【精品】浅谈微积分中值定理

1、论文提要在微分屮值定理的一般证法的基础上,给出了新的证明方法，同时具体的分析微分屮值 定理在函数在某一点的局部性质：函数图象的走向；曲线凹口性的判断；积分屮值定理；等 式及不等式证明等问题。浅谈微分中值定理柴洪雪摘 要：本文讨论了三大微分中值定理之间的递进关系，并对中值定理进行了一定地推 广，同时具体的分析了微分中值定理在证明等式、不等式以及讨论方程根的存在性等问题加 以讨论、比较、总结。关键词：微分中值定理 新证法 罗尔定理推广1微分中值定理及相关概念所谓微分中值定理,其实是指一个（或多个）函数导数与其增量z间的等式关系.通俗的 讲,微分中值定理就是包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、以及柯西小

2、值定理等基本定理在 内的定理的总称.以下是证明微分中值定理时用到的儿个概念.定义1 （凸性）若函数|线位于其每一点处切线的上方（下方），则称函数1111线时下凸（上 凸）的，或称函数向下凸（上凸）.定义2 （凹性）若y = f（x）的一阶导数广 在（q"）上单调递增（或递减），则称 /在仏切是向上凹（卜凹）的,或称函数illi线向上凹（卜凹）.定义3俩数单调性）函数/在定义域内，当"兀2时，有/（,）/u2） （/（%!） /（x2）则称/（%）单调递增（严格单调递增）当壬v兀2时，有（/（州）/（兀2），则称/（天）单调递减（严格单调递减）.定义4 （极限的局部保号性）若

3、lim/（x）limg（x）,则存在a0,任意xe（x0-a,xf0兀（）+），使得/g（x）定义5 （最小值或最大值）设/（兀）在八上有定义，若存在xoe/使任意xe/,/（xo） /（x） （ f（xo） /（%）,则/（兀0）称为于（兀）的最小值（最大值）.兀0为最小值点（最 大值点）.定义6 （极小值或极人值）设/（兀）在任意%ez±有定义若存在x0e/,a0,任意 xg （兀（）一，兀（）+ a）,都有/（x） /（x0） （/（%） /（“），则/（兀0）称为/0）的一个极 小值（极大值），x（）称为极小值点（极大值点）.2微分中值定理普遍的证明法微分中值定理是微分学的基

4、本定理，是构成微分学基础理论的重要内容。它包括罗尔中 值定理、拉格朗f1中值定理、柯西中值定理。其中拉格朗f1中值定理是罗尔中值定理的推广, 柯西中值定理是拉格朗h中值定理的推广。2. 1费马定理定理1设/(%)在区间k有定义若x0是函数/(%)的极值点，且/(兀)在x0处可导， 则/'(x)=0.费马定理的几何意义:若将函数.f(x)的曲线置于平面肓角坐标系xoy,则费马定理具 有几何意义:对曲线)=/(x)上若有一点(兀0，/(兀。)存在切线，且勺为/(x)极值点.则这一点处的切线平行于兀轴.证明兀0为/w的极值点设兀0为极小值点,则存在 > 0,任意xg(x0-, x0 4

5、- a),/(x)-/(xo)、0x-xq取极限lim /'(兀。)少jim '(兀)兀观)分别为丁、s,由于/(%)在x0处可导, >坊 xxoxfvj 兀一 x()则“s = lim公上沁f0x-xo山极限的局部保号性有t>(), 5<0.故t = s=().所以有 lin/一/久)=0, xt% x-xq即广(xo) = o.2.2罗尔中值定理定理2设/满足： 在闭区间肚叶上连续；(2)在开区间(d,b)内可导； f(a) = /(/?),则至少存在一点g e (a,b)使得/w = 0-罗尔定理的儿何意义:若/(兀)满足罗尔定理的条件，则在曲线y =

6、f(x)上至少存在一 点ph，使得点p处的切线平行于兀轴(如图)，其小a(d,.f(d), b(b,f(b)p证明由于在闭区间上连续，从而存在最大值m ,最小值加.若m =加则对任意xea,b有/(x) = m = m , up f (x)为常函数，所以广(x)=0.若m>m , ill于f(a) = f(b) . m与加不同时为区间的端点，不妨设 m h /(a) = f(b)，所以m必为/(x)的极大值.设/=m，则有g g (a,b)，且/(x) 在(a,b)内可导，根据费马定理可知广) = 0.证毕.2.3拉格朗日中值定理定理3若函数/(力满足：(1)在闭区间d,b上连续；(2)

7、在开区间(d,b)内可导;则至少存在一点使得/w=z(z(£)b-a证法利用罗尔中值定理，构造辅助函数.fm = /(x) -f(a) +(x-6/).b-a2.4柯西中值定理定理4设函数/(%)> g(x)满足： 在闭区间a,叶上连续；(2)在开区间(。上)内可 导，且g©)h0,则至少存在一点使广©二/(b)-/(a)g'(§)g(b)-g(a)3中值定理的推广3.1拉格朗日中值定理的新证法证明拉格朗日中值定理的-种新方法，即从罗尔定理出发，采用复合函数求导法则证明拉格朗日中值定理，证明过程更加清晰易懂。证明(利用分析法证明拉格朗日屮值

8、定理)要证存在§w(a,b)使得心处严1b-a成立,即证，存在使得成立亦即f)_/(b)/«)=()h-ab-af(x) = f(x)-b-a则山f(x)满足罗尔定理的条件知，存在g w (d,b)使得成立，进而成立.从而拉格朗 fi中值定理成立.3. 2柯西中值定理的新证法柯西屮值定理的传统证法是作辅助函数，然后应用罗马定理从而得证。本文主要采用区 间套原理给出一个新证法，这样就使得罗尔定理和拉格sjjh'i'值定理成为它的直接推论。证明首先构造辅助函数x = g(x)ly = f(xy由于g©)ho,故可知g'(x)恒大于零或者恒小于零

9、.否则，由费马定理可知,必存在gw (d,b)使得g '=0 我们不妨设gr(x)恒人于零.于是，对于任意xgw x“,其屮x(.=g(c), c w(q,b).又由复合函数连续性定理即含参变量函数定理可证得y = f(x) = f(gx) 在闭区间x(l9xh±连续;在开区间(x“,xj内可导，且dy dy(x)dfg_ dxdxx=xf dx(x)"g's)dx故即是要证明dydx屮(x) = /(gt(x)_/仗(x?)一/仗(x“)x,因此可构造辅助函数:xb-xa可以验证屮(x)满足罗尔定理的条件，故至少存在一个x, exa,xj,使得dyxbx.

10、dx成立再由dydxdy(x)x=x?广(兀)知，至少存在使得广二/(b)-/(q) g'(歹)g)-g(q)成立，柯西中值定理得证.3. 3罗尔定理的新证法罗尔定理很简便的方法仅依赖于大家熟知的hoine-bord有限覆盖定理，山此可见罗尔 微分中值定理可以是实数完备性的直接推论。引理1非单调函数/(x)在卜小上连续，在()内可导，则存在一点§ e (a,b)，使得 广 ) = 0.证明因为/(兀)在d,b上连续，且非单调,故存在歹丘*)为函数/(x)的极值点.又 /(兀)在(a,b)内可导，故在f点可导，由费马定理可知广) = 0罗尔定理的新证法证明因为 a<b,r

11、f(b) = f (a).(1) 若f(x) = f(b) = f(a)为常数，则必有广(兀)=0,所以，存在ggb),使得 广£) = 0；(2) 若f(x)不是常数，则/(%)非单调，又有/(x)4 屈 上连续在(a上)内可导，根 据引理1,存在§w(a,b),使得广) = 0.证毕.4微分中值定理的推广微分中俏定理是微分学的核心内容，而随着其不断地发展和完善,衍生了许多微分中值 定理的推广.以下是儿种微分中值定理的推广形式.4.1拉格朗日中值定理的推广定理5(推广一)设于(兀),g(兀),力(兀)在肚方上连续,在(d,b)内可导，则存在 gw(a,b)使得/(q)g(

12、o)h(a)f(b)g(b)h(b)广©g)证明作辅助函数/(d)g(o)h(a)f(b)g(b)h(b)fmg(x)h(x)很明显h(q在d,b连续，在(o,b)内可导，且h(a) = h(h) = 0，则根据罗尔定理冇，存在 § e (a9b)使得= 0,命题得证.4. 2柯西定理的推广定理6 (推广一)f (x),g(x)在d,b连续，在(a,b)内可导，任意x e (a,b),有 g'(x)ho.则存在§ w(a,b)使得广二/-/)gw " g(b)-g©'证明作一个辅助函数f(x) = f(x) -/g) 一 g(x

13、),则f(对在d,b连续，在(a,b)内可导，且f= f(a)-f(a)lg(b)-g(a) = of f(b) = f(b)-f(a)fg(b)-g(b) = 0 所以fd)在(d#)上满足罗尔定理,即存在§ w (ci,b)使得因为 fx) = ff(x)g(b)-g(x)-gf(x)f(x)-f(a),所以，f© =0 = fwg(b) - g©- g)/© -f(a),即得广©二/© /(q) g'(g 一 g(h定理7 (推广二)若f(x),g(x)在有限或无穷区间ce)中的任意一点有有限导数 广(兀)和 g'

14、;cx),任意 xe(a,b)f go)h0, /(q + 0), g(d + o), f(b-o), g(b-o)都 存在，则至少存在一点& e (小使得广©二/(0)-心+ 0)g) g(b-0)-g(d + 0)，证明 首先证明g(b-0) g(d + 0)h0假设g(b -0)- g(d + 0) = 0即g(b-0) = g(a + 0),根据定理5可知,至少存在一点 歹e (a,b)使得g乜)=0.与已知条件相互矛盾.其次，作辅助函数f。) 一阻細由已知得/(力在(a,b)可导且f(d + 0) = /(d + 0)-/ + 0)-+°) = 0,g(b

15、-0)-g(b + a)g(b-0)-g(a + 0)所以，f(d + 0) = f(h-o).根据定理5可知,至少存在一点§ g (a,b)使得f'© = 0即广©二/-()-心 + 0)g) g(b-o)-g(d + o)4. 3罗尔定理的推广定理8设/(兀)在(a,/?)内可导，且lim /(x) = lim f(x) = af其屮w+co,则存在x->ax->bdm 使得 /w=o.证明由于/(兀)在3,b)内可导，则必冇/(x)在(d,b)上连续,又冇lim f(x) = lim /(x) = a.xtd+x->b(1) 当|a

16、| v 时，对/(x)在a,b两点进行连续延拓，使得f(a) = /(/?) = 4，则有 /(%)在。上上连续，在(d,b)内可导且有 m = /(/?) = 4 ,所以，满足罗尔定理的条件, 存在兵丽)使得广© = 0(2) 当a = +oo 时，由于 lim /(x) = lim f(x) = a ,故存在 xpx2 g(a,bx v,使 得/(%!)=/(x2),所以/0)在西宀上连续，在(西宀)内可导，满足罗尔定理，即存在使得 m=o.综上所述，存在歹e (d,b)使得广(歹)=0.5微分中值定理的应用微分学是整个数学分析的重要组成部分，而微分中值定理是微分学的核心内容,其

17、建立 了两数值与导数z间的关系，是用于证明等式，证明不等式，讨论方程根的存在性等问题的重 要工具.5. 1讨论方程根的存在性注意到在中值定理中冇广(§) = 0,令广(兀)=g(x),这样就可以利用屮值定理讨论方 程g(x) = 0的根的存在性.例1设函数/在区间k上可导，则.f(x)的两个零点间一定存在f(x) + f(x)的 零点.证明 保用罗尔定理)任取/的两个零点西宀不妨设州 <兀2 作辅助两数f(x) = f(x)exf则f(x)在x15x2±连续，在xl <x2内可导,且f(x1) = f(x2) = 0 ,由罗尔定理，存在 兵也),使得= 即/(加

18、+广宀0,而历h 0,故有/*($) +广忆)=0,即f(x)的两个零点间一定存在/(%) +广的零点.例2证明：若。()+鱼+ +厶=0,2n + 则多项式/(x) = ax + ax1 -anxn+在(0,1)内至少有一 个实根.证明令g (兀)=a)x + -x2 h1xn+i272 + 1则g'(x) = .f(x), 又有g(x)在0,1连续町导，且g(0) = g(l) = 0,满足罗尔定理的条件，故存在g g(0,1)使 得伯=0即佗)=0,结论得证.例3若函数于 在a,b.h非负，且三阶可导，方程/(%)= 0在()内有两个不同的 实根.证明存在£ w(q,b

19、)使得厂) = 0.证明因为方程/(x) = 0在仏方)内有两个不同的实根，设其分別为兀"2(坷 <花)所以 /(%,) = f(x2) = 0 ,又由于/(x)非负,根据极值定义可以知道坷,兀2为/(x)的两个极值点, 所以有/(x1) = /，(x2) = 0又因为于满足罗尔定理，所以存在ga,b)使得 广伙i) = 0,又于 三阶可导,所以广(x)满足罗尔定理，即存在k2 w (州& j,心w仏,兀2) 使得叫)=厂伙3)= 0,同样厂满足罗尔定理，则存在§ g (他人)(=(%)使得厂) = 0.证毕.5. 2利用微分中值定理证明不等式利用拉格朗fi中

20、值定理或柯西中值定理证明不等式时，常将待证不等式变形为bag(b)_g(a)的形式，且/(x)(或/'(x),g(x)满足拉格朗i i或柯西定理的条件，再证明对一切的x g仏方) 有m <fxx)<n(或m <-<7v),g©)最示利用屮值定理证明.例4证明对任何正数d、b(a < b)有b-a . a b-a<ln <b b a证明令/(x) = lnx, xea,b,则/(兀)在a9b±连续，在(a,b)内可导，根据拉格朗 fl中值定理，存在使得nb-na =丄(b-a),由于所以丄v丄v丄，即有b g ab-a 、 a

21、 b-a<ln<b b a例5设/(兀)为非线性函数，且在a,b上连续，在(a,b)内可导，则存在gw(a,b)使得证明变换待证不等式为dg其中 f(x) = (b-a) f(x) - xf(b) - f(a),若结论不成立，则 fx) < 0(a <x</?),因而 f(兀)单调递减.但是f = (b-a)f(a) - af(b) - f(a)= f(b),故,必有f(x)三f(a),从而与已知矛盾,所以结论成立即 (b-a)fw>f(b)-f(a) 成立.例6设函数/ (兀)在a,b上连续，在(a,b)内可导f (a) = f (b) = 0 <

22、ff(a),则存在 §w(a,b),使得厂©vo.证明若不存在歹，则厂©no,从而广(兀)单调递增，又由于广(兀)满足罗尔定理, 则存在兀0丘(。力)使得广(xo) = o,又冇广(。)0所以，广非单调递增.上下矛盾因 而，存在e (a,b)使得 /"(g) <0.5. 3利用微分中值定理证明等式例7设函数/(兀)在d,b上连续，在仏/?)内町导.证明存在g g (d,b)使得b/'(b)-/'(d) =旷 in ,0 <aa证明利用柯西中值定理令g(x) = lnx,兀>0,显然，g(x)在卜上上连续，在上) 内可导，且gfm =丄工0,所以，存在g w仏耳使得g©g(b)-g(a) lnb 'a所以a证毕