理论力学概念整理-约束自由度与广义坐标ppt课件

1、 约束、自由度与广义坐标约束、自由度与广义坐标一、问题的提出一、问题的提出 物体系统根据其与外界环境之间的关系，可分成自由系统与非自由系统。 研究约束质点系的力学问题，必须阐明约束，自由度与广义坐标的概念。二、约束二、约束1.约束概念约束概念约束就是限制物体任意运动的条件。约束就是限制物体任意运动的条件。刚体静力学研究约束, 是探究约束的原因-约束力运动学研究约束运动学研究约束,是探究约束的结果是探究约束的结果-运动的限制运动的限制2.2.约束方程约束方程(1) (1) 坐标坐标 确定一个自由质点在空间的位置需要三个独立参数，确定一个自由质点在空间的位置需要三个独立参数，这些参数或代表长度或代

2、表角度，统称坐标。这些参数或代表长度或代表角度，统称坐标。(2)(2)位形位形 对于由对于由n n个质点组成的自由质点系，则需要个质点组成的自由质点系，则需要3n3n个独立个独立坐标，这坐标，这3n3n个的坐标集合称为质点系的位形。个的坐标集合称为质点系的位形。(3)(3)约束方程约束方程 约束可以通过联系坐标、坐标的时间导数以及时间约束可以通过联系坐标、坐标的时间导数以及时间t t之间的关系的数学方程组加以描述，这些数学方程组称之间的关系的数学方程组加以描述，这些数学方程组称之为约束方程。之为约束方程。3. 3. 约束分类与约束方程一般形式约束分类与约束方程一般形式0);,;,(111111

3、tzyxzyxzyxzyxfnnnnnnrn个质点组成的质点系，约束方程的一般形式为：个质点组成的质点系，约束方程的一般形式为：(r=1,s)约束方程的个数为：s约束方程中不含: 时为几何约束(完整约束) , 反之为非完整约束。;,111nnnzyxzyx约束方程的特例约束方程的特例: :约束方程中不含: 时间显含t时为定常约束, 反之为非定常约束。约束方程中以等号表示时:为双面固执约束, 反之为单面非固执约束。几何约束几何约束2222lzyxxylOAzxyzM曲面上的质点：0),(zyxf单摆:运动约束运动约束CCvxy几何约束0 rx运动约束ryC纯滚动的圆轮：v20222vtlzyx定

4、常几何约束定常几何约束2222lzyxxylOAz单摆:非定常几何约束非定常几何约束单摆OA为刚性杆：2222lzyxxylOAzOA为柔绳：2222lzyx双面约束：在约束方程中用严格的双面约束：在约束方程中用严格的 等号表示的约束。等号表示的约束。单面约束：在约束方程含有不等号单面约束：在约束方程含有不等号 表示的约束。表示的约束。完完整整约约束束1.位移约束位移约束-全部几何约束全部几何约束2.运动约束可积分运动约束可积分-纯滚动的圆轮纯滚动的圆轮;非非完完整整约约束束运动约束不可积分运动约束不可积分-如碰撞系统如碰撞系统, 摩擦系统等摩擦系统等.静力学问题中的约束都是定常几何约束。本教

5、材动力学研究：定常、双面、完整约束。三、广义坐标、自由度三、广义坐标、自由度自由度：唯一确定质点系空间位置的独立参变量个数自由度：唯一确定质点系空间位置的独立参变量个数平面质点平面质点:, snk 2空间质点空间质点:,3snk广义坐标：广义坐标：用以确定质点系位置的独立参变量 ),(21tqqqxxkii ),.,(21tqqqyykii),(21tqqqzzkii ),(21tqqqrrkii i=1,2, nkqq,q 21n个质点，一般地：自由度为k， 取广义坐标：1.1.基本概念基本概念自由度数定义为质点系解除约束时的坐标数减去约束方程数自由度数定义为质点系解除约束时的坐标数减去约束

6、方程数与自由度相对应的独立坐标就是广义坐标与自由度相对应的独立坐标就是广义坐标2.自由刚体的自由度自由刚体的自由度 最简单的刚体由4个质点用6根刚杆组成几何不变体(形如四面体)，则自由刚体的自由度为：66)(43（刚杆数）质点数k此后每增加一个质点就增加3根刚杆。36n 连接质点的刚杆数为：63 ns 每一根刚杆相当于一个约束，所以约束数为：63snk自由度数为： , n43.自由刚体的广义坐标自由刚体的广义坐标 基点的直角坐标000,zyx和欧拉角,或卡尔丹角,自由刚体的广义坐标。组成的6个独立参变量就是它们被用于描述刚体的位形。 4.受约束刚体的自由度受约束刚体的自由度 设刚体数为n，那么

7、 k = 6n -S 4 4、约束刚体的自由度与广义坐标、约束刚体的自由度与广义坐标 约 束刚体的自由度与广义坐标根据其运动形式不同有所减小，下表给出刚体在不同的运动形式时的广义坐标数。刚体约束情况自由度广义坐标刚体上一轴被约束（定轴转动定轴转动）1刚体上一点被约束（定点运动定点运动）3刚体被限制作平面平行运动（自由的平面运动自由的平面运动）3刚体被限制作平行移动（平移平移）3,00yx000,zyx四四 实例实例: :机构如图机构如图, ,轮轮C C作纯滚动作纯滚动0;0;ooxy; sin2 ;CCxryH rH OA ABrcos ;sin ;AAxOAyOAcoscos ;sinsin ;BBxOAAByOAAB3.3.约束方程约束方程( (在点在点O O建立直角坐标建立直角坐标) )1.1.刚体数目刚体数目 3; 3;2.2.定轴转动刚体定轴转动刚体 OA ; OA ;平面运动刚体平面运动刚体 AB AB及轮及轮C ;C ;结论结论:8个约束方程个约束方程4.广义坐标广义坐标8;s 5.自由度计算自由度计算3*31ks广义坐标数为 :3n-s=1, 即:自由度约束方程数qq或刚体数n=36.选广义坐标为选广义坐标为:自由度恒等于广义坐标数自由度恒等于广义坐标数 xAB0lk21;qxqcoslxxABsinlyB0Ay2k广义坐标自由度本例为质点与刚体本例为质