将军饮马问题(讲)

1、将军饮马问题类型一、基本模式 类型二、轴对称变换的应用（将军饮马问题）2、如图所示，如果将军从马棚M出发，先赶到河 OA上的某一位置 P，再马上赶到河 OB 上的某一位置 Q，然后立即返回校场 N请为将军重新设计一条路线 （即选择点 P和 Q）， 使得总路程 MP PQQN最短【变式】如图所示，将军希望从马棚M出发，先赶到河 OA上的某一位置 P，再马上赶到河OB上的某一位置 Q请为将军设计一条路线 （即选择点 P和 Q），使得总路程 MPPQ最短3、将军要检阅一队士兵，要求 （如图所示 ） ：队伍长为 a，沿河 OB排开（从点 P到点 Q）；将 军从马棚 M出发到达队头 P，从 P至 Q检阅

2、队伍后再赶到校场 N请问：在什么位置列队 （即 选择点 P和 Q），可以使得将军走的总路程 MPPQ QN最短?4. 如图，点 M在锐角 AOB内部，在 OB边上求作一点 P，使点 P 到点 M的距离与点 P到 OA 边的距离之和最小5已知 MON内有一点 P，P关于 OM，ON的对称点分别是和 ， 分别交 OM, ON于点A、B，已知 15，则 PAB 的周长为（）A. 15B 7.5C. 10D. 246. 已知 AOB，试在 AOB内确定一点 P，如图，使 P 到 OA、OB的距离相等，并且到 M、N 两点的距离也相等 .7、已知 MON 40°， P为 MON内一定点， OM

3、上有一点 A，ON上有一点 B，当 PAB的周 长取最小值时，求 APB的度数 .8. 如图，在四边形 ABCD中， A90°， AD 4，连接 BD，BDCD， ADB C.若P是 BC 边上一动点，则 DP长的最小值为 .练习1、已知点 A在直线 l外，点P为直线 l上的一个动点，探究是否存在一个定点 B，当点 P在 直线 l上运动时，点 P与 A、 B两点的距离总相等，如果存在，请作出定点B ；若不存在，请说明理由2、如图，在公路 a的同旁有两个仓库 A、 B ，现需要建一货物中转站，要求到 A、B两仓 库的距离和最短，这个中转站 M 应建在公路旁的哪个位置比较合理？3、已知：

4、 A、 B两点在直线 l的同侧， 在l上求作一点 M，使得 |AM BM |最小4、如图，正方形 ABCD中， AB 8， M是DC 上的一点，且 DM 2， N是 AC上的一动 点，求 DN MN 的最小值与最大值5、如图，已知 AOB内有一点 P，试分别在边 OA和 OB上各找一点 E、F，使得 PEF的周长 最小。试画出图形，并说明理由。6、如图，直角坐标系中有两点 A、B, 在坐标轴上找两点 C、D,使得四边形 ABCD的周长最小。.A. B7、如图，村庄 A、B位于一条小河的两侧，若河岸 a、b 彼此平行，现在要建设一座与河岸 垂直的桥 CD，问桥址应如何选择，才能使 A村到 B 村

5、的路程最近？8、yx2 1 （9 x）2 4 ,当 x为何值时， y的值最小，并求出这个最小值 .9、在平面直角坐标系中， A（1，-3） 、B（4 ，-1） 、P（a,0） 、N（a+2,0）, 当四边形 PABN的周长 最小时，求 a 的值 .10、如图，在等腰梯形 ABCD中， AB=CD=AD=，2 D=120°，点 E、F 是底边 AD 与 BC 的中点， 连接 EF，在线段 EF上找一点 P，使 BP+AP最短练习1、观察下列银行标志，从图案看既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A 1 个B2个C 3个 D4 个2、以下图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A

6、等边三角形 B 矩形 C 等腰梯形 D 平行四边形3、在下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是4、在等边三角形、 正方形、菱形和等腰梯形这四个图形中， 是中心对称图形的个数为 （ ）A1个B2个C3个D4 个5、把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们 把这样的图形变换叫做滑动对称变换 在自然界和日常生活中， 大量地存在这种图形变 换（如图甲）结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换 过程中，两个对应三角形（如图乙）的对应点所具有的性质是 （ ）（A） 对应点连线与对称轴垂直 （B） 对应点连线被对称轴平分（C） 对应点连线被对称

7、轴垂直平分 （D） 对应点连线互相平行6、对右图的对称性表述，正确的是（）A轴对称图形B 中心对称图形 C 既是轴对称图形又是中心对称图形D既不是轴对称图形又不是中心对称图形7、如图， A BC是由 ABC经过变换得到的，则这个变换过程是（ A）平移（ B）轴对称（ C）旋转（D）平移后再轴对称8、如图所示，四边形 OABC是矩形，点 A、C 的坐标分别为（ 3，0），（0，1），点 D 是线段1BC上的动点（与端点 B、C不重合），过点 D作直线 y xb交折线 OAB于点 E2（1）记 ODE的面积为 S，求 S关于b 的函数关系式；（2）当点 E 在线段 OA上时，若矩形 OABC关于直

8、线 DE的对称图形为四边形 OA1B1C1，9、探究 OA1B1C1 与矩形 OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的 面积；若改变，请说明理由 .答案】（1）由题意得 B（ 3，1）若直线经过点A（3，0）时，则b32若直线经过点B（3，1）时，则b52若直线经过点C（0，1）时，则b13若直线与折线 OAB的交点在 OA上时，即 1<b ，如图 25-a，此时 E（ 2b，0）11 S OE·CO ×2b×1 b22 35若直线与折线 OAB的交点在 BA上时，即 3 <b< 5 ，如图 2223此时 E（3， b），D

9、（2b2，1）2SS 矩 ( SOCD SOAESDBE) 3 1 (2b 1)×1 1×(52b)·( 5 b) 1×3(b 3) 5b b22 2 222 231bS52b b2235b222）如图 3，设 O1A1 与 CB相交于点M，OA与 C1B1相交于点 N，则矩形 OA1B1C1 与矩形 OABC的重叠部分的面积即为四边形 DNEM的面积。本题答案由无锡市天一实验学校金杨建老师草制！由题意知， DM NE，DN ME，四边形 DNEM为平行四边形 根据轴对称知， MED NED又 MDE NED， MED MDE， MDME，平行四边形 D

10、NEM为菱形 过点 D作 DH OA，垂足为 H，1由题易知， tan DEN ， DH 1， HE2，2设菱形 DNEM的边长为 a，则在 Rt DHM中，由勾股定理知：a2 (2 a)2 12 ，S 四边形DNEM5NE·DH矩形 OA1B1C1 与矩形 OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为10如图，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点的坐标分别为 A（0,1），B（-1,1 ），C-1,3 )。(1) 画出 ABC关于 x 轴对称的 A1B1C1，并写出点 C1 的坐标；(2) 画出 ABC绕原点 O顺时针方向旋转 90°后得到的 A2B2C2，并写出点 C

11、2 的坐标；，(3) 将 A2B2C2 平移得到 A 3B3C3，使点 A2 的对应点是 A3，点 B2 的对应点是 B3，点 C2的对应点是 C3( 4， -1 )，在坐标系中画出 A 3B3C3，并写出点 A3， B3的坐标。 【答案】(1) C1(-1,-3) (2)C2(3,1) (3)A3(2,-2),B3(2,-1)11、分别按下列要求解答：(1)在图 1中,将 ABC先向左平移 5个单位,再作关于直线 AB的轴对称图形 ,经两次变 换后得到 A1B1 C1.画出 A1B1C1；(2) 在图 2 中, ABC经变换得到 A2B2C2. 描述变换过程 .【答案】(1) 如图(2) 将

12、 ABC先关于点 A作中心对称图形 , 再向左平移2 个单位 , 得到 A2B2C2(变换过程不唯一)12、(1) 观察发现如题 26(a) 图，若点 A，B在直线 l 同侧，在直线 l 上找一点 P，使 AP+BP的值最小 做法如下：作点 B关于直线l的对称点 B，连接 AB ，与直线 l的交点就是所求的点 P 再如题 26(b) 图，在等边三角形 ABC中，AB=2，点 E 是 AB的中点， AD是高，在 AD上找一点 P，使 BP+PE的值最小做法如下：作点 B 关于 AD的对称点，恰好与点 C重合，连接 CE交 AD于一点，则这 点就是所求的点 P，故 BP+PE的最小值为题 18(a

13、) 图 题 18(b) 图(2) 实践运用如题 26(c) 图，已知 O的直径 CD为 4，AD的度数为 60°，点 B是 AD 的中点，在直径 CD 上找一点 P，使 BP+AP的值最小，并求 BP+AP的最小值题 18(c) 图 题 18(d) 图(3) 拓展延伸如题 26(d) 图，在四边形 ABCD的对角线 AC上找一点 P，使 APB= APD保留 作图痕迹，不必写出作法【答案】解： ( 1) 3 ；2)如图：OA、 OB、 OE，连接 AE交 CD与作点 B关于 CD的对称点 E，则点 E 正好在圆周上，连接一点 P， AP+BP最短，因为 AD的度数为 60°

14、，点 B是 AD 的中点， 所以 AEB=15°，因为 B 关于 CD的对称点 E，所以 BOE=60°，所以 OBE为等边三角形，所以 OEB=60°，所以 OEA=45°，又因为 OA=OE，所以 OAE为等腰直角三角形，所以 AE=2 2 .(3) 找 B 关于 AC对称点 E，连 DE延长交 AC于 P 即可，13、如图所示， A、B 两村之间有一条河， 河宽为 a，现要在河上修一座垂直于河岸的桥， () 要使 AB两村路程最近，请确定修桥的地点。 ()桥建在何处才能使 AB 两村到桥的距离相 等？仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途For personal use only in study and research; not for commercial use.N