定积分的应用PPT精品文档

1、12/17/20211第六章第六章 定定 积积 分分 的的 应应 用用12/17/20212 定积分的微元法定积分的微元法 平面图形的面积平面图形的面积 平面曲线的弧长平面曲线的弧长 体积体积目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导12/17/20213定积分的元素法求曲边梯形面积的有关知识求曲边梯形面积的有关知识 badxxfA)(一、预备知识一、预备知识ab xyo)(xfy 根据定积分的几何意义根据定积分的几何意义知，如图所示曲边梯形的面知，如图所示曲边梯形的面积为积为目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节

2、复习指导12/17/20214（1）分割分割：把区间：把区间,ba分成分成n个长度为个长度为ix 的小区间，的小区间，相应的曲边梯形被分为相应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形，第个小窄曲边梯形，第i 个小个小窄曲边梯形的面积为窄曲边梯形的面积为iA ，则，则 niiAA1. 求面积求面积A的步骤为的步骤为:（2）近近似似：计计算算iA 的的近近似似值值 ,)(iiixfA （3）求和求和: 得得A的近似值的近似值.)(1iinixfA , 1iiixx 目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导12/17/20215（4） 求极限求极限: 得得A的精确

3、值的精确值iinixfA )(lim10 若用若用A 表示任一小区间表示任一小区间,xxx 上的窄曲边梯形的面积，上的窄曲边梯形的面积，则则 AA，并取，并取dxxfA)( ，于是于是 dxxfA)( dxxfA)(limab xyo)(xfy dA面积元素面积元素xdxx .)( badxxf提示提示 badxxf)(目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导12/17/20216这个方法通常叫做这个方法通常叫做元素法元素法(微元法微元法)以所求量以所求量A的元素的元素dxxf)(为被积表达式，为被积表达式，在区间在区间,ba上作定积分，得上作定积分

4、，得 badxxfA)(， 即为所求量即为所求量A的积分表达式的积分表达式. . 应用范围：应用范围：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等功；水压力；引力和平均值等二、微元法二、微元法目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导12/17/20217微元法微元法的一般步骤：的一般步骤：( (1 1) ) 确确定定积积分分变变量量)(yx 或，并并求求出出相相应应的的积积分分区区间间,ba； ( (2 2) ) 在区间在区间,ba内任取一小区间内任取一小区间,dxxx ，求出相应的微元素求出

5、相应的微元素 dxxfdA)( (3) (3) 求求 dxxfdAAbaba )( 目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导12/17/20218平面图形的面积一、预备知识一、预备知识1.直角坐标系的概念和二次曲线的有关知识直角坐标系的概念和二次曲线的有关知识 。2.极坐标系的概念及双纽线、心形线等曲线的极坐标系的概念及双纽线、心形线等曲线的相关知识。相关知识。3.扇形的面积公式：扇形的面积公式： 221RA圆半径圆半径圆心角圆心角目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导12/17/202191.直角坐标系

6、下平面图形的面积直角坐标系下平面图形的面积xyo)(xfy abxx x曲边梯形的面积曲边梯形的面积dxxfAba)( 如图：由曲线如图：由曲线)(xfy 和直线和直线0, xbxax 所组所组成的曲边梯形的面积的微元素：成的曲边梯形的面积的微元素：dxxfdA)( 所以所以二、平面图形的面积二、平面图形的面积目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导12/17/202110 xyo)(1xfy )(2xfy abxx x babadxxfxfdAA)()()3(12如图：求由曲线如图：求由曲线 ),()(21xfyxfy 和),()(12xfxf且以

7、及直线以及直线bxax ,所围成所围成（1）如图）如图,以以x.,ba（2）在）在,ba,dxxx dxxfxfdA)()(12 为积分变量，积分区间为为积分变量，积分区间为 图形的面积图形的面积内任取一小区间内任取一小区间目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导12/17/202111例例 1 1 求求由由抛抛物物线线xy 2和和2xy 所所围围成成的的图图形形的的面面积积. 解解两曲线的交点两曲线的交点)1 , 1()0 , 0(dxxxdA)(2 面积元素面积元素dxxxA)(210 10333223 xx.31 2xy 2yx 以以 为积分变

8、量，积分区间为为积分变量，积分区间为;1 , 0 x目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导12/17/202112 定积分在几何上的应用 可见，定积分求平面图形的方法步骤：可见，定积分求平面图形的方法步骤：（）求曲线交点并画草图；（）确定求哪块面积，进行“面积组合面积组合”（即由定积分表示的曲边梯形来划分这块面积，哪些该加，哪些该减，注意注意“曲边梯形曲边梯形”一定是以x轴为一边，两条竖直线为另两边）；（）以x的范围确定积分限，用定积分表示这块面积；（）求定积分。例求曲线y=ex-2在区间-2，2间与x轴所围成的图形的面积 。解 作y=ex-2图像

9、（下图）（由y=ex平移） 求交点为（ln2,0）12/17/202113定积分在几何上的应用 “面积组合面积组合”即将这块图形划分为-2,ln2,ln2,2两个区间，对应两部分的面积和为：xy2ln2-2y=ex-2042ln4)2()2(2222ln2ln2eedxedxeSxx12/17/202114例例 2 2 求求由由曲曲线线xxy63 和和2xy 所所围围成成的的图图形形的的面面积积. 解解两曲线的交点两曲线的交点 236xyxxy).9 , 3(),4 , 2(),0 , 0( 选选 为积分变量为积分变量x3, 2 x,0, 2)1( x,3 , 0)2( xdxxxxdA)6(

10、231 dxxxxdA)6(322 2xy xxy63 目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导12/17/202115于是所求面积于是所求面积21AAA dxxxxA)6(2023 dxxxx)6(3230 .12253 说明：注意各积分区间上被积函数的形式说明：注意各积分区间上被积函数的形式问题问题:积分变量只能选积分变量只能选 吗？吗？x目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导12/17/20211623023x例例:求求y=sinx，x和和x=及及X轴所围成的面积轴所围成的面积。0232312012

11、)sin0 () 0(sin)()(dxxdxxdxyydxyy230sinsinxdxxdx解：解：A= =312/17/2021174 xyxy22 例例 3 3 计计算算由由曲曲线线xy22 和和直直线线4 xy所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解两曲线的交点两曲线的交点 422xyxy).4 , 8(),2, 2( 选选 为积分变量为积分变量y4, 2 ydyyydA 242.1842 dAA目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导12/17/202118如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程 )()(tytx 曲边梯

12、形的面积曲边梯形的面积.)()(21 ttdtttA （其其中中1t和和2t对对应应曲曲线线起起点点与与终终点点的的参参数数值值）在在1t,2t（或或2t,1t）上上)(tx 具具有有连连续续导导数数，)(ty 连连续续.目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导12/17/202119例例 4 4 求椭圆求椭圆12222 byax的面积的面积.解解椭圆的参数方程椭圆的参数方程 tbytaxsincos由对称性知总面积等于由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积 aydxA04 02)cos(sin4tatdbdttab 202sin

13、4.ab 目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导12/17/202120 设设由由曲曲线线)( r及及射射线线 、 围围成成一一曲曲边边扇扇形形，求求其其面面积积这这里里，)( 在在, 上上连连续续，且且0)( 曲边扇形的面积曲边扇形的面积.)(212 dA ddA2)(21 面积元素面积元素xo d )( r d 2. 极坐标系下平面图形的面积极坐标系下平面图形的面积目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导12/17/202121例例 5 5 求求双双纽纽线线 2cos22a 所所围围平平面面图图形形的

14、的面面积积.由对称性知总面积由对称性知总面积=4倍第倍第一象限部分面积一象限部分面积解解14AA daA2cos214402 xy 2cos22a 目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导202024)2(sin422cos221444aada12/17/202122 d例例 6 6 求求心心形形线线)cos1( ar所所围围平平面面图图形形的的面面积积)0( a. dadA22)cos1(21 解解利用对称性知利用对称性知 d2)cos1( 02212aA d)coscos21(2 02a 2sin41sin2232a 0.232a 目录目录后退后

15、退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导12/17/202123体积一、预备知识一、预备知识1.微元法的实质微元法的实质2.柱体体积公式柱体体积公式目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导12/17/202124xoabxdxx 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算个立体的体积也可用定积分来计算.)(xA表表示示过过点点x且且垂垂直直于于x轴轴的的截截面面面面积积，)(xA为为

16、x的已知连续函数的已知连续函数,)(dxxAdV .)( badxxAV立体体积立体体积1. 平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积二、体积二、体积目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导12/17/202125RR xyo解解 取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为222Ryx 垂垂直直于于x轴轴的的截截面面为为直直角角三三角角形形x截面面积截面面积,tan)(21)(22 xRxA 立体体积立体体积dxxRVRR tan)(2122 .tan323 R 目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点

17、与难点本节复习指导12/17/202126例例 8 8 求以半径为求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆的圆为底、平行且等于底圆半径的线段为顶、高为半径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积的正劈锥体的体积. 解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为,222Ryx xyoRx垂垂直直于于x轴轴的的截截面面为为等等腰腰三三角角形形截面面积截面面积22)(xRhyhxA 立体体积立体体积dxxRhVRR 22.212hR 目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导12/17/202127 旋转体旋转体就是由一个平面图形饶这平面内就是由一个平面图形饶这平面

18、内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台2. 2. 旋转体的体积旋转体的体积目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导12/17/202128一一般般地地，如如果果旋旋转转体体是是由由连连续续曲曲线线)(xfy 、直直线线ax 、bx 及及x轴轴所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转一一周周而而成成的的立立体体，体体积积为为多多少少？取取积积分分变变量量为为x，,bax 在在,ba上任取小区上任取小区间间,dxxx ，xdxx xyo旋转体的体积为旋转体的体积为dxxfV

19、ba2)( )(xfy 目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导12/17/202129 定积分在几何上的应用 一般地，如果旋转体是由曲线一般地，如果旋转体是由曲线 y=f(x)与直线与直线x=a,x=b及及ox轴所围成的曲边梯形，绕轴所围成的曲边梯形，绕ox旋转而旋转而成，则其体积成，则其体积 同理，由曲线与直线同理，由曲线与直线y=c,y=d及及oy轴围成的曲边梯形绕轴围成的曲边梯形绕oy轴旋转成轴旋转成的旋转体的体积为的旋转体的体积为例求曲线 绕y轴旋转而成的旋转体的体积 解（如图）由公式得：xy0badxxfV2)(dcdyyV2)()(yx

20、1222 yx38)1 (4)22(102112dyydyyV1222 yx22xy0y=f(x)abxx+dx12/17/202130 定积分在几何上的应用 例6求由曲线y=x2与y=2-x2所围成的平面图形绕ox轴和oy轴旋转所得旋转体的体积。解解 （如图）求曲线交点 （）绕x轴旋转，由公式得 （）绕y轴旋转，由公式得 xyy=x20），），（，（1111222xyxy316344)(21132112112xxdxxydxxV2121022110212102)212(21)2(yyydyydyydyxdyxVy=x2212/17/202131y例例 9 9 连接坐标原点连接坐标原点O及点及

21、点),(rhP的直线、直线的直线、直线hx 及及x轴围成一个直角三角形将它绕轴围成一个直角三角形将它绕x轴旋轴旋转构成一个底半径为转构成一个底半径为r、高为、高为h的圆锥体，计算圆的圆锥体，计算圆锥体的体积锥体的体积 r解解hPxhry 取取积积分分变变量量为为x，, 0hx 在在, 0h上任取小区间上任取小区间,dxxx ，xo直线直线 方程为方程为OP目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导12/17/202132以以dx为底的窄边梯形绕为底的窄边梯形绕x轴旋转而

22、成的薄片的轴旋转而成的薄片的体积为体积为dxxhrdV2 圆锥体的体积圆锥体的体积dxxhrVh20 hxhr03223 .32hr yrhPxo目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导12/17/202133 类似地，如果旋转体是由连续曲线类似地，如果旋转体是由连续曲线)(yx 、直线、直线cy 、dy 及及y轴所围轴所围成的曲边梯形绕成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体，轴旋转一周而成的立体，体积为体积为xyo)(yx cddyy2)( dcV目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导12/17/2021

23、34平面曲线的弧长一、预备知识一、预备知识 设曲线弧设曲线弧s为连续函数为连续函数)(xfy bxax 到从，的，的相应的一段弧的长度。相应的一段弧的长度。 xoyab dydxx xs 由第三章公式（由第三章公式（3-2）知知s的微元素的微元素222)(1)()(ydydxds 目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导12/17/2021351.1.直角坐标下平面曲线的直角坐标下平面曲线的弧长弧长xoyab dydxx xs 由第三章公式（由第三章公式（3-2）知知s的微元素的微元素222)(1)()(ydydxds 得得.12dxysba 弧长弧

24、长二、平面曲线的弧长二、平面曲线的弧长目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导12/17/202136例例 1 11 1 计计算算曲曲线线2332xy 上上相相应应于于x从从 0 到到 3 的的一一段段弧弧的的长长度度. ,21xy 解解dxxds2)(121 ,1dxx 所求弧长为所求弧长为30132x dxxs 301314 目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导12/17/202137设曲线的参数方程为设曲线的参数方程为,)()( tytx )( t其其中中)(),(tt 在在, 上上具具有有连连续

25、续导导数数.222)()(dttt 22)()(dydxds dttt)()(22 .)()(22dttts 弧长弧长2. 参数方程情形参数方程情形目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导12/17/202138例例 1 12 2 求求摆摆线线线线 解解)0()cos1()sin( atayttax一拱一拱)20( t的长度。的长度。.sin)(),cos1()(tatytatx dttatads2222sin)cos1( dttaa)cos1(2 dtta2sin42 ,20)20( tt时，当02sin t所以dttads2sin2 202sin

26、2dttas 202cos4ta8 目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导12/17/202139曲线弧为曲线弧为)( )( rr 其其中中)( 在在, 上上具具有有连连续续导导数数. sin)(cos)(ryrx)( 22)()(dydxds ,)()(22 drr 弧长弧长.)()(22 drrs 3、极坐标情形、极坐标情形12/17/202140例例 5 5 求求极极坐坐标标系系下下曲曲线线33sin ar的的长长. .)0( a解解 drrs )()(22313cos3sin32 ar,3cos3sin2 a.23a daa242623co

27、s3sin3sin 30 d23sin 30a 0()3 12/17/202141例例 6 6 求求阿阿基基米米德德螺螺线线 ar )0( a上上相相应应于于 从从0到到 2的的弧弧长长.解解, ar drrs )()(22 .)412ln(412222 a 20 daa222 20a d12 12/17/202142例例7. 求心脏线求心脏线r=a(1+cos ) 的全长。的全长。解：心脏线全长对应于解：心脏线全长对应于r=a(1+cos ), 0，2，2cos4)cos1(sin,sin22222222 aaarraradadadrrs82cos4|2cos|20202022 d12/17

28、/202143小结1. 元素法的提出、思想、步骤元素法的提出、思想、步骤.（注意微元法的本质）（注意微元法的本质）2.求在直角坐标系和极坐标系以及参数求在直角坐标系和极坐标系以及参数方程形式下平面图形的面积方程形式下平面图形的面积.（注意恰当的（注意恰当的选择积分变量选择积分变量有助于简化有助于简化积分运算）积分运算）目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导12/17/2021443.(1)平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积(2)旋转体的体积旋转体的体积绕绕 轴旋转一周轴旋转一周x 绕绕 轴旋转一周轴旋转一周y绕非轴直线旋转

29、一周绕非轴直线旋转一周目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导12/17/2021454.求弧长的公式求弧长的公式 直角坐标系下直角坐标系下参数方程情形下参数方程情形下极坐标系下（略）极坐标系下（略）目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导12/17/2021461.求由曲线求由曲线23xy 及直线及直线xy2 所围成图形所围成图形的面积。的面积。解解两曲线的交点为两曲线的交点为),2 , 1(),6, 3( x以为积分为积分变量，积分区间为变量，积分区间为-3，1。面积面积 的微元素的微元素dxxxdA2

30、)3(2 dxxxA)23(132 132333 xxx332 练习题目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导12/17/202147xyo 14yxy交点交点),1 , 4(立体体积立体体积dyxVy 12dyy 1216 116y.16 1 y2.求曲线求曲线4 xy，1 y，0 x所围成的所围成的图形绕图形绕y轴旋转构成旋转体的体积轴旋转构成旋转体的体积. 解解目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导12/17/202148习题5-5面积。）的切线所围成图形的，和点（及其在点求抛物线面积。轴所围成图形的一拱与求摆线图形面积：求下列平面曲线所围成的03)3, 0(34. 3)20)(cos1(),sin(. 22, 0,cos,sin)5(2,)4(,)3(2,1)2(1,)1(. 12232 xxyxttayttaxxxxyxyxyxyxyxyxyxxyxyyxy目录目录后退后退主主页页退退出出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导12/17/202149轴。绕）椭圆（轴绕及）（的体积。旋转体形绕指定轴旋转所得的求下列曲线所围成的图的矩形的立体的体积。轴的所有截面均是高为垂直所围成的图形为底，而及求以抛物线三角形的立体的体积。径的所有截面