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1、二重积分的计算小结时间：2021.03.09创作：欧阳法一、知识要点回顾1. 二重积分的定义；2. 二重积分的几何意义及其物理模型。二重积分"©)小的几何意义就是以9)为 底，以为顶的曲顶柱体的体积，其物理模型就 是一个曲顶柱体。3. 二重积分在直角坐标系下的计算(1) 若积分区域D是由两条直线x=a,x=b,E<及 两条曲线 y二01 (x),y= 02(x)(/l(x)<2(x),a<x<b)所 围成，则阳y广(D)二山 J°l(x)丿(2) 若区域D是由两条直线y二c,y=d以及两条曲线 x= © 1 (y),x= 

2、9;2(y)(01 (y)" 2(y),c<yWd)所围成,则4. 极坐标下二重积分的计算法X二 FCOS& $二 rsin 0如果区域D是由从极点出发的两条射线& = Q ,° = P（Q<”）和两条曲线f = r（0r = r2（0）（川"）所围成，则5. 曲线坐标下二重积分的计算法设函数* W），尸畑）在直角坐标平面心上的 封闭区域D上连续，有一阶连续偏导数，而且雅 克比行列式二.二重积分的计算举例解方程组1.计算二重积分£，,其中d为由直线与曲线“b所 围成的区域.解：画出积分域如图所示解得图中的两个交点为（°

3、;，°），（1，1）, D可表示为j_(x,y)0<y<,y <x<y于是2计算二重积分x+y 的值，其斗2021.03.09欧阳法创编分区域为"(50' +心4。解：由对称性可以只考虑第一象限的积分域采用极坐标。则积分区域变为于是V3,计算二重积分ey的值的大小，其中D 是由X轴，y轴以及x+y=2所围成的封闭区域。 解：如图1,由题意，可设 则可得V-MV+MX = V =2 2图2u所以图6所以积分区域变为图2中的封闭区域，4&解：积分区域为圆（x以外的部分设图 中 阴 影 区 域为D0二（x，y）llK2,j2x_£

4、 <y<x于是5计 算 二 次分析若直接计算题目所给的二次积分，将首先遇 到求不"的原函数的问题，它是无法计算的，因此， 应将二次积分先还原为二重积分，再根据积分区域的 特点，选择适当的方法.解由所给的二次积分，我们得积分区域D是一个中心角为4,半径为人的扇 形（图5）.因此可以采用极坐标计 算，在极坐标系下，有因此小结计算在直角坐标系下二重积分的值的过程 中，应正确选择积分的形式，是先对X积分还咼 先对Y积分，选择正确的积分形式可以提高解题 的效率和准确度。计算极坐标系下二重积分值的步骤：首先把积分区域的边界方程用极坐标表示； 确定。&的范围，即在极坐标系下表示积 分区域； 用QCOS0,Qsin&分别代换被积函数中的 兀儿并把面积元素用冈替代.计算二重积

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