专题复习实数和二次根式

1、专题复习二次根式知识点归纳:一.实数：1. 数的分类：实数(定义分)整攵有理数'分数I分数 '无理数正实数;正有理数护无理数实数(大小分)2 0涣有理数负无理数2. 平方根的性质：(1) 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0;负数没有平方根。(2) 算术平方根a具有双重非负性，即：a_O,、a_O.厂I I a (a 兰 0)l 2(3) la2=a，(Ja)2 = a (aO)a (a c 0)3. 立方根的性质：(1)正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.(2)即 a3 =a(%a)3 =a二.二次根式：1. 二次根式的概念：式子.a (a

2、 _0,)叫做二次根式，具有双重非负性。2. 最简二次根式：(1 )被开方数的因数是整数，因式是整式；(2)被开方数不含开的尽方的整数和整式。3. 同类二次根式： 化为最简二次根式后，被开方数相同。4. 分母有理化：把分母化为有理数的过程，即去分母中的根号的过程。5. 二次根式运算法则：加减法：合并同类二次根式；乘法：a b = . ab (a _ 0,b _ 0)除法:.A 3 66.常见化简:(a-0)(a ： 0)(a 0)典型例题讲解及变式练习：例1若一个数的平方根是 2a-1和-a+2，求这个正数的平方。练习：1. 已知某数有两个平方根，分别为 a+3和2a-15，求这个数平方的倒数

3、。求A+B2.已知 mJm 3 n为m+3 n的算术平方根，B = n “1 -m2为1 - m2的立方根,的值。3.已知2a -1的平方根是一 3 , 3a+b-1的立方根是4，求a+2b的值。例2己知g ft为实数，且满足m = ，求伽-%的值n - 3练习:1. Ja +3 +|b+1 +(c _2)2 =0，求 a2 +bc -1 的算术平方根。2.若a-b+2与Ja +b1互为相反数，求 $22a +2b的值。3.已知-a b2 （a 2b1）2 = 5x、x5，求 ba - xa 的值。4.年普曲=0则mn5.已知 y = 2x -1 、. 1 - 2x 6x，求.2x 3y -

4、1 的平方根。例3已知3 J0的小数部分是a， 3 -、10的小数部分为b,求a b和a - b的值。练习：已知7 ,13的小数部分是a，7- , 13的小数部分为b，求a b和（a-b）2的值。例°己知“云7F求+ 4 -练习:1.化简a2 _11 _a21 a2.已知乂殳=丄Va、a （0 ： a : 1），贝U . x2 4x =3.已知1 ： x : 2，则x -2、x2 - 2x 1、x2 -4x 4 x "例5最简二次根式（1 +2a与Ja2 +2是同类二次根式，则 a的值是练习：若a+5b与J3a+2b已化成最简二次根式，且被开方数相同，则a=，b=2若 叫3

5、口+2门与6是同类最简二次根式，则 n=,m=。例 6 已知实数 a 满足 | 2009 -a |. a -2010 二 a，则 a -20092 =例7计算：636 2 3 、2 13 1练习:1.5 22 33-、3 4-2 2 + 563-12-12.例8较下列每组数里两个数的大小6.3与 4.7;,6-.2与. 5,3 .比较、4 一、,3与.3 - 2的大小比较'、n 1 - . n与、一 n - 、n -1的大小例9化简求值：已知x = .、2 -1,y = . 2 1，求'XM3的值。y. x y x 3. xy练习:1.(X 2 xy y忑+vy+ _)字！，其

6、中x = 2+后，x - yx2设 x =22 'S1 2x y2丿-xy的值。3.已知:4.已知a = 一，b = 一求a +b)的值。J3 -1 J3 +1b a巩固训练：一选择题：1.下列式子中最简二次根式的个数有一 Hx? +i ；4）V8 ；;.1 - x(x . 1) ;(7) . x22x3 .A. 2个 B . 3个 C . 4个 D . 5个2. 下列计算正确的有()。)(-9)4 -9 =6 :、(-4)(-9) = 49=6 ;.：5 - 4 - 5 4 - 4 = 3 :52 - 42 = . 52 - . 42 =1 ；A. 1个B.2个C.3个D. 4个3

7、.把 _3 a分母有理化后得( ) 12abA. 4bB.2. bC.V bD.也22b6.已知.25-x2 - 15 - x2=2,则25- x2+ .15-x2 :=( )A.3B.4C.5D.67 式子X2 1厂5, -X2 , - d 中，无论x为何值，一定有意义的式子的个数是()个(A)1(B)2(C)3(D)48.如果最简根式b°3b和.2b - a 2是冋类1次根式，那么a, b的值是（)A. a = 0, b= 2B. a=2, b= 0C. a = 1, b = 1D. a=1, b= 29.化简二次根式a： -a 21的结果是（ ） aA. . 一a -1B. -

8、_a 110.已知：ab>0, bc<0 ,化简f的结果为（A.寻 Jabcac C.<-abcgb22 2，则.a b 7的值。11.已知：a =1, b =U52J5+2A. 3B. 4C. 512.已知a<b,则化简.-a3b的结果正确的是（13.A.14.A.C.-a、一 -ab如果x y互为倒数相等B -aabB.2-1 5C a . ab D a、一 -ab-的值等于（x yC.B.D.D.b的关系是互为相反数互为有理化因式填空题:1.若a的算术平方根是丄，则a =22.、64的平方根为;-3. -2723.若x空0时，贝则x24.当a<1且a = 0

9、时，化简a2 -2a 12a -a5.请你观察思考下列计算过程：111 =21, .12111 ；同样 1112 = 12321, 12321 = 111,由此猜想 仁6.已知xy = 3，那么x7.实数a在数轴上的位置如图所示，化简|a .（a -2）28. 计算J +<2-6 卩=2+4339. 若 y = J3x _6+ J63 x + x3，贝V 10x + 2y 的平方根为 10. 根式：VZ，/罟，J6(a2 -b2) , J75x3y3 ,寸x2 + y2 , 牛中,最简根式有个.x - 111 .代数式丄丄在实数范围内有意义，则 x的取值范围是 x _212. J3 -麗

10、 的相反数是 ，倒数是 14. 当匡空=豊2时，x的取值范围是 辰-x <9 - x15.分母有理化的结果是27 - , 317.已知(x -2)2 |xy -53 xy 3z= 0，则 xy-z =18.50,.27，75,中，与12是同类二次根式的是19.如果最简二次根式b ： 3b和、2b - a 2是同类二次根式，那么20.已知：xy = 3,那么x'+yi-的值是Y x y21.已知： a+b=5, ab=4，则 _匹22.在实数范围内分解因式：a5 - 5a3 - 6a =23.x 2. xy ' y已知 x>0, y>0,且 x - 5 xy -

11、 6 y = 0，贝U x + J xy _ 2 yV x 2若式子一7有意义，则x的取值范围是2x -2x -325.当0<x<1时，化简式子=26.观察下列各式：1 1X 333 ；-1)2 I1 ；34将你猜想到的规律用含自然数n （ n的代数式表示出来是化简(b>0)解答题1.2.计算:、bab-Jb.abb-3. 用简便方法计算：+1x3已知x =1，求 的值。2x3 + x 十 1四中考链接1. (08遵义)若 a _2 + Jb_3 =0，贝U a2 b =& （08宁波）若实数X, y满足；T2 （y -'、3）2 =0，则xy的值是9. （0

12、8自贡）写出一个有理数和一个无理数，使它们都是小于1的数10. （08中山）已知等边三角形 ABC的边长为3+J3，则 ABC的周长是 11. （2007山东烟台）观察下列各式:请你将发现的规律用含自然数n（n1）的等式表示出来 12.（08云南）下列计算正确的是（）A. a3 a2 二a6B.（二3.14）° =1 C .（丄）° = 一2D .9=32A. （ 2） =2B.、8=2.2 C . 2x2+3X2=5X2 D . （a2）3 = a514.（ 08聊城）下列计算正确的是（）A. 2 3 4.2 = 6 5B.、8 =4、. 2 C.27 - 3D.、,（二

13、3）2 = _315. （ 08重庆）计算、8 一 2的结果是（）A 6 B 、. 6 C 、2 D 、 . 224. （08湖北荆州）下列根式中属最简二次根式的是（）A. Ja2 +1B. 書 C.8D.2725. （08广东中山市）下列根式中不是最简二次根式的是（）A.10B.8C.D.、226.（08桂林）在下列实数中，无理数是（）22A0.15B、兀C、-4D、 727.（08常州）下列实数中，无理数是（）A.4B.兀C.1D.-23228.（08宜昌）从实数一21,0,j ,4中，挑选出的两个数都是无理数的为3A.10B.ji , 4C.、2 , 4D. -, 229. （08宁波）

14、比.3大的实数是（）A. -5B. 0C. 3D.、. 231.（08永州）下列判断正确的是（）A.- V .3 V 2B.2 V 2 +73 v 3 c . 1 v7575v 2 d . 4 v73託 v 5232. （08益阳）一个正方体的水晶砖，体积为3100cm，它的棱长大约在A. 4cm5cm 之间B. 5cm6cm之间 C. 6cm7cm 之间D. 7cm8cm 之间33.（ 08芜湖）估计 屈讨* + J20的运算结果应在）.A. 6到7之间 B. 7到8之间C. 8到9之间D. 9至U 10之间38.（ 08 大连）若 x 二. a - b, y = a b，贝U xy 的值为

15、（）A. 2 . a B . 2 ： b C . a b D . a - b39.（08常州）若式子5在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A.x>-5B.x<-5C. x 丰-5D.x > -540.（08常州）化简:41。 （ 08苏州）计算:42. （08 广东湛江）计算：（一1 ） 2008（二3）0+ ,4 .43. （08沈阳）计算:（一 1）°45. （08宁夏）先化简，再求值：（2）（a2 -1），其中a = 3 -3。a 1 a +123.甲同学用如图方法作出 C点，表示数 ，在 OAB中，/ OAB=90° , OA=2 , AB=3 , 且点O, A , C在同一数轴上， OB=OC（1 ）请说明甲同学这样做的理由；（2）仿照甲同学的做法，在如图所给数轴上描出表示-的点A .24.如果正方形网格中的每一个小正方形的边长都是1，则每个小格的顶点叫做格点.（1）如图，以格点为顶点的 ABC中，请判断AB , BC, AC三边的长度是有理数还是无理数？（2）在图中，以格点为顶点画一个三角