2.4二次函数与幂函数

1、第函数概念与卑本初等函数I2.4二次函数与幕函数基础知识自主学习知识梳理知识梳理妥点讲解探层突破妥点讲解探层突破1.二次函数(1) 二次函数解析式的三种形式1一般式：f(x) = ax2+ bx+ c(a丰0).2顶点式：f(x)= a(x m)2+ n(a 0).3零点式：f(x)= a(x x)(x X2)(a 工 0).(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)=ax2+bx+c(a0)f(x)=ax2+bx+c(a0 时，幕函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0,+ )上单调递增；4当a0 时，幕函数的图象都过点 (1,1)，且在(0,+ )上单调递减.【思考辨析】判断下面结论

2、是否正确(请在括号中打“V”或“X”)4ac_ b1 2(1)二次函数 y= ax2+ bx+ c, x a, b的最值4a二次函数 y= ax2+ bx+ c, x R，不可能是偶函数.(X)(3)在 y = ax2+ bx+ c(a* 0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大 小.(V)1函数y=2x2是幕函数.(X)如果幕函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.当 n0, 即卩 m21，解得 m1.2 .已知函数 f(x)= ax2+ x+ 5 的图象在 x 轴上方，则 a 的取值范围是 _1答案 ，+则实数 m 的取值范围是 _a0,a0,i解析由题意知.0,即

3、1-20a2013 .函数y=x3的图象是_ .(填序号)U J kJ7知701”刁E答案ii解析 显然 f( x) = f(x)，说明函数是奇函数，同时由当 OvXV1 时，x3X；当 x 1 时，x3vx故只有符合.4.已知函数 y= x2 2x+ 3 在闭区间0 , m上有最大值 3,最小值 2，贝Vm 的取值范围为答案1,2解析 如图，由图象可知m 的取值范围是1,2.5.(教材改编)已知幕函数 y= f(x)的图象过点 2, 2，则此函数的解析式为 _;在区间_ 上递减.1答案y=x1(0,+)题型分类深度剖析题型一求二次函数的解析式例 1 已知二次函数 f(x)满足 f(2) =

4、1, f( 1) = 1，且 f(x)的最大值是 8，试确定此二次函数的解析式.解方法一(利用一般式):设 f(x) = ax2+ bx+ c(a丰0).所求二次函数为 f(x)= 4X2+4X+7.方法二(利用顶点式):设 f(x) = a(x m)2+ n. f(2) = f( 1),1m= 2又根据题意函数有最大值8, n= 8, y = f(x)= a x 22+ 8.- f(2) = 1,1 a 22+ 8= 1，解得 a= 4,1 f(x) = 4 x 22+ 8 = 4x2+ 4x+ 7.方法三(利用零点式):由已知 f(x)+ 1 = 0 的两根为 X1= 2, x2= 1,故

5、可设 f(x)+ 1 = a(x 2)(x + 1),即 f(x) = ax2 ax 2a 1.4 a 2 a_ 1 _ _ a2又函数的最大值是 8,即4a- - = 8.4a解得 a= 4,所求函数的解析式为f(x) = 4x2+ 4x+ 7.思维升华 求二次函数的解析式，关键是灵活选取二次函数解析式的形式，所用所给出的条 件，根据二次函数的性质进行求解.蛾蹋训给 1(1)二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为 x= 2,最小值为一 1,则它的解析式是3 4(2)若函数 f(x) = (x+ a)(bx+ 2a)(常数 a, b R)是偶函数，且它的值域为(一, 4，则该函数的解析式 f(

6、x) =_ .4答案(1)f(x)= 2x2 2x+ 1 (2) 2x2+ 4解析(1)依题意可设 f(x)= a(x 2)2 1,由题意得4a + 2b + c = 1,a b + c= 1,4aCb2= 8,4aa = 4,解得 b = 4,c= 7.抛物线的图象的对称轴为x=2+ 1 =2=12.又其图象过点(0,1),-4a 1 = 1, - - a = 2*二 f(x) = 2(x_ 2)21.1f(x) = qx2 2x+ 1.由 f(x)是偶函数知 f(x)图象关于 y 轴对称， b = 2, f(x)= 2x2+ 2a2,又 f(x)的值域为(a,4, 2a2= 4,故 f(x

7、) = 2x2+ 4.题型二二次函数的图象与性质命题点 1 二次函数的单调性例 2 已知函数 f(x) = x2+ 2ax + 3, x 4,6,(1) 求实数 a 的取值范围，使 y = f(x)在区间4,6上是单调函数；当 a= 1 时，求 f(|x|)的单调区间.2 a解(1)函数 f(x) = x2+ 2ax+ 3 的图象的对称轴为 x= = a,要使 f(x)在4,6上为单调函数，只需一a6，解得 a 4 或 a0 ,其图象如图所示.又 x 4,6, f(|x|)在区间4， 1)和0,1)上为减函数，在区间1,0)和1,6上为增函 数.命题点 2 二次函数的最值例 3 已知函数 f(

8、x) = x2 2x，若 x 2,3，则函数 f(x)的最大值为 _ .答案 8解析 f(x)= (x 1)2 1, / 2wx 3(如图)， f(X)max= f( 2) = 8.引申探究已知函数 f(x) = x2-2x,若 x -2 , a，求 f(x)的最小值.解函数 y = x2-2x= (x- 1)2 1,对称轴为直线 x= 1, x = 1 不一定在区间2, a内，应进行讨论，当一 21 时，函数在2,1上单调递减， 在1 , a上单调递增，则当 x= 1 时，y 取得最小值，即 ymin= 1.综上，当一 21 时，ymin= 1.命题点 3 二次函数中的恒成立问题例 4 (1

9、)设函数 f(x)= ax2 2x+ 2,对于满足 1x0，则实数 a 的取值 范围为_ .已知 a 是实数，函数 f(x) = 2ax2+ 2x 3 在 x 1,1上恒小于零，则实数 a 的取值范围为11答案2，(2) m,解析 由题意得 a2 $对 1x4 恒成立,x xp22o112, 1 11 彳又厂 x=2x22+2，412.(2)2ax2+ 2x 30 在1,1上恒成立.当 x= 0 时，适合；3 1 111当XM0 时，a f(x)恒成立？a f(X)max, a f(x)恒成立？a f(x)min.憑琮训练 2已知函数 f(x)= x2+ 2ax+ 2, x 5,5.(1)当

10、a= 1 时，求函数 f(x)的最大值和最小值；求实数 a 的取值范围，使 y = f(x)在区间5,5上是单调函数.解 当 a= 1 时，f(x) = x2 2x+ 2= (x 1)2+ 1, x 5,5,所以当 x= 1 时，f(x)取得最小值 1 ；当 x= 5 时，f(x)取得最大值 37.函数 f(x) = (x+ a)2+ 2 a2的图象的对称轴为直线x= a,因为 y= f(x)在区间5,5上是单调函数，所以一 a 5,即卩 a5.故 a 的取值范围是(一R,5U5 ,+).题型三幕函数的图象和性质例 5 (1)已知幕函数 f(x)= kxa的图象过点 1，乎，贝Uk+a=_.1

11、 1若(2m+1)2(m2+m1)2，则实数 m 的取值范围是 _.答案(1)3亠尹,2解析由幕函数的定义知 k= 1.又 f * =屮,1、f213所以 1a= 2，解得a=1，从而 k+a=3.1因为函数y=x2的定义域为0,+),5所以 a 0,所以不等式等价于m2+ m 1 0,2m+ 1m2+ m 1.1解 2m+1A0,得 mA ;解 m2+ m 1A0,得 mw-2_1 或 mA眾眾1解 2m + 1m2+ m 1,得1m2,思维升华(1)幕函数的形式是 y= xR),其中只有一个参数a因此只需一个条件即可确定其解析式.(2)在区间(0,1)上，幕函数中指数越大，函数图象越靠近x

12、 轴(简记为“指大图低”)，在区间(1, +g)上，幕函数中指数越大，函数图象越远离x 轴.銀採刘 I 练3(1)已知幕函数 f(x)=(m2m1) x5m3在(0,+g)上是增函数，则 m=1 1若(a+1)2(32a)2,则实数 a 的取值范围是2答案1(2) 1, |)解析T函数 f(x) = (m2 m 1)x5m3是幕函数，/ m2 m 1 = 1, 解得 m = 2 或 m= 1.当 m= 2 时，一 5m 3 = 13,函数 y= x13在(0, +g)上是减函数;当 m= 1 时，一 5m 3= 2，函数 y= x2在(0, + )上是增函数.1易知函数y=x2的定义域为0，+

13、g)，在定义域内为增函数，所以a+ 1A0,3 2aA0,a+ 13 2a,解之得-1wa2.思想与方法系列3 .分类讨论思想在二次函数最值中的应用典例 (14 分)已知 f(x) = ax2 2x(0 0 时，f(x)= ax2 2x 图象的开口方向向上，且对称轴为x = -.4 分a1当- 1 时，f(x) = ax2 2x 图象的对称轴在0,1内，a11二 f(x)在0,匚上递减，在-,1上递增.aa“、1121八f(x)min=f(a)=aa=孑分12当-1,即 0a1 时，f(x)= ax2 2x 图象的对称轴在0,1的右侧，/ f(x)在0,1上递减.af(x)min= f(1)

14、= a 2.10 分当 a0 时，f(x)= ax2 2x 的图象的开口方向向下，1且对称轴 X=-0,在 y 轴的左侧，af(x) = ax2 2x 在0,1上递减. f(x)min= f(1) = a 2.13 分a 2,a 1.a，温馨提醒(1)本题在求二次函数最值时，用到了分类讨论思想，求解中既对系数a 的符号进行讨论，又对对称轴进行讨论在分类讨论时要遵循分类的原则：一是分类的标准要一致， 二是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量避免分类，绝不无原则的分类讨论.在有关二次函数最值的求解中，若轴定区间动，仍应对区间进行分类讨论.-思韻方法感悟提高-方法与技巧1.二次函数的三种形式(

15、1)已知三个点的坐标时，宜用一般式.已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关的量时，常使用顶点式.已知二次函数与 x 轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f(x)更方便.2 .研究二次函数的性质要注意：(1) 结合图象分析；(2) 含参数的二次函数，要进行分类讨论.3 利用幕函数的单调性比较幕值大小的技巧在比较幕值的大小时，必须结合幕值的特点，转化为同指数幕，再选择适当的函数，借助其 单调性进行比较.失误与防范1.对于函数 y= ax2+ bx+ c,要认为它是二次函数，就必须满足a丰0,当题目条件中未说明 a丰0 时，就要讨论 a= 0 和 0 两种情况.2.幕函数的图

16、象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幕函数的图象最多能同时出现在两个象限内；如果幕函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.练出高分A 组专项基础训练(时间：40 分钟)1._ 如果函数 f(x)= x2 ax 3 在区间(一汽 4上单调递减，则实数 a 的范围是 _. 答案8 ,+ )解析函数图象的对称轴为 x= 2,由题意得 24,解得 a 8.2.函数 f(x)= (m2 m 1)xm是幕函数，且在 x (0,+ )上为增函数，则实数 m 的值是答案 2解析 f(x)= (m2 m 1)xm是幕函数？m2 m 1 = 1 ? m

17、= 1 或 m= 2.又在 x (0, +g)上是 增函数，所以 m= 2.3 .设函数 f(x) = x2+ x+ a(a0)，且 f(m)1解析Tf(x)的对称轴为 x= , f(0) = a0, f(x)的大致图象如图所示.由 f(m)0，得1m0, f(m+ 1)f(0)0.4 .若函数 f(x) = x2 ax a 在区间0,2上的最大值为 1,则实数 a=_答案 1解析T函数 f(x) = x2 ax a 的图象为开口向上的抛物线，函数的最大值在区间的端点取得，/ f(0) = - a, f(2) = 4-3a,a 4 3a, a0 的解集为答案(30)3解析 由题意设 f(x)=

18、 ax2+ bx+ 2 (a 工 0),则 f (x)= 2ax+ b, / f (x) = x 1,f(x)=2 - x+ 2,令 f(x)0，得3x0 ,不等式 f(10 x)0 可化为 010 x1 , x0)，若? X1 1,2, ? X2 1,2，使得 f(x1)= g(x2),则实数 a 的取值范围是_ .答案 3,+s)解析 由函数 f(x)= x2 2x= (x 1)2 1,当 x 1,2时，f(X)min= f(1) = 1 , f(x)max= f( 1)=3, 即函数 f(x)的值域为1,3，当 x 1,2时，函数 g(x)min= g( 1) = a + 2 , g(x

19、)max= g(2)=a+2w 1,2a+ 2,若满足题意则2a + 2 3,解得 a 3.答案 1 或 32a = 1,b= 1,1a = 2,b= 1,7 .当0 xg(x)f(x)解析如图所示为函数f(x), g(x), h(x)在(0,1)上的图象，由此可知，h(x)g(x)f(x).+3)，贝 U a 的值为解析由于函数 f(x)的值域为1，+g),所以 f(x)min= 1.又 f(x) = (x a)2 a2+ 2a + 4,当 x R 时，f(x)min= f(a)= a2+ 2a + 4 = 1,即 a2 2a 3= 0,解得 a= 3 或 a= 1.9 .已知函数 f(x)

20、= ax2+ bx+ 1(a, b 为实数，a丰0, x R).(1)若函数 f(x)的图象过点(一 2,1)，且方程 f(x)= 0 有且只有一个根，求f(x)的表达式;在(1)的条件下，当 x 1,2时，g(x)= f(x) kx 是单调函数，求实数 k 的取值范围. 解(1)因为 f( 2) = 1，即 4a 2b + 1 = 1,所以 b = 2a.因为方程 f(x) = 0 有且只有一个根，所以= b2 4a= 0.所以 4a2 4a= 0,所以 a= 1,所以 b= 2.所以 f(x)= x2+ 2x+ 1.(2)g(x) = f(x) kx=x2+ 2x+ 1 kx= x2 (k 2)x+ 1k 2=xk 一 2k2由 g(x)的图象知：要满足题意，则一厂2 或6 或 kw0,所以所求实数 k 的取值范围为(一g,0U6 ,