411313kk 621. 041411

10、414kk 计算结果表明，运输业和工业的关联程度大于农业、商业和工业的关联程度。 为参考序列时，计算类似，这里略去。2X回总目录回本章目录242 GM(1,1)模型模型一、GM（1，1）模型的建立 nXXXX0000,.,2,1 nXXXX1111,.,2,1 11ddaXtX设时间序列有n个观察值，通过累加生成新序列 则GM（1，1）模型相应的微分方程(白化方程)为： 其中：称为发展灰数；称为内生控制灰数。回总目录回本章目录25构造矩阵B与向量Y1),1()(21 . .1),2()3(211),1 ()2(21)1()1()1()1()1()1(nXnXXXXXBY=(X(0)(2),X(

11、0)(3),，X(0)(n)26aYBBBTT1 aeaXkXak1101nk.,2 , 1 , 0设为待估参数向量，利用最小二乘法可得： 求解微分方程，即可得预测模型(时间相应式)： ，则微分方程回总目录回本章目录可表示为BY 27 对其做累减还原，即可得到原始数列 的灰色预测模型为:(0)(1)(1)( )( )(1)XkXkXk28 由灰色预测方法原理, - a 主要控制系统发展态势的 大小,即反映预测的发展态势,被称为发展系数; 的大小反映了数据变化的关系,被称为灰色作用量,其中:当- a 0.3 时, GM(1 ,1) 模型可用于中长期预测;当0.3 - a 0.5 时, GM(1

12、,1) 模型可用于短期预测,中长期预测慎用;当0.5 - a 1 时,不宜采用GM(1 ,1) 模型,可考虑其他预测方法。29灰色预测检验一般有残差检验、关联度检二、模型检验（1）残差检验按预测模型计算 ,1iX并将 iX1累减生成 ,0iX然后计算原始序列 iX0与 iX0的绝对误差序列及相对误差序列。 iXiXi000 %10000iXiini,.,2 , 1ni,.,2 , 1验和后验差检验。回总目录回本章目录30 在建立模型后,还必须对模型进行精度检验,其检验标准见表1。 表表1 精度检验等级参照表精度检验等级参照表31 iX0 iX0（2）关联度检验根据前面所述关联度的计算方法算出与

13、原始序列的关联系数，然后计算出关联度，根据经验，当=0.5时，关联度大于0.6便满意了。回总目录回本章目录32（3）后验差检验a.计算原始序列标准差: 2001XiXSn回总目录回本章目录b. 计算绝对误差序列的标准差： 12002niSc. 计算后验差比值：12SSC 33d. 计算小误差概率： 001 0.6745PPiS 00iei令:106745.0SS ，则：0SePPi P0.950.800.700.70 C0.350.500.650.65 好 合格 勉强合格 不合格回总目录回本章目录34例例 某矿某年某矿某年3-7月份的轻伤事故情况如表所示月份的轻伤事故情况如表所示试建立试建立G

14、M(1,1)模型的白化方程及时间响应式模型的白化方程及时间响应式, 并对并对M(1,1)模型进行检验模型进行检验,预测该矿预测该矿8月份轻伤人数月份轻伤人数.351)153119(211)11986(211)8655(211)5526(21B 1038.270532.0)(1YBBBaTT所以所以705.509,1038.27,0532.0aa原始数据列：原始数据列：34,33,31,29,26)(0iX累加生成数列：累加生成数列：153,119,86,55,26)(1iX34,33,31,29)5(),4(),3(),2(0000 xxxxY求解过程求解过程36从而得到预测公式从而得到预测公

15、式(时间响应式时间响应式)为：为：aeaXkXak)1()1()1()1(75.509705.5350532.0ke为了得到原始数列的预测值，需要将生成数列的预测值为了得到原始数列的预测值，需要将生成数列的预测值作累减还原为原始值，作累减还原为原始值，(0 )(1)(1)()()(1)XkXkXk从而得到白化方程：从而得到白化方程：(1)(1)0.053227.1038dXXdt37生成数列的预测值, 原始数列的还原值分别如下表所示(1)()Xk(1)()Xk带入预测公式算(0)( )Xk38生成数列的预测值, 原始数列的还原值分别如下表所示(1)()Xk(1)()Xk55.27-26(0)(

16、 )Xk39生成数列的预测值, 原始数列的还原值分别如下表所示(1)()Xk(1)()Xk(0)( )Xk40原始数列的还原值与误差检验(0 )()Xk(0 )()k(0 )()Xk41原始数列的还原值与误差检验(0 )()Xk(0 )()k(0 )()Xk42数据方差和残差方差分别为后验差比值为后验差比值为210.090.10918.24SCS22221221(2630.6)(2930.6)(3130.6)5 (3330.6)(3430.6) 8.24S2222221( 0.270.0075)(0.130.0075)(0.440.0075)4 ( 0.330.0075) 0.09S 43小误

17、差频率容易验证容易验证( 0 )( 0 )1( 0 )|()|0.6745 |()0.0075 |1.9362PPkSPk (0)(0)(0)(0)(1)0,(2)0.27,(3)0.13,(4)0.44, (5)0.33 都满足上面的式子都满足上面的式子, 因此因此P =1.443 基于灰色预测的等维灰数递补模型基于灰色预测的等维灰数递补模型 从灰色预测模型公式中可以看出，它是一个指数增长的模型，在进行预测时，最近一年的预测结果应该是很精确的，但对后续几年的预测误差会逐渐增大，为了提高预测模型的广泛适用性，我们做出了如下的改进：对原灰色模型等维灰数递补，即构造等维灰数递补模型。45 GM(1

18、,1)模型中具有预测意义的数据仅仅是数据X(n)以后的前几个数据，随着时间的推移，老的数据越来越不适应新的情况，所以，要在原数据的基础上每次增加一个新信息时，就去掉一个老信息。这种新数据补充、老数据去除的数据列，由于其维数不变，因而叫等维信息数据列，相应的模型叫等维灰数递补模型，或叫新陈代谢模型。46设原始数列为:置入新信息X(0)(n+1),去掉老信息X(0)(1),可构成新数列:利用这一新数列建立的GM(1,1)模型,即为等维信息GM(1,1)模型。 nXXXXX00000,.3,2,1 1,.4,3,200000nXXXXX47 由于在实际中，信息处于不断的变化之中,具有很大的随机性,虽

19、然历史信息对预测时刻的具体值有一定的相关性和影响,但与预测时刻更接近的信息对于该时刻的预测结果更有价值。鉴于这种情况,可先用已知数列建立的GM(1,1)模型预测一个值, 然后补充一个新信息数据到已知数列中, 同时去掉最老的一个数据, 使序列等维, 接着再建立GM(1,1)模型,这样逐个滚动预测,依次递补,直到完成预测目标为止，这样我们再对具体问题进行预测,就可以得到更为精确的结果。48对长江水质污染的灰色预测对长江水质污染的灰色预测1 问题的提出问题的提出在CUMCM2005A题中给出长江在过去10年中废水排放总量（见表1）和六类不同水质所占的百分比，据此对今后10年的长江水质污染的发展趋势做出预测。49 传