有限元与数值方法-讲稿5-2 有限元的基本概念

1、1有限元与数值方法有限元与数值方法第五讲第五讲有限元法的一般原理与基本格式有限元法的一般原理与基本格式- 有限元的基本概念有限元的基本概念授课教师：刘书田授课教师：刘书田Tel：84706149； Email：教室：综合教学楼教室：综合教学楼 351 时间：时间：2013年年4月月12日：日：8：0010：202弹性力学问题的有限元法弹性力学问题的有限元法有限元法的基本思想有限元法的基本思想杆系结构的直接刚度法杆系结构的直接刚度法静定桁架的内力可以通过节点的平衡方静定桁架的内力可以通过节点的平衡方程求得，由内力和杆件断面积可求得杆程求得，由内力和杆件断面积可求得杆件应力、应变，再求得节点位移件

2、应力、应变，再求得节点位移PP静不定桁架的内力无法简单通过节点平衡方程静不定桁架的内力无法简单通过节点平衡方程求得，需要采用力法或位移法求得。求得，需要采用力法或位移法求得。采用位移法求解时，假定每个节点的位移为未采用位移法求解时，假定每个节点的位移为未知量，然而可以将杆件伸长、杆件应变、杆件知量，然而可以将杆件伸长、杆件应变、杆件应力，杆件内力用节点位移表示，根据节点的应力，杆件内力用节点位移表示，根据节点的平衡要求可以得到节点位移满足的平衡方程。平衡要求可以得到节点位移满足的平衡方程。3有限元法的基本思想有限元法的基本思想杆系结构的直接刚度法杆系结构的直接刚度法静不定桁架的内力无法简单通过

3、节点平衡方程静不定桁架的内力无法简单通过节点平衡方程求得，需要采用力法或位移法求得。求得，需要采用力法或位移法求得。采用位移法求解时，假定每个节点的位移为未采用位移法求解时，假定每个节点的位移为未知量，然而可以将杆件伸长、杆件应变、杆件知量，然而可以将杆件伸长、杆件应变、杆件应力直至杆件内力用节点位移表示，根据节点应力直至杆件内力用节点位移表示，根据节点的平衡要求可以得到节点位移满足的平衡方程。的平衡要求可以得到节点位移满足的平衡方程。由节点的平衡方程就可求得节点位移；由节点的平衡方程就可求得节点位移；这一平衡方程的系数矩阵就是结构刚度矩阵；结构刚度矩阵是由每个杆件的这一平衡方程的系数矩阵就是

4、结构刚度矩阵；结构刚度矩阵是由每个杆件的单元刚度矩阵适当地组装得到。单元刚度矩阵适当地组装得到。2211221122222222cos ,sin , xxyyxxyyFuccsccsFucsscssEFFuLccsccsFucsscsscsFkUk或称为单元刚度矩阵F2x,u2xF2y,u2yF1x,u1xF1y,u1y12P4杆系有限元方法杆系有限元方法o 以桁架结构为例，介绍有限元的基本思想5杆单元的有限元分析杆单元的有限元分析一维线性杆单元一维线性杆单元基本假定：基本假定：1. 只能承受拉压内力（各杆两端的约束条只能承受拉压内力（各杆两端的约束条件使得弯曲、扭转、剪切不能传递）件使得弯曲

5、、扭转、剪切不能传递）2. 轴线为直线轴线为直线3. 材料满足胡克定律材料满足胡克定律自由转动自由转动121F2F21FF6位移插值位移插值)(xu)(2Luu )0(1uu 建立轴线方向的坐标系建立轴线方向的坐标系记任一点轴向位移为记任一点轴向位移为并将节点位移表示为并将节点位移表示为2211)()()(uxNuxNxu建立杆件位移与节点位移的插值关系建立杆件位移与节点位移的插值关系其中，形函数必须满足其中，形函数必须满足1)(, 0)0(, 0)(, 1)0(2211LNNLNN1N1122N1217xaaxN101)(xbbxN102)(可简单地将形函数取为一次多项式的形式：可简单地将形

6、函数取为一次多项式的形式：10a00b)/1(1LaLxb/11)0(1N0)0(2N0)(1LN1)(2LN考虑到边界条件，考虑到边界条件，可得到可得到LxxN/1)(1LxxN/)(2因此因此位移插值位移插值8位移及应变位移及应变21)/()/1 ()(uLxuLxxu1122( )( )( )uu xNxNxduN小位移假设下，应变为小位移假设下，应变为位移模式为位移模式为121122( )( )xdudddxdxuuuddNxNxudxdxLN1 1,xdBL L B1122( ),( );uNxNxduN9单元刚度阵单元刚度阵LuuEExx12利用胡克定律，得到杆件应力和内力分别为利

7、用胡克定律，得到杆件应力和内力分别为)(12uuLAEAPx则节点力为则节点力为)(121uuLAEF)(122uuLAEF11221111uFAEuFLr其矩阵形式表示为其矩阵形式表示为1111eLAEK 单元刚度矩阵单元刚度矩阵,xdE ESLL SS 应力矩阵应力矩阵1F2F10XYxy X Y x yi 坐标变换矩阵坐标变换矩阵设设OXY为结构坐标，为结构坐标，oxy为单元坐标。为单元坐标。 为任意单元为任意单元 i 端的任一矢量。它在端的任一矢量。它在结构坐标系中的分量为结构坐标系中的分量为 X、 Y；在单；在单元坐标系中的分量为元坐标系中的分量为 x、 y。 X、 Y 在单元坐标在

8、单元坐标x轴上投影的代数和给出轴上投影的代数和给出 x 。同理，。同理， X、 Y 在单元坐标在单元坐标 y 轴上轴上投影的代数和给出投影的代数和给出 y cossin)cossin()(sincos)sincos()(2121221211YXYXyYXYXxeeeeeeeeee11即即jjiivuvu,jjiiejjiivuvuvuvucossin00sincos0000cossin00sincos坐标变换矩阵坐标变换矩阵YXyxcossinsincos令令 表示两个端点的位移矢量在单元局部坐表示两个端点的位移矢量在单元局部坐标系的分量，标系的分量， 表示两个端点的位移矢量在全局坐表示两个端

9、点的位移矢量在全局坐标系的分量，则标系的分量，则jjiivuvu,12上式可写成上式可写成eeRdd 坐标变换矩阵坐标变换矩阵R的具体内容为：的具体内容为：用节点坐标描述方向余弦：用节点坐标描述方向余弦：cossin00sincos0000cossin00sincosRLYYLXXijijsin,cos坐标变换矩阵坐标变换矩阵（Xi，Yi）和和（Xj，Yj）分别为节点分别为节点 i 和节和节点点 j 在全局坐标系中的坐标值在全局坐标系中的坐标值13平面内任意方向的杆单元平面内任意方向的杆单元dTd111222cossin0000cossinuuvuuv xyx122u12uu d1uxyx12

10、2v1122uvuvd2u2v2u记为记为TrT r而节点力列阵满足而节点力列阵满足 (或或 ) rTre K dr由单元局部坐标系下的关系由单元局部坐标系下的关系可得到可得到eTT K Tdr或写成或写成eK drTKTKeeT其中其中1111221222,(,;,)FFFFFF rr141. 整体节点位移整体节点位移11( ,)nnu vu vd 单元节点位移：单元节点位移：总体控制方程：总体控制方程：单元集成分析单元集成分析expexp;eedT ddTd扩充矩阵扩充矩阵expT2. 整体节点力整体节点力111212(,)nnFFFFFexpeeFTFeexpeexpexpexpeexp

11、();eeeeeeK dFTKT dTFFKdFKTK T15边界条件边界条件全局平衡方程全局平衡方程654321654321666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211FFFFFFUUUUUUkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk如不考虑约束条件，如不考虑约束条件，总刚度阵是奇异的总刚度阵是奇异的04321UUUU零位移约束条件零位移约束条件16边界条件处理边界条件处理6543216566656463626156555453525146454443424136

12、35343332312625242322211615141312110000FFFFFFUUkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk零位移约束条件代人平衡方程，得到零位移约束条件代人平衡方程，得到约束反力约束反力外载荷外载荷未知位移未知位移17对于一般的指定位移约束，可将方程分块为对于一般的指定位移约束，可将方程分块为acacaaaccaccFFUUKKKK其中，其中， 是指定位移，是指定位移， 是主动位移是主动位移cU654321654321666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221

13、161514131211FFFFFFUUUUUUkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk边界条件边界条件即即aU18在单元局部坐标系中的单元节点位移分量为在单元局部坐标系中的单元节点位移分量为sincossincos)(4)(3)(2)(2)(1)(1eeeeeeUUuUUu根据位移插值关系根据位移插值关系2211)()()(uxNuxNxu单元应变和应力单元应变和应力可给出单元轴向应变为可给出单元轴向应变为)()(1)(2)(2)(1)()()(2)(121)()()(11)()(ddd)(deeeeeeeeeeeeLuuuuLLuuxNxNxxxu )()(

14、eeE由胡克定律可进一步给出单元轴向应力为由胡克定律可进一步给出单元轴向应力为19)(4)(3)(2)(1)(4)(3)(2)(1)(2)(1sincos0000sincoseeeeeeeeeeUUUUUUUUuuT单元应变和应力单元应变和应力而由而由)(4)(3)(2)(121)()()()()(ddd)(deeeeeeeUUUUxNxNxxxuT)(4)(3)(2)(121)()()()()()(ddd)(deeeeeeeeUUUUxNxNxExxuEET可得到由总体坐标系位移分量表示的单元应变和单元应力可得到由总体坐标系位移分量表示的单元应变和单元应力2021有限元法有限元法(FEM)是

15、求解是求解偏微分方程边值问题偏微分方程边值问题近似解的数值方法近似解的数值方法uuv边值问题边值问题未知量未知量是由控制方程（椭圆、双曲、抛物型）描述的场变量是由控制方程（椭圆、双曲、抛物型）描述的场变量（如位移、温度、流体速度等）（如位移、温度、流体速度等）边界条件边界条件是给定的是给定的场变量值场变量值或者其或者其偏导数偏导数有限元法的基本概念有限元法的基本概念22有限元法的基本概念有限元法的基本概念o 有限元分析的基本思想是将求解域场分成小的子区域，有限元分析的基本思想是将求解域场分成小的子区域，通常称为通常称为“单元单元”或或“有限元有限元”。 对每一单元假定一个对每一单元假定一个分片

16、近似解，然后推导求解这个域总的满足条件分片近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构如结构的平衡条件），从而得到问题的解。的平衡条件），从而得到问题的解。o 有限元法方程的系数矩阵通常是有限元法方程的系数矩阵通常是稀疏稀疏的，便于求解。的，便于求解。o 有限元法不仅计算精度高，而且能适应有限元法不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，各种复杂形状，不同物理特性、多变的边界条件和任何承载情况不同物理特性、多变的边界条件和任何承载情况的工程的工程结构分析问题。结构分析问题。o 有限元法有限元法应用于场（力场、电场、磁场、温度场、流体应用于场（力场、电场、磁场、温度场、流体场等）分析、热传导、非

17、线形材料的弹塑性蠕变分析等场等）分析、热传导、非线形材料的弹塑性蠕变分析等23(a) 二维问题的几何域二维问题的几何域(b) 三角形单元三角形单元(c) 有限元网格的一部分有限元网格的一部分单元单元有限元网格有限元网格有限元法中的离散有限元法中的离散各种几何形状各种几何形状的有限元单元的有限元单元24三角形的顶点称为节点（三角形的顶点称为节点（node） 节点处的场变量（这里是温度）将作为自变量被直接求解节点处的场变量（这里是温度）将作为自变量被直接求解node热传导问题的三角形单元热传导问题的三角形单元1T3T2Tnode有限元法中的场变量表示有限元法中的场变量表示以平面热传导问题的三角形单

18、元为例以平面热传导问题的三角形单元为例25除了节点外的其他各位置的点对应的场变量如何确定？除了节点外的其他各位置的点对应的场变量如何确定？ 单元内部点的场变量值由单元节点的单元内部点的场变量值由单元节点的插值插值(interpolation )给出给出:iTkTjTT = ?有限元法中的场变量表示有限元法中的场变量表示kkjjiiTyxNTyxNTyxNyxT),(),(),(),( , , 和和 是插值函数，称为是插值函数，称为位移函数位移函数或或形函数。形函数。插值函数插值函数所包括的多项式阶数越高，越能精确表示位移分布。所包括的多项式阶数越高，越能精确表示位移分布。iNjNkN26常见平

19、面单元形状与节点数常见平面单元形状与节点数三节点三角形单元三节点三角形单元CST(CST(常应变单元常应变单元) )六节点三角形单元六节点三角形单元二次插值二次插值八节点四边形单元八节点四边形单元二次插值二次插值CSTCST三角形单元网格划分简单，但对于弯曲过刚；线性应变三角形元描三角形单元网格划分简单，但对于弯曲过刚；线性应变三角形元描写弯曲性能远优于写弯曲性能远优于CSTCST单元单元四边形单元剖分有时比较困难，但性能较好四边形单元剖分有时比较困难，但性能较好四节点四边形单元四节点四边形单元双线性插值双线性插值xyayaxaavxyayaxaau8765432127四节点四面体单元四节点四

20、面体单元线性插值（常应变）线性插值（常应变）十节点四面体单元十节点四面体单元二次插值（线性应变）二次插值（线性应变）八节点四面体单元八节点四面体单元LagrangeLagrange单元单元非完全三次插值非完全三次插值二十节点二十节点SerendipitySerendipity单元单元四面体单元网格剖分简单，但四节点四面体精度较差四面体单元网格剖分简单，但四节点四面体精度较差八面体单元精度较好，但网格剖分比较困难八面体单元精度较好，但网格剖分比较困难常见三维单元形状与节点数常见三维单元形状与节点数28一维单元一维单元(x)(x)(x)不同形式的单元插值不同形式的单元插值29二维单元二维单元不同形式的单元插值不同形式的单元插值30三维单元三维单元不同形式的单元插值不同形式的单元插值(x,y,z)(x,y,z)31有限元法总体思路有限元法总体思路有限元法通过加权余量法（或变分法、最小势能原理、虚有限元法通过加权余量法（或变分法、最小势能原理、虚功原理等）将偏微分方程转变为代数方程，便于计算机处功原理等）将偏微分方程转变为代数方程，