三角函数、解三角形质量检测试题

1、金太阳新课标资源网第 1 页 共 10 页金太阳新课标资源网第三章三角函数、解三角形(自我评估、考场亮剑，收获成功后进入下一章学习！) (时间 120 分钟，满分150分 ) 一、选择题 (本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1cos(174)sin(174)的值是() a.2b2 c 0 d.22解析： 原式 cos( 4 4)sin( 4 4) cos( 4) sin(4) cos4sin42. 答案： a 2已知 sin 2m 5m 1， cos mm 1，且 为第二象限角，则m 的允许值为 () a.52m 6 b 6m5

2、2cm 4 dm4 或 m32解析： 由 sin2 cos2 1 得， (2m5m 1)2 (mm 1)2 1，m 4 或32，又 sin 0， cos 0，把 m 的值代入检验得，m 4. 答案： c 3 已知 sin(x4)35， 则 sin2x 的值等于() a725b.725c1825d.1825解析： sin(x4)22(sinx cos x)35，所以 sinx cosx325，金太阳新课标资源网第 2 页 共 10 页金太阳新课标资源网所以 (sinx cosx)2 1 sin2x1825，故 sin2x725. 答案： a 4设 asin15 cos15，b sin17 cos

3、17 ，则下列各式中正确的是() a aa2 b22 bb a ba2 b22c ba2 b22 ad b aa2 b22解析： a2sin(15 45 )2sin60 ，b2sin(17 45 )2sin62 ， b a. a2b22 sin260 sin262 2sin60 sin62 3sin62 ，a2 b22 b a. 答案： b 5 (2010 惠州模拟 )将函数y sinx 的图象向左平移 (0 2 )个单位后，得到函数y sin(x6)的图象，则 等于() a.6b.116c.76d.56解析： 依题意得ysin(x6) sin(x6 2 )sin(x116)，将 ysinx

4、的图象向左平移116个单位后得到y sin(x116)的图象，即ysin(x6)的图象答案： b 6在 abc 中，角 a，b均为锐角， 且 cos asinb，则 abc 的形状是() a直角三角形b锐角三角形c钝角三角形d等腰三角形解析： cosa sin(2 a) sinb，2 a， b 都是锐角，则2 a b， a b2，c2. 答案： c 7(理)给定性质：最小正周期为 ；图象关于直线x3对称则下列四个函数中，同时具有性质的是() a y sin(x26) by sin(2x6) c y sin|x| d ysin(2x6) 解析： t2 ， 2.对于选项d，又 2362，所以 x3

5、为对称轴金太阳新课标资源网第 3 页 共 10 页金太阳新课标资源网答案： d 8 (文)如果等腰三角形的周长是底边长的5 倍，那么它的顶角的余弦值为() a.518b.34c.32d.78解析： 设等腰三角形的底边为a，顶角为 ，则腰长为2a. 由余弦定理得cos 4a2 4a2 a28a278. 答案： d (理) abc 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为() a.922b.924c.928d 9 2 解析： 由余弦定理得：三角形第三边长为22 32 2 2 313 3，且第三边所对角的正弦值为211()3223，所以 2r32 23? r9 28. 答案：

6、c 9 在 abc 中， 角 a， b 所对的边长为a， b， 则“ a b”是“ acosabcosb”的() a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分又不必要条件解析： a b? a b? acosa bcosb，条件是充分的；acosa bcos b? sinacosasinbcosb? sin2a sin2b? 2a 2b 或 2a 2b ，即 a b 或 a b2，故条件是不必要的答案： a 10已知函数f(x) asin2xcos2x(a r)图象的一条对称轴方程为x12，则 a 的值为() a.12b.3 c.33d2 解析： 函数 y sinx 的对称轴方程为x k

7、 2， kz， f(x)a21sin(2x )，其中 tan 1a，故函数f(x) 的对称轴方程为2x k 2， k z，而 x12是其一条金太阳新课标资源网第 4 页 共 10 页金太阳新课标资源网对称轴方程，所以212 k 2， k z，解得 k 3， k z，故 tan 1atan(k3)3，所以 a33. 答案： c 11已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为() a f(x) 2cos(x23) b f(x)2cos(4x4) c f(x) 2sin(x26) d f(x) 2sin(4x4) 解析： 设函数 f(x) asin(x )，由函数的最大值为2 知

8、a 2，又由函数图象知该函数的周期t 4(5323) 4 ，所以 12，将点 (0,1)代入得 6，所以f(x) 2sin(12x6)2cos(12x3)答案： a 12 (2010 抚顺模拟 )当 0 x2时，函数f(x)1cos2x 8sin2xsin2x的最小值为() a 2 b 2 3 c 4 d 4 3 解析： f(x)1 cos2 x 8sin2xsin2x2cos2x 8sin2x2sinxcos xcosxsinx4sinxcos x2 cos xsinx4sinxcos x 4，当且仅当cosxsinx4sinxcos x，即 tanx12时，取 “” ， 0 x2，存在 x

9、 使 tanx12，这时 f(x)min 4. 答案： c 二、填空题 (本大题共4 小题，每小题4 分，共 16 分，将答案填写在题中的横线上) 13在 abc 中，角a， b， c 的对边分别为a， b， c，已知 b 60 ， c 75 ， a 4，则 b _. 解析： 易知 a 45 ，由正弦定理asinabsinb得4sin45 bsin60 ，解得b 2 6. 答案： 2 6 金太阳新课标资源网第 5 页 共 10 页金太阳新课标资源网14计算：cos10 3sin10 1 cos80 _. 解析：cos10 3sin10 1 cos802cos(10 60 )2sin2402co

10、s502sin40 2. 答案：215在 abc 中，已知tana 3tanb，则 tan(a b)的最大值为 _，此时角a的大小为 _解析： 由于 tan(a b)tana tanb1tanatanb3tanb tanb1 3tanbtanb2tan b1 3tan2b33.当且仅当13tanb 时取 “”号，则 tanb33? tana3? a 60 . 答案：336016如图是函数f(x) asin(x )(a 0， 0， )， x r 的部分图象，则下列命题中，正确命题的序号为_函数 f(x)的最小正周期为2；函数 f(x)的振幅为2 3；函数 f(x)的一条对称轴方程为x712；函数

11、 f(x)的单调递增区间为12，712；函数的解析式为f(x)3sin(2x23)解析： 由图象可知，函数f(x)的最小正周期为(563) 2 ，故 不正确；函数f(x)的振幅为3，故不正确； 函数 f(x)的一条对称轴方程为x5632712，故 正确； 不全面，函数f(x)的单调递增区间应为122k ，712 2k ，k z；由3sin(2712 )3得2712 2 2k ， k z，即 2k 23， kz， ，故 k 取 0，从而 23，故 f(x)3sin(2x23)答案： 三、解答题 (本大题共6 小题，共74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17 (本小题满分12 分 )

12、已知 tan( 4) 3， (0，2)金太阳新课标资源网第 6 页 共 10 页金太阳新课标资源网(1)求 tan的值；(2)求 sin(2 3)的值解： (1)由 tan( 4) 3 可得tan 11 tan 3. 解得 tan 2. (2)由 tan 2， (0，2)，可得 sin 255，cos 55.因此 sin2 2sin cos 45，cos2 1 2sin2 35， sin(2 3) sin2 cos3 cos2 sin3451235324 3 310. 18 (文)(本小题满分12 分)已知 sin( )45， (0，2)(1)求 sin2 cos22的值；(2)求函数f(x)

13、56cos sin2x12cos2 x 的单调递增区间解： sin( )45，sin 45. 又 (0，2)， cos 35. (1)sin2 cos22 2sin cos 1 cos 2 245351352425. (2)f(x)5635sin2x12cos2 x22sin(2x4)令 2k 2 2x4 2k 2， k z，得 k 8 x k 38 ， k z. 函数 f(x)的单调递增区间为k 8， k 38 ， k z. (理)(本小题满分12 分 )已知函数f(x) 2sinxcosx3(2cos2x 1)金太阳新课标资源网第 7 页 共 10 页金太阳新课标资源网(1)将函数f(x)

14、化为asin(x )( 0， | |2)的形式，填写下表，并画出函数f(x)在区间 16 ，56 上的图象；x x 02322f(x)(2)求函数f(x)的单调减区间解： (1)f(x) 2sinxcos x3(2cos2x 1) sin2x3cos2x 2sin(2x3). x 612371256x 02322f(x)020 20 图(2)由 2k 2 2x3 2k 32(k z)得k 12 x k 712(k z)，金太阳新课标资源网第 8 页 共 10 页金太阳新课标资源网故函数 f(x)的单调减区间为k 12， k 712( k z)19 (本小题满分12分 )已知函数 f(x) 2s

15、inxcos(2 x)3sin( x)cosxsin(2 x)cosx. (1)求函数y f(x)的最小正周期和最值；(2)指出 y f(x)图象经过怎样的平移变换后得到的图象关于原点对称解： (1)f(x) 2sin2x3sinxcosx cos2x 1sin2x3sinxcosx 11 cos2 x232sin2x sin(2x6)32，y f(x)最小正周期t . y f(x)的最大值为32 152，最小值为32 112. (2) y32 sin(2x6)的图象1232左 移个 单 位下 移个 单 位y sin2x 的图象20(本小题满分12 分)在 abc 中，角 a，b，c 的对边分

16、别为a，b，c，cosa c233. (1)求 cos b 的值；(2)若 bcba bc 2， b 2 2，求 a和 c 的值解： (1) cosa c233， sinb2 sin(2a c2)33， cosb 1 2sin2b213. (2)由ba bc 2 可得 a c cosb 2，又 cosb13，故 ac 6，由 b2 a2 c2 2accosb 可得 a2 c2 12， (a c)2 0，故 a c，a c6. 21 (本小题满分12 分 )如图所示，甲船由a 岛出发向北偏东45 的方向做匀速直线航行，速度为15 2海里 /小时，在甲船从 a 岛出发的同时，乙船从a 岛正南 40

17、 海里处的b 岛出发，朝北偏东 (tan 12)的方向作匀速直线航行，速度金太阳新课标资源网第 9 页 共 10 页金太阳新课标资源网为 10 5海里 /小时(1)求出发后3 小时两船相距多少海里？(2)求两船出发后多长时间距离最近？最近距离为多少海里？解： 以 a 为原点， ba 所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系设在 t 时刻甲、乙两船分别在p(x1， y1)， q(x2， y2)则x1 15 2tcos45 15ty1 x1 15t，由 tan 12可得， cos 255，sin 55，故x2 10 5tsin 10t，y2 10 5tcos 40 20t 40.(1)令 t 3

18、，p、q 两点的坐标分别为(45,45)，(30,20)，|pq|(45 30)2 (45 20)2850 5 34. 即出发后3 小时两船相距5 34海里(2)由 (1)的解法过程易知：|pq|(x2 x1)2 (y2 y1)2(10t 15t)2 (20t 40 15t)250t2 400t 1 600 50(t 4)2 800 20 2，当且仅当t4 时， |pq|取得最小值20 2. 即两船出发后4小时时，相距20 2海里为两船的最近距离22 (文)(本小题满分14 分)已知函数f(x)sin2x 2 3sin(x4)cos(x4) cos2x3. (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；(2)求函数f(x)在 12，2536 上的最大值和最小值，并指出此时相应的x 的值(理)(本小题满分14 分 )已知函数f(x) 2cos xsin(x3)32. (1)求函数f(x)的最小正周期t；(2)若 abc 的三边a， b ，c满足 b2 ac，且边 b所对角为b，试求 cos b 的取值范围，并确定此时f(b)的最大值金太阳新课标资源网第 10 页 共 10