九年级下册二次函数题型归纳总结

1、九年级下刑二次函数理曳旭纳梳理8101二次西豉的圄爱与雌质【典例1】（2019浦东新区一模）如果二次函数y=a/+6x+c的图象全部在x轴的下方，那么下列判断中正确的是（）A. 。<0, b<0 B. 。>0, b<0 C. a<Q, c>0 D. a<0, c<0.4acZ?2【解析】二函数y=ax+6x+c的图象全部在x轴的下方，<0, <0,，a<0, cVO,选：D.4a【典例2】（2019和平区校级月考）抛物线），=2%2-3升5的顶点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限 D.第四象限、43 31【解析】7=2?

2、-3升5=2（X*） 2+泉，抛物线顶点坐标为（丁丁，.在第一象限，故选：工【典例3】（2019 锦州一模）若关于x的一元二次方程2?-x-=0没有实数根，则二次函数j，=2?-x-的图象的顶点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】解：一元二次方程2?7-=0没有实数根， = l+8V0,.,.77<-京*-*y=2x - x - n=2 （/#+右）g- -n=2 （x ），一春一”，；二次函数的顶点坐标为（n）».二次函数的顶点坐标为（ -1-H）位于第一象限.故选：工【典例5】（2019郭都区模拟）在同一坐标系中，一次函数y=ax+6与二次函数y

3、naf+b的大致图象为（）【解析】解:工尸升6的图象可得：40,此时二次函数尸一+力的图象应该开口向上，故工错误：B、由y=ax+6的图象可得：。<0, b>0,此时二次函数的图象应该开口向下，顶点的纵坐标 大于零，故3正确；C、由y=ox+b的图象可得：aVO, b<0,此时二次函数二0小+办的图象应该开口向下，故C错误：D、y=ax+b的图象可得：。<0, b>Q,此时二次函数的图象应该开口向下，故。错误；选：B.【典例5 （2019大同二模）将抛物线-x+1先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度, 则所得抛物线的表达式为（）A. y=x。=4,），*

4、大产 凶弑穿巨=21,故选：C.【典例7】（2019雨花区期中）如图，若抛物线y=ax2+&r+c上的尸（4, 0）,。两点关于它的对称轴x=l对称，则。点的坐标为（）+3x+6 B. y=x2+3xC. y=JT - 5x+10 D.- 5x+4【解析】解：=/-升1=（A-1） 2+|,当向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得尸（x-1+2） 2+|+3= （x+|）2+学=/+3%+6：故选：.【典例6】（2019兰州模拟）若二次函数y= -/+2ax+5的图象关于直线x=4对称，则y的最值是（）A.最小值21B.最小值24C.最大值21D.最大值24B. ( -2,

5、0)C. ( -3, 0)D. ( -4, 0)【解析】解：:二次函数尸-X2+2妆+5的图象关于直线x=4对称，一/右=4,L）【解析】解：抛物线j，=af+6.叶c上的尸（4, 0）,。两点关于它的对称轴x=l对称，P，。两点到对称轴x=l的距离相等，工。点的坐标为：（-2, 0）.故选：B.【典例8】（2019金牛区期末）对于抛物线j，=-2 （升1） 2+3,下列结论：抛物线的开口向下；对称 轴为直线x=l：顶点坐标为（-1, 3）；x>-l时，j，随x的增大而减小，其中正确结论的个数为 （ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【解析】解：抛物线y=-2 （x+1） 2+3, a=

6、-2V0,抛物线的开口向下，故正确，对称轴是直线x=-l,故错误，顶点坐标为（-1, 3）,故正确，x>-l时，> 随x的增大而减小，故正确，故选：C.【典例9 （2019黄浦区一模）如果点,4 （ - 1, M、86，n）是抛物线>=-（x - 1） 2+3上的两个点， 那么ni和的大小关系是二 V （填“ > ”或" V "或“=【解析】解：抛物线的对称轴为直线=1，而抛物线开口向下，所以当xVl时，y随x的增大而增大，所以加心 故答案为V.【典例10】（2019 瑶海区校级期中）已知二次函数y= （x-）2+3,当自变量x满足1 WxW3时，函

7、数3有最小值2儿则力的值为一或6 -2【解析】解：？=（X-/7）2+3中a=l>0,.当xV刀时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大：若1W/W3,则当时，函数取得最小值助，即3=2万 解得：h= 1：若为<1,则在1WxW3范围内，x=l时，函数取得最小值2，即（1-/?） 2+3=2/?,解得：力=2>1 （舍去）;若，?3,则在范围内，x=3时，函数取得最小值2,33即（3-方）2+3=2，解得：4=2 （舍）或4=6,综上，的值为一或6,故答案为一或6. 22【典例11（2020 杨浦区一模）已知点a（XI，四）、B（X2, M 为抛物线/=（X-2） 2

8、上的两点，如果 a-1a-22,那么力 2.（填或“=”）【解析】解：尸（x-2） 2,.=10, .抛物线开口向上，抛物线y= （x2） 2对称轴为直线丁=2,F42V2,1、.故答窠为.【典例12】（2019徐汇区一模）已知抛物线C的顶点坐标为（1, 3）,如果平移后能与抛物线产+%+3 重合，那么抛物线。的表达式是=如一 1y+3_.【解析】解：先设原抛物线的解析式为尸。（壮人）？+让.经过平移后能与抛物线产=；/+2x+3重合，二次函数的顶点坐标为（1, 3）, .,.这个二次函数的解析式是=/ G-1） 2+3.故答案为：（x- 1） 2+3.【典例13】（2019西湖区校级月考）对

9、于二次函数=m小-（什2）升3,有下列说法：如果?=2,则_，有最小值3；如果当x=l时的函数值与x=2016时的函数值相等，则当x=2017时的函数值为3；如果朋1,当xWl时_，随x的增大而减小，则1加W2：如果用该二次函数有最小值T,则T的最大值为1.其中正确的说法是一.（把你认为正确的结论的序号都填上）【解析】解：如果泄=2,函数的对称轴为：x=l,则y=l,故 有最小值3,不符合：、=0时，旷=3,而如果当x=l时的函数值与x=2016时的函数值相等，当x=2017与x=0关于对称轴对称，故此时的函数值为3,符合题意;如果?>1,当xWl时），随x的增大而减小，函数的对称轴为：

10、x=>l,解得:解得：则l<mW2：故符合题意；如果用该二次函数有最小值T，则 >0, 7=与匕=2 -（；+、1）W2-2出x：=l,故则T的 最大值为1,故符合题意.故答案为：.1. （2019惠城区期末）抛物线y= （x- 1） 2+2的顶点坐标是（）A. （1, 2）B. （-1, 2） C. （1, -2） D. （-1, -2）【解析】，=（X-1） 2+2,抛物线顶点坐标为（1, 2）,故选：工2. （2019门头沟区期末）二次函数>=”的对称轴是（）A.直线y=l B.直线x=l C. 丁轴D. x轴【解析】二次函数的对称轴是直线x=0,即），轴，故选：

11、C.3. （2019沧州期末）二次函数与=履2_以+8的图象与x轴有交点，则上的取值范围是（）A. k<2B. k<2 且 kWO C.左W2D.左W2 且花£0【解析】,二次函数与丁=公2-&什8的图象与x轴有交点，=必-4=64 - 32左20, 20,解得：kW2且故选：D.4.（2019泗阳县期末）二次函数产52+云+，与一次函数）,=心匕在同一直角坐标系内的大致图象是（）【解析】解：，、由抛物线知，4<0, c>0：由直线知。>0, CVO, a的值矛盾，故本选项错误:B、由抛物线知，40, c<0；由直线知a>0, c&g

12、t;0, c的值矛盾，故本选项错误：C、由抛物线知，a>Q, c>0；由直线知a<0, c>0,。的值矛盾，故本选项错误：D、由抛物线知，a<0, c>0；由直线知。<0, c>Q,两结论一致，故本选项正确.故选：D.5. (2019和平区期末)当aWxWo+1时，函数j，=f - 2升1的最小值为4,则。的值为()A. -2B. 4C. 4或 3D. -2 或 3【解析】解：当y=4时，有F-2x+1=4,解得：x= - 1,犯=3.丁当时，函数有最小值4,，=3或a+l= - 1, ,4=3或a=-2,故选：D.6. (2019 潮阳区期末)

13、若点M在抛物线= (H3) 2-4的对称轴上，则点M的坐标可能是()A. (3, -4) B. (-3, 0) C. (3, 0)D. (0, -4)【解析】解：？= G+3) 2-4,.抛物线对称轴为x=-3, ,点M在抛物线对称轴上，工点河的横坐标为-3,故选：B.7. (2019婺城区模拟)如图所示，抛物线尸=|("-32一学与小丁轴分别交于乂、b、C三点,连结,4C 和8C,将ZUBC沿与坐标轴平行的方向平移，若边的中点M落在抛物线上时，则符合条件的平移 距离的值有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【解析】解：由抛物线y =打一分一生可知，令x=0,则y = ,Q一

14、竿,解得尸4,.C （0, 4）,令y=0,则八幻一丁一年=0,解得，x=l或6,：.A （1, 0）, B （6, 0）, ,点8的坐标为（6, 0）,点C的坐标为（0, 4）,点河为线段8C的中点，点M的坐标为（3, 2）.当y=2 时，| （xJ） 2当=2, 34。回组，7+；37、7-；37解得：xi= , xi= -,当 x=3 时，y= - 4,平移的距离为上巨一3二二二或3-上子=与二i或6,故选：C. 2zzz8. （2019大东区期末）已知二次函数（x/）2+1,则下列说法：其图象的开口向上：其图象的 对称轴为直线其图象顶点坐标为（m-1）：当xV去时，y随x的增大而减小，

15、其中说法 正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【解析】解：。=>0，.抛物线开口向上，所以正确：>=/（、一» 2+1,.抛物线的对称轴为直线xj,顶点坐标为弓，1）,所以错误；当xV$ht，>随x的增大而减小，所以正确：综上所述，正确的说法有2个.故选：B.9. （2019滨海县期末）点K （ -3, yi）, B （2,必）在抛物线jmx2 - x上，贝小 > V2.（填“>”，“V” 或“=”之一）【解析】解：»=（ -3） 2 -（ -3） =12, ”=22-2=2,故答案为：>.10. （2019丹江口市期中）

16、二次函数y=2（A-+1） 2-4,当x= 7 时,y的最小值是 -4 .【解析】解：二次函数y=2 （a+I ） - - 4» -'I x= - 1时，y的最小值是-4,故答案为：-1； - 411. （2020武汉模拟）若二次函数丁=2 （x+1） 2+3的图象上有三个不同的点K （xi，力、B （xi+必）、C （X2，加），则的值为5 .【解析】解：；4（XI，加、C（X2, 7M）在二次函数y=2 （x+1） 2+3的图象上，xr+x2：.-=-b，xi+x2=-2, 2:B （xi+%2，）在二次函数y=2 （x+1） ?+3 的图象上，Am=2 （ - 2+1）

17、 2+3=5,故答案为 5.12. （2019华荽市模拟）将抛物线y=2?平移，使顶点移动到点产（-3, 1）的位置，那么平移后所得新 抛物线的表达式是】=2 G+3） 2+1 .13. （2019江汉区模拟）己知二次函数j=$2+bHc经过点（0,-）,当OWxWl,抛物线上的点到x轴距 离的最大值为3时，6的值为1或-5 .【解析】解：二次函数j=%2+h+c经过点（0, |）,Ac=抛物线解析式为尸吴+笈+楙，.抛物线对称轴为x=i,.只有当x=0、x=l或x= - %时，抛物线上的点才有可能离x轴最远，当x=0时，y= |,当x=l时，），=打计|=2+4当 x= -6 时，=1 （

18、-6） ?+b （ -6） +|=-2+1.当|2+6| = 3时，6=1或b=-5,且顶点不在范围内，满足条件；当|一次+家=3时，b=±3,对称轴为直线x=±3：不在范围内，故不符合题意，综上可知b的值为1或-5.故答案为：1或-5.02二次周数的圈索与纂败的关索【典例T】（2019德州）若函数产空jy=a/+bx+c的图象如图所示，则函数尸去+6的大致图象为（【解析】解：根据反比例函数的图象位于二、四象限知左<0,根据二次函数的图象确知。>0, 6V0,，函数y=fcr+b的大致图象经过二、三、四象限，故选：C.【典例2】（2019荷泽）己知二次函数丁=/

19、+灰+。的图象如图所示，则一次函数产心+与反比例函数）=土瞥在同一平而直角坐标系中的图象大致是（）【解析】解：:二次函数尸=G2+取+°的图象开口向上，>0, 该抛物线对称轴位于y轴的右侧,，、3异号，即6<0.:当x=l时，y<0> ：.a+b+c<0.，一次函数y=6x+a的图象经过第一、二四象限，反比例函数J=a+b+cx的图象分布在第二、四象限，故选：B【典例3】（2019本溪）如图，二次函数y=af+6x+c（4#0）的图象与x轴交于点工（-1, 0）,其对称轴为直线x=l,下面结论中正确的是（）A. abcX)B. 2。- b=0 C. 4a

20、+26+cV0 D. 9a+3b+c=Q【解析】解：抛物线的开口向下，则。<0,对称轴在y轴的右侧，力>0,图象与y轴交于正半轴上,：.c>0, ：.abc<0,： :对称轴为x=l, x=白=1, A - b=2a, ：.2a+b=0.当 x=2 时，4a+2b+c>Q,当 x=3 时，9a+3b+c=Q,故选：D.【典例4】（2019东坡区模拟）已知抛物线y=aJ+6x+c QXO）的对称轴为直线x=2,与x轴的一个交 点坐标为（4, 0）,其部分图象如图所示，下列结论：抛物线过原点：4HHe=0：a-Hc<0： 抛物线的顶点坐标为（2, b）；当x&l

21、t;2时，y随x增大而增大.其中结论正确的是（）A. B.C.® D.©®【解析】解：:抛物线产af+bx+c （e0）的对称轴为直线x=2,与x釉的一个交点坐标为（4, 0）,，抛物线与x轴的另一交点坐标为（0, 0）,结论正确:抛物线产近+c "WO）的对称轴为直线x=2,且抛物线过原点，.一名=2, c=0,，6=-4a, c=0, .4a+b+c=0,结论正确：当x=-l和x=5时，y值相同，且均为正，.a-Hc>0,结论错误：当x=2时，y=ax2+bx+c=4a+2b+c = （4a+计c） +b=b, .抛物线的顶点坐标为（2, 5）

22、,正确；观察函数图象可知：当xV2时，y随x增大而减小，结论错误.综上所述，正确的结论有：.故选：B.【典例5】（2019会昌期中）己知二次函数y=af+6x+c的图象如图所示，对称轴为x=l,经过点（-1, 0）,有下列结论：abcVO；a+c>b；3a+c=0：什（am+b）（其中其中正确的结 论有（）A.1个B. 2个C. 3个D. 4个【解析】解：抛物线开口向下，.3<0，.抛物线的对称轴为直线厂名=1，6=-2Q0,;抛物线与y轴的交点在x轴上方，c>0,，。庆<0,所以正确；"=-1时，y=0,，a-b+c=O,即a+c=6,所以错误；把b= -

23、2。代入。-b+c=O中得3a+c=0,所以正确：;抛物线的对称轴为直线x=l,，x=l时，函数的最大值为a+6+c,，a+6+c>G2+成升c,即+6>加（amb）,所以正确.故选：C.【典例6】（2019巴彦淖尔模拟）如图，二次函数），=/+版+，的图象与x轴的一个交点坐标是（3, 0）, 对称轴为直线x=l,下列结论：HcAO：2。+6=0；4a-2Hc>0：当），>0时，-lx<3：其中正确的个数是（A. 2B. 3C. 4D. 5【解析】解：抛物线开口向下，.MVO： 抛物线的对称轴为直线厂名=1，2=-240, 所以正确；抛物线与J，轴的交点在x轴上方

24、，.c>0,所以错误；抛物线与x轴的一个交点坐标是（3, 0）,对称轴为直线x=l, .抛物线与x轴的另一个交点坐标是 （-1. 0）,.“=-2时，y<0,4°-0,所以错误；.抛物线与x轴的2个交点坐标为 （-1, 0）, （3, 0）, -1VxV3 时，7>0,所以正确;时，y=0, b+c=O,而 6=-2。，c=-3a, ，5-c=-2+3a=aV0,即 6Vc,所以正确.故选：B.【典例7】（2019淮南期中）二次函数y=ax2+fer+c （aHO）的图象如图所示，则一次函数y=ax-2b（#0）与反比例函数）=5（c#0）在同一平面直角坐标系中的图

25、象大致是（）人【解析】解：:二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴的左侧，函数图象交于y轴的负半轴，a>0, b>0. cVO, J反比例函数的图象必在二、四象限：一次函数y=ax - 2b 一定经过一三四象限， ,对称轴为直线x= - 1,且与x轴的交点为（-3, 0）, .另一个交点为（1, 0）,.一言=一1, /6=2> 把（-3, 0）代入y=4x2+2x+c 得，9a-6a+c=0,，c= -3a,方程 ax-2b=£整理得 aF-2fcr-c=0,即 ax2-4什3a=0, Ax2 - 4x+3 = 0, 丁（ - 4） ? - 4X3=4>0,，

26、一次函数j=ax-2b （40）与反比例函数尸;（cHO）的图象有两个交点，故选：D.【典例8】（2019通辽）在平面直角坐标系中，二次函数j，=ax2+6x+c （aWO）的图象如图所示，现给以下 结论：abcVO：c+2“V0：9。- 3b+c=0；。 b2m （am+b）为实数）：4oc - b2Vo.其中错误结论的个数有（）A.1个B. 2个C. 3个D. 4个【解析】解：由抛物线可知：a>0，cVO,对称轴L-/VO,，6>0,，从<0,故正确:由对称轴可知：一名=一匕，b=2a, 、=1 时，y=a+6+c=0, ：.c+3a=Q./. c+2a = - 3a+2

27、a= - a VO,故正确：（1, 0）关于x= - 1的对称点为（-3, 0）,，x=-3时，y=9a-3Hc=0,故正确:©当 x= - 1 时，y 的最小值为 a - b+c9 .戈=7 时，y=ar)r+b/n+c, anr+bm+ca - b+c,即a - (am+b)t故错误；抛物线与x轴有两个交点，>(),即必-4c>0,，4*-宜<0,故正确:故选：A.【典例9】(2019凉山州)二次函数y=a/+b.Hc的部分图象如图所示，有以下结论：3a - 6=0；及-4*>0：5a-26+c>0：46+3c>0,其中错误结论的个数是()A.

28、 1B. 2C. 3D. 4【解析】解：由图象可知a<0, c>0,对称轴为尸一|,.、=一| = 一焉 .b=3a,正确：.函数图象与x轴有两个不同的交点，=必-4>0,正确：当 X=-1 时，a-6+c>0,当 x=-3 时，9a-36+c>0,，10 - 4b+2c>0,- 2b+c>0,正确：由对称性可知x=l时对应的y值与x=-4时对应的y值相等，当x=l时a+6+cVO, ”=3。， ，4H3c=3HH3c=3H3a+3c=3 (a+b+c) <0, ：.4b+3c<0,错误：故选：A.【典例10(2019建阳区模拟)如图所示，

29、已知二次函数的图象与X轴交于£ 8两点，与 y轴交于点C,对称轴为直线x=l.直线j，=-x+c与抛物线y=af+bx+c交于C,。两点，。点在x轴下方且横坐标小于3,则F列结论：a - 6+cVO： (2)2a+b+c>0ix (ar+6) Wa+岳 V - 1.其中正确的有()A. 4个B.3个C.2个D. 1个【解析】解：抛物线与X轴的一个交点在点(3, 0)左侧，而抛物线的对称轴为直线x=l,.抛物线与x轴的另一个交点在点(-1, 0)右侧，当x= - 1时，y<0,：.a-b+c<0,所以正确：.抛物线与 > 轴的交点在x轴上方，.c>0,;抛

30、物线的对称轴为直线x=义=1，：.b= -2a,，2a+6+c=2a-2+c=c>0,所以正确；Vx=l时，二次函数有最大值，4x2+bx+cWa+b+c, .a>r+bx：a+b9所以正确；直线y=-x+c与抛物线、=。/+云+。交于C、。两点，。点在x轴下方且横坐标小于3,，x=3时，一次函数值比二次函数值大，即9a+3b+cV - 3+c,而6= - 2a,- 64V - 3,解得a< - 1,所以正确.故选：【典例11 (2019东营区校级期中)如图，二次函数j，=ax2+bHc的图象与x轴交于点,4 ( - 1, 0), B (3, 0).下列结论：2a - 3=0

31、；(He) 2<庐 当-l<x<3时，yVO；当=1时，将 抛物线先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线y= (x-2) 2-2.其中正确的是 0 ,(填写正确结论的序号)【解析】解：:二次函数y=ax2+6x+c的图象与x轴交于点,4 ( - 1, 0), B (3, 0).，抛物线的对称轴为直线x= 1, HP =1, /.2a+b=Qt所以错误；,."= - 1时，>=0.a - b+c = O,(。+c) - b= (a+c+b) (a+c - b) =0,所以错误：当-1VxV3时，函数图象在x轴下方，即yVO,所以正确；当 °

32、 = 1 时，抛物线解析式为 j，= (x+1) (x- 3),即 y=/-2x-3, .？=/-2x-3= (x - 1) 2 - 4.抛物线y=W-2x-3的顶点坐标为(1, -4),而把(1, -4)先向上平移2个单位，再向右平移1个单位所得对应点的坐标为(2, -2),平移后的抛物线解析式为y= (x-2) 2-2,所以正确.故答案为.1.(2019成都模拟)二次函数jkaf+br+c的图象如图所示，则一次函数y=x+c和反比例函数尸七警【解析】解：如图所示，抛物线开口方向向上，则>0, 抛物线的对称轴直线在y轴的右侧，贝IJ。、b异号,即6V0,抛物线与y轴交于正半轴，则c&g

33、t;0.抛物线与X轴有两个交点，则=川-4>0.一次函数的图象经过第一、二、三象限，反比例函数比三竺的图象经过第一、三象限, 人观察选项，只有乂选项符合题意.故选：土2. （2019香坊区期末）已知二次函数y=ax2+6x+c （W0）的图象如图所示，下列结论：>0：2a+b<0t4-26+cV0：+计2c>0,其中正确结论的个数为（）A. 4个B. 3个C. 2个D,1个【解析】解：抛物线开口向下，与y轴的交点在x轴上方，a<0, c>0,V0<-<1,：.b>Q,且 6V-2a, ：.abc<Q9 2a+b<Q9故不正确，正

34、确，:当x=-2时，j，V0,当x=l时，v>0,，4a-2HcV0, a+b+c>Q, ：.a+b+2c>Q,故都正确，综上可知正确的有，故选：B.3. （2020长葛南一模）已知二次函数j，=a/+6x+c QW0）的图象如图所示，则下列结论：®c<0：2什6=0：a+6+cVO： - 4acV0,其中正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D, 4个【解析】解：如图所示，抛物线与y轴交于负半轴，则cVO,故正确;如图所示，对称轴产一名=1,则2寸叨=0.故正确；如图所示，当x=l时，v<0,即：q+HcVO.故正确：如图所示，抛物线与x轴有两个不

35、同的交点，则b2-4m>0.故错误.综上所述，正确的结论有3个.故选：C.4. （2019河东区期末）若二次函数y=“2+bx+c的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数与反比例函数），=5在同一平而直角坐标系的图象可能是（）人【解析】解一二次函数图象开口方向向下，。<0，对称轴为直线k 一名>0,，Q0,与, 轴的正半轴相交，.c>0，=6+6的图象经过第一、二、四象限，反比例函数）=2图象在第一三象限，只有。选项图象符合.故选：C4. （2019岐山期末）如图，已知二次函数juqf+bx+c QH0）的图象如图所示，有下列5个结论：abc>0； b

36、- a>c； 4a+2计c>0：3a> - c： a+b>m （am+b）（实数其中正确的结论有（）A.2个B. 3个C,4个D.5个【解析】解：:对称轴在y轴的右侧，帅<0,由图象可知:c>0, abcVO,故不正确；当 x= - 1 时，y=a-6+c<0, ：.b-a>c,故正确：由对称知，当x=2时，函数值大于0,即y=4a+26+c>0,故正确：丁尸薨=1, :.b= - 2a, 丁。- b+c<0,，a+2a+cV0, 34V-c,故不正确;当x=l时，y的值最大.此时，y=o+b+c,而当时，y=a7）r+b/n+c所以

37、 "（肌#1）,故。+6>。?2+6帆，即 a+b>7（ai+b）,故 正确.故正确.故选：B.5. （2019鄂州）二次函数，=。/+队+。的图象如图所示，对称轴是直线x=l.下列结论：%<0：3a+c>0：（什c） ?-<（）：a+bWm （anib）为实数）.其中结论正确的个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【解析】解：抛物线开口向上，。>0，抛物线的对称轴在丁轴右侧，bVO抛物线与y轴交于负半轴，.3<（）, 。儿>0,错误；当 X=-1 时，y>0, ，4-b+c>0, V-= 1, ，b=-2。，把

38、b=-2代入a-Hc>0中得力+c>0,所以正确；当 x=l 时，yVO, ：.a+bc<Q. ：.a+c< - b.I x= - 1 时，y>0, :.a - b+c>0,a+c>b9 * |+c|<|Z?|:.（a+c） 2V即 Ca+c） ? VO,所以正确： 抛物线的对称轴为直线x= 1,，x=l时，函数的最小值为a+b+c,； a+b+cWam:+mb+c,即（am+b）f 所以正确.故选：C.7. （2019柯桥区模拟）已知二次函数>=/+6升。的图象与x轴的一个交点坐标为（-1, 0）,与 > 轴的交 点坐标为（0，-3

39、）.将该二次函数的图象水平向右平移，可使得平移后所得图象经过坐标原点，直接写 出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标 （4 0）.【解析】解：把（7, 0）, （0. -3）代入尸j+fcr+c得；二"c =。,解得，;二泰所以抛物线解析式为>=/ -2-3,当 j，=0 时，x2 - 2x - 3=0,解得 xi=-l,也=3，所以二次函数>=/+加+。的图象与x轴的一个交点坐标为（-1, 0）,另一个的交点坐标为（3, 0）,因为该二次函数的图象水平向右平移1个单位，可使得平移后所得图象经过坐标原点，所以平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标为（4, 0,故答案为（

40、4. 0）.03二次商政丝线凝、JBT展的聚M【典例1】（2019永州）如图1,抛物线的顶点,4的坐标为（1, 4）,抛物线与x轴相交于3、C两点，与 1y轴交于点E （0. 3）.（1）求抛物线的表达式：（2）已知点产（0, -3）,在抛物线的对称轴上是否存在一点G,使得EGHFG最小，如果存在，求出点 G的坐标；如果不存在，请说明理由.（3）如图2,连接，3,若点尸是线段OE上的一动点，过点尸作线段X3的垂线，分别与线段,45、抛 物线相交于点N （点M、N都在抛物线对称轴的右侧），当MN最大时，求PON的而积.【解析】解：（1）设抛物线的表达式为：（x-1） 2+4,把（0, 3）代入得

41、：3= （0 - 1） 2+4, 0= - 1,.抛物线的表达式为：y= - （a - 1） 2+4= - ?+2x+3；（2）存在，如图1,作E关于对称轴的对称点连接E尸交对称轴于G,此时EG+产G的值最小，VE （0, 3）, ：.E （2, 3）,易得E尸的解析式为：y=3x-3,当x=l 时，y=3X 1 - 3=0, ：.G （b 0）（3）如图 2, 9：A （1, 4）, B （3, 0）,易得dff 的解析式为:y=-2x+6,过 N作 NWLLx 轴于交.15 于 0,设 -渥+2次+3）,则 0 （加，-2加+6）, （l<w<3）,:NQ= ( - w2+2w

42、+3 ) - ( - 2+6)=-/+由 -3,: AD/NH, ：. ZDAB= ZNOM.V ZADB= ZOMN=90C ,：4QMNs4adb,QN AB -m2+4m-3'MN - BD，°MN了，：.MN= -（7M-2）._*U0, .当加=2时，MV有最大值：过N作NG_Ly轴于G,: NGPN=/ABD, /NGP= /ADB=90, , ：.ANGP/1DB, PG BD而 一 AD3，：.PG= NG=/. OPOG - PG-"广+2加+3，i=-犷 +，】+3, 4 /1*- SJPON= OP9GN=摄（-当加=2 时，S:.pon= 1

43、 x2 （ -4+3+3 ） =2.（方法2：根据胆的值计算N的坐标为（2, 3）,与E是对称点，连接屈V,同理得：EP=3EN=1,则。尸=2,根据面积公式可得结论）.【典例2】（2019福田区期末）如图，抛物线y=af+bx+c （W0）,经过点4 （ - b 0）, B （3, 0）, C （0,-3）三点.（1）求抛物线的解析式及顶点”的坐标:（2）连接XC、8C, N为抛物线上的点且在第一象限，当SgBC=S/。时，求N点的坐标;（3）在（2）问的条件下，过点。作直线/x轴，动点尸（加，-3）在直线/上，动点。（加，0）在x 轴上，连接PM PQ、NQ,当相为何值时，尸防"

44、尸0bQV的和最小，并求出尸,悦+尸盘。呼和的最小值.【解析】解：（1）:抛物线y=a/+6x+c （吊0）经过点H( - 1, 0), B (3, 0), C (0,-3),(a - b + c = 0卜a + 3b + c = 0，解得:(c = -3箕1NT,则顶点,坐标为（1, -4）；（2）设直线解析式将点5 （3, 0）、C （0, -3）代入，得: ：2t; = 0解得：:二）3,则直线3c解析式为y=x-3,过点A作M8c交抛物线于点N,则有Sfbcn=ShBC.则直线，V的解析式为将点,4 （-1, 0）代入，得：-1*=0,解得：p=l,，直线，V解析式为y=x+l.:M

45、一解得忧丁或忧:点N坐标为（4, 5）：（3）将顶点“（1, -4）向上平移3个单位得到点M' （1, - 1）,连接V N交x轴于点Q连接尸0,则"W =3, VP（7«, -3 ）、Q （切，0）,轴，且尸。=OC=3,.尸。儿加T ,且尸。,.四边形。尸是平行四边形，尸河=。0 ,由作图知当"'、。、N三点共线时，PMPO+ON=M' 0+P屐。M取最小值，设直线M' N的解析式为=比叶与（后工0），将点”（1, -IK AT （4, 5）代入，得：像*:二,解得:忆:o3Q，直线N的解析式为y=2x-3,当y=0时，工=十：

46、.Q （0）,即胆=.此时过点N作AEx轴交初延长线于点R在 RtZW EN 中,9：Mr E=5（-1） =6, NE=4 - 1=3,：.Mf N=办 + 62 =3 yJS.：.Mf Q+QN=3 6，当初=|时，PMS0+QN的最小值为3遥+3.【典例3】（2019霍林郭勒市期末）如图1,抛物线y= -W+加什力交x轴于点（-2, 0）和点3,交y轴于点C（0, 2）.(1)求抛物线的函数表达式;(2)若点初在抛物线上，且Szuom=2S43oc,求点Af的坐标：(3)如图2,设点N是线段.4C上的一动点，作QALLx轴，交抛物线于点求线段ZXV长度的最大值.【解析】解：(1),4(-

47、2, 0), C (0, 2)代入抛物线的解析式y=-/+%r+,得tt,2m + n=0,解得:二11, .抛物线的解析式为),= -/-升2.(2)由(1)知，该抛物线的解析式为)=-升2,则易得8 (1, 0),设M3”，)然后依据SOM=1S；.£OC 列方程可得：!,4。X |川=2x 寺 xO5XOC,x2X | - nr -川+2|=2,.nr+m=Q 或 nr+m - 4=0,解得 x=0 或-1 或-1土' ； 21+ 17 117.符合条件的点M的坐标为：(0. 2)或(7, 2)或-2)或-2).(3)设直线dC的解析式为y=H+6,将工(-2, 0),

48、 C (0, 2)代入得到.驾'。=%解得忆；，.直线KC的解析式为尸户2,设NG, x+2) (-2WxW0),则。(x, -x+2),ND= (-/-x+2)-(底2) =-f-2x=- (x+1) 2+h - 1 VO, ，x= - 1时，ND有最大值1. ：.ND的最大值为1.【典例4】（2019孝义市期末）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，直线y=x-4分别与x釉，y轴交于点且和点C,抛物线），=4/-3x+c经 过,4, C两点，并且与x轴交于另一点艮点。为第四象限抛物线上一动点（不与点.4, C重合），过点 。作QF_Lx轴，垂足为尸，交直线于点£连接设点。

49、的横坐标为w（1）求抛物线的解析式：（2）当NECQ=N皮）。时，求出此时机的值；<3）点。在运动的过程中，尸的周长是否存在最小值？若存在，求出此时加的值；若不存在，请 说明理由.【解析】解： 在y=x-4中，当x=0时，y= - 4；当y=0时，x=4.：.A (4, 0), C (0, -4)把乂(4, 0), C (0, -4)代入 - 3x+c 中, 得浮J + x。，解得:二：4' .抛物线的解析式是尸/TXT.（2）如图1,过点E作轴，垂足为H9：OA=OC=4, ：.ZOAC=ZACO=45° , : /HEC= /HCE=45° .:点 D (

50、w, nr - 3m - 4), E Cm, m - 4)+：.EH=HC=m, ED= (w - 4) - (?r - 3机-4)=- /一 47H.：.EC = y/2m,，当NECD= NEDC时，EC=ED./. V2m = m (2019葫芦岛模拟)如图1,在平面直角坐标系xOv中，直线/： y = *%+m与x轴、y轴分别交于点且 和点8(0, -1),抛物线尸=。2 +打+。经过点用且与直线/的另一个交点为C (4, + 4m,解得加=0 (舍去)或m = 4 2；(3)存在.，点。为第四象限抛物线上一动点(不与点.4,。重合)，0V"7V4,在抛物线y=x2 - 3x

51、 - 4 中，当y=0 时，x2 - 3x - 4=0,解得xi= - 1, x2=4,，点 8 坐标为(-1, 0). V Z£4E=ZF£4=45° , ：.EF=AF.设A3庄的周长为小则 n=BF+FE+BE=BF+AF+BE=AB-BE,二13 的值不变，当8E最小，即5E_L4c时，3EE的周长最小.当比LLKC时，ZEBA = ZBAE=45° ,:BE=AE, ：.BF=AF=2.5.，汨=4 - 2.5 = 1.5 时，班户的周长最小.(1)求的值和抛物线的解析式:(2)点。在抛物线上，且点。的横坐标为，(0V/V4). QEy轴交直线

52、/于点E,点尸在直线/上，且四边形。尸EG为矩形(如图2).若矩形。尸EG的周长为p,求r与，的函数关系式以及p的最大值；(3)”是平面内一点，将ZU08绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到八41。41，点X、0、8的对应点分别是点£、。1、Bi.若J10131的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点力的横坐标.【解析】解：二直线/： = 经过点3(0, - 1),，加=-1，直线/的解析式为=- 1,;直线/： J=3- 1 经过点 C (4, )，An=-X4- 1=2,5:抛物线尸 #+&+c 经过点 C (4, 2)和点 8(0, - 1), ，X42+4b

53、 + c = 2,解得 5=一彳， 1c = -1Q = -1.抛物线的解析式为尸 p- |x- 1：(2)令y=0,则三x-1=0,解得=黑点乂的坐标为(士, 0), ：.OA=t在 RtQ/中，03=1, ：.AB= >JOA2 + OB2 = J(1)2+ 12 = |,OB 3OA 4石y 轴，A ZABO=ZDEF,在矩形。尸EG 中，EF=DEcosZDEF=DE- = -DE.DF=DE sin A DEF=DE = .DE, ：.p=2 (DF+EF) =2 (-+-) DE= AB SS S3-1), E (f, -f-1),43:DE=(J- 1),点。的横坐标为 f

54、 (0<r<4), ：.D (t, |r-1(11)=一+2h3 左x (-+2力=9+引72a 728*.>= - g（/-2） 2+t，且一百 VO,当 f=2 时，p 有最大值 g：（3）绕点M沿逆时针方向旋转90° ,dlOly轴时,BQx轴,设点出的横坐标为x,如图1,点。1、为在抛物线上时，点01的横坐标为x,点81的横坐标为x+1,、丁2条-1= ；（A-+1）（A-+1 ） - 1,解得 A4如图2,点山、为在抛物线上时，点81的横坐标为x+1,点4的纵坐标比点81的纵坐标大- 1= * （x+1） 2-） - 1+得 x=-g,37综上所述，点用的

55、横坐标为1或一f.2. （2019深圳）如图抛物线jxaf+bx+c经过点M （-1, 0）,点 C（0, 3）, E OB=OC.（1）求抛物线的解析式及其对称轴：（2）点。、E在直线x=l上的两个动点，且。石=1,点。在点E的上方，求MCDE的周长的最小值.（3）点尸为抛物线上一点，连接CP直线C尸把四边形C3E4的面积分为3： 5两部分，求点尸的坐标.【解析】解：(1)，点8 (3, 0),则抛物线的表达式为：y=a (x+1) (x - 3) =a (x2 - 2x - 3) =a，- 2ax - 3a,故-3a=3,得：a= - 1,故抛物线的表达式为：y=-+2.什3，函数的对称轴

56、为：x=l：(2) HCDE的周长其中HC= 然、。七=1是常数，故CDZE最小时，周长最小,取点C关于函数对称点C' (2, 3),则CZ)=C' D,取点T ( - 1, 1),则/ D=AE,故：CD+AE=Af D+DC',则当4,、D、C 三点共线时，CD+AE=A' D+DC'最小，周长也最小, 四边形 MCQE 的周长的最小值=MC+OE+CDh4E= 痴+1+T D+DCf = V1O + 1 + Jr Cr = V10 + 1 +V13：(3)如图，设直线。尸交x轴于点E,直线C尸把四边形C8PI的面积分为3： 5两部分，又,： SbPCB： S,J>ca=；EBX (yc-yp)：(yc - yp) =BE： AE,q 33i则BE： AE, =3： 5或5： 3,则.4E弓或1 即：点H的坐标为(3 0)或(