第10章静电学

1、第第 0 章章 静静 电电 学学电电 磁磁 学学* 10-1 场的描述场的描述 18 矢量场的散度与旋度数学已学过矢量场的散度与旋度数学已学过 ，自己看再复习一下自己看再复习一下 。10-2 库仑定律库仑定律.电力电力 1.)就质子与电子的相互作用来说就质子与电子的相互作用来说,静电力比万有引力要强约静电力比万有引力要强约 倍倍39102.)电磁力是一种长程力电磁力是一种长程力;而强相互作用和弱相互作用的力程而强相互作用和弱相互作用的力程只有只有 m即仅限于原子核大小的范围内即仅限于原子核大小的范围内.3.)电磁力有吸引力和排斥力两种形式电磁力有吸引力和排斥力两种形式,因此因此,电磁力可予以屏

2、蔽电磁力可予以屏蔽4.)通常通常,电力比磁力要强电力比磁力要强 倍倍( c 为光速为光速).13102c 电磁现象的规律研究最为深入、最富有成果。已知电磁相电磁现象的规律研究最为深入、最富有成果。已知电磁相互作用具有以下特征：互作用具有以下特征：2.电荷电荷1.) 两种电荷两种电荷2. )电荷量子化：密立跟实验（电荷量子化：密立跟实验（19061917年）年）Q=Ne, e=1.60 10-19C e是电量最小的元电荷是电量最小的元电荷,称为电荷的量子称为电荷的量子. 1964年盖尔曼提出一些粒子是由夸克反夸克组成电量应为年盖尔曼提出一些粒子是由夸克反夸克组成电量应为表述：表述： 3.) 电荷

3、守恒定律（电荷守恒定律（law of conservation of charge)在一个与外界没有电荷交换的系统内，正负在一个与外界没有电荷交换的系统内，正负电荷的代数和在任何物理过程中保持不变。电荷的代数和在任何物理过程中保持不变。ee或31电荷守恒定律适用于一切宏观和微观过程电荷守恒定律适用于一切宏观和微观过程( 例如核反应和基例如核反应和基本粒子过程本粒子过程 )，是物理学中普遍的基本定律之一，是物理学中普遍的基本定律之一。例如高能例如高能光子转化为光子转化为 电子偶电子偶 ,其湮灭又产生几个光子其湮灭又产生几个光子e(见见8)2112rrr122122112 rrqqkF 4.) 电

4、荷的相对论不变性：电荷的相对论不变性： 在不同的参照系内观察，同一个带电粒子的电量不变。电在不同的参照系内观察，同一个带电粒子的电量不变。电荷的这一性质叫做电荷的相对论不变性。荷的这一性质叫做电荷的相对论不变性。3. 库仑定律库仑定律(Coulomb law) 静电力的叠加原理静电力的叠加原理 在真空中两个静止点电荷之间的作用力与它们的电量的在真空中两个静止点电荷之间的作用力与它们的电量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比 。12r1r2rO21F12F1q2q2112rr表示单位矢量表示单位矢量1.)库仑定律库仑定律1221FF 库仑力满足牛顿第三定

5、律库仑力满足牛顿第三定律041k)/(10854187817. 822120mNC是国际单位制中的比例系数是国际单位制中的比例系数称为真空电容率或真空介电常量。称为真空电容率或真空介电常量。122122101241rrqqF实验表明，库仑力满足线性叠加原理，实验表明，库仑力满足线性叠加原理，即不因第三者的存在而改变两者之间即不因第三者的存在而改变两者之间的相互作用。的相互作用。(点电荷系点电荷系) .)静电力的叠加原理：静电力的叠加原理：niniiiiirrqqFF110200000411q4q3q2qoq1Or2Or4Or3Or约定：电荷不说负就算正约定：电荷不说负就算正 (以后均如此以后均

6、如此)。 10-3 电场和电场强度电场和电场强度1、电场、电场(electric field)1.) 电荷之间的相互作用是通过电场传递的，或者说电荷周围电荷之间的相互作用是通过电场传递的，或者说电荷周围存在有电场，引入该电场的任何带电体，都受到电场的作用存在有电场，引入该电场的任何带电体，都受到电场的作用力，这就是所渭的近距作用。力，这就是所渭的近距作用。2.)场的物质性体现在：场的物质性体现在：a.给电场中的带电体施以力的作用。给电场中的带电体施以力的作用。b.当带电体在电场中移动时，电场力作功当带电体在电场中移动时，电场力作功. 表明电场具有能量。表明电场具有能量。c.变化的电场以光速在空

7、间传播，表明电场具有动量变化的电场以光速在空间传播，表明电场具有动量电荷电荷 电场电场 电荷电荷表明电场具有动量、质量、能量，表明电场具有动量、质量、能量，体现了它的物质性体现了它的物质性.3.)电场与实物之间的不同在于它具有叠加性。电场与实物之间的不同在于它具有叠加性。(同类实物具有同类实物具有可加性可加性)静止电荷产生的场叫做静电场静止电荷产生的场叫做静电场(electrostatic field)2、电场强度、电场强度 (electric field strength)0qFE它与检验电荷无关，反映电场本身的性质。它与检验电荷无关，反映电场本身的性质。单位正电荷在电场中单位正电荷在电场中

8、某点所受到的力。某点所受到的力。物理物理意义意义F2. )将将 放在点放在点 电荷系产生的电场中，电荷系产生的电场中， 受到的作用力为受到的作用力为 ，为描述电场的属性引入，为描述电场的属性引入 一个物理量一个物理量电场强度电场强度(简称为场强）：简称为场强）：nqqqq,.,3210q0q1.) 检验电荷：检验电荷： 本身携带电荷足够小；占据空间也足够小，放本身携带电荷足够小；占据空间也足够小，放在电场中不会对原有电场有显著的影响。在电场中不会对原有电场有显著的影响。0q3.) 单位单位 在国际单位制中在国际单位制中(SI)电场是一个矢量场电场是一个矢量场(vector field)力的单位

9、是牛顿力的单位是牛顿N; 电量电量 的单位是库仑的单位是库仑CFq场强单位是场强单位是N/C。或者叫做或者叫做伏特伏特/米米。E01qFEnii4.)场强的叠加原理：场强的叠加原理： 电场中任何一点的总场强等于各个点电荷在该点各自产生电场中任何一点的总场强等于各个点电荷在该点各自产生的场强的矢量和。这就是场强叠加原理。的场强的矢量和。这就是场强叠加原理。niiniiniiEqFqFE110011.)点电荷产生的场点电荷产生的场rrqqFE41200表示表示 的单位矢量。的单位矢量。r., 321qqq2.)点电荷系点电荷系 的电场中的场强：的电场中的场强：niiiiniirrqEE120141

10、2r1r3r3q2q1qp位矢位矢 求场点求场点rO 场源场源pq0q3.电场强度的计算电场强度的计算r 3.)任意带电体（连续带电体任意带电体（连续带电体)电场中的场强：电场中的场强：将带电体分成很多元电荷将带电体分成很多元电荷 dq ,先求出它在任意场点先求出它在任意场点 p 的场强的场强rrdqEd4120对场源求积分，可得总场强：对场源求积分，可得总场强：rrdqEdE4120Eddqr 以下的问题是如何选出合适的坐标，给出具体的表达式以下的问题是如何选出合适的坐标，给出具体的表达式和实施计算。和实施计算。dVdqVqVelim0dSdqSqSelim0dldqlqllim0体电荷分布

11、的带电体的场强体电荷分布的带电体的场强rrdVEVe420面电荷分布的带电体的场强面电荷分布的带电体的场强rrdSESe420线电荷分布的带电体的场强线电荷分布的带电体的场强rrdlEl420电荷的体密度电荷的体密度电荷的面密度电荷的面密度电荷的线密度电荷的线密度例题例题1：求电偶极子中垂线上距离中心较远处一点的场强：求电偶极子中垂线上距离中心较远处一点的场强304rrqE304rrqE)(430rrrqEEElr 用用 表示从表示从 到到 的矢量，的矢量，定义定义电偶极矩电偶极矩为：为：lqql qPe|rrrrqqrrpEEePEl离散点电离散点电荷场叠加荷场叠加qql等量异号电荷等量异号

12、电荷 、 ，相距为，相距为 ， 它相对它相对于求场点很小，称该带电体系为于求场点很小，称该带电体系为电偶极子。电偶极子。llrr)(303044rPrl qEe结论结论：电偶极子中垂线上：电偶极子中垂线上 距离中距离中心较远处一点的场强，与电偶极心较远处一点的场强，与电偶极子的电矩成正比，与该点离中心子的电矩成正比，与该点离中心的距离的三次方成反比，方向的距离的三次方成反比，方向 与电矩方向相反。与电矩方向相反。qqrrpEEePErl 建立坐标系。过建立坐标系。过P P点做带电直线的垂线为点做带电直线的垂线为 x 轴，交点为轴，交点为坐标原点，沿带电直线为坐标原点，沿带电直线为 y y 轴。

13、选积分元轴。选积分元dydq 22041yadydE （1）xy y0qdEd1Lap2Ly其其分量式为分量式为sincosdEdEdEdEyx（2）(1)式代入式代入(2)式，并积分式，并积分2222041yaayadydEx 例例2. 求均匀带电（电荷线密度为求均匀带电（电荷线密度为 ）直线外任一点）直线外任一点P 的场强的场强. 设设场点到直线垂直距离为场点到直线垂直距离为a.且垂足将导线分为且垂足将导线分为L1，L2两段。两段。 )LyL(21 2222212102222044121LaLLaLayaayadydEELLxx 2222120114LaLaEy同理同理jEiEEyx 讨论

14、：讨论：0 yE1) 在导线的中垂线上在导线的中垂线上)(21LL xy y0qdEd1Lap2Ly04)(,202121 yxEaLLEaLL，时，时，当当 2）02,021yxEaEaLL，时，当3）xy y0qdEd1Lap2Ly oE 2 = .1dx222xadxao dxcos aEo 2 E=2ordx1xyoaP.xdxrdEdEE 例题例题3 求均匀带电的无限大平面外任一点的场强求均匀带电的无限大平面外任一点的场强(设平面单位面积上的电量为设平面单位面积上的电量为 )。 解解 由对称性可知，由对称性可知，P点的电场方向是垂直于平面向点的电场方向是垂直于平面向上的上的(即即y方

15、向方向)，所以，所以例例.3 求均匀带电圆环电荷电量为求均匀带电圆环电荷电量为q 轴线上任一点的场强。轴线上任一点的场强。 dldq由点电荷场强公式：由点电荷场强公式：2041rdldE rxrdldEdEx 2041cos 由于对称性可知由于对称性可知 0dE23220)(41axqxdEEx电场沿电场沿x x 方向方向1）2041xqEax 时，时，当当讨论讨论: :xa0dlPEdEdrr解：解：圆环上微元带的电荷圆环上微元带的电荷2）当）当00Ex，max22EEax时，当3）rdrdq20 xdPdrrxEd23220)(41rxxdqdEx 由对称性可知电场只沿由对称性可知电场只沿

16、x x 轴方向轴方向解：解：取微元电荷取微元电荷例例4.4. 求半径为求半径为R R ，面电荷密度为面电荷密度为 的均匀带电圆盘轴线的均匀带电圆盘轴线上任一点的场强上任一点的场强220012RxxdEEERxx讨论讨论: :1)，则，则当当02 ERx成为无限大带电平板成为无限大带电平板，则，则当当204xqERx 成为点电荷的电场成为点电荷的电场2）10-4 10-4 静电场中的高斯定理与散度静电场中的高斯定理与散度1.电场线电场线1.) 规定：规定：2. )电场线性质电场线性质(1) 电场线始于正电荷（或无穷远）终止于负电荷，不会在没电场线始于正电荷（或无穷远）终止于负电荷，不会在没有电荷

17、处中断；有电荷处中断；(2) 两条电场线不会相交；两条电场线不会相交；(3) 电场线不会形成闭合曲线。电场线不会形成闭合曲线。用一簇空间曲线形象地描述场强的分布。用一簇空间曲线形象地描述场强的分布。 曲线上每一点的切线方向为电场强度方向。大小为在垂曲线上每一点的切线方向为电场强度方向。大小为在垂直于场强方向上单位面积上的电场线数目。直于场强方向上单位面积上的电场线数目。pSNpE)()(EEdsE(a)正电荷正电荷(b)负电荷负电荷(c)一对等量正电荷一对等量正电荷(d)一对等量异号电荷一对等量异号电荷1 )定义定义2.电通量电通量通过任一面元的电场线通过任一面元的电场线的条数称为通过这一面的

18、条数称为通过这一面元的元的电通量电通量。cos)cos(dSnEdSdSdSdS 面元在垂直于场强方向的投影是面元在垂直于场强方向的投影是 ，dS 是面元是面元 的法线方向，的法线方向， 是场强是场强 的方向与面元的方向与面元 法向法向 的夹角。所以的夹角。所以 ndSnEcosEdSEdSdedS所以通过它的电通量等于面元所以通过它的电通量等于面元 的电通量的电通量,又因又因dSdsEdSE匀强电场匀强电场ndS nEE/E定义：矢量面元定义：矢量面元ndSSd大小等于面元的面积，方向取其法线方向。大小等于面元的面积，方向取其法线方向。SdEde通过任一曲面通过任一曲面S的电通量：的电通量：

19、SSeeSdEd0ed0ed0ed 非闭合曲面的边界绕行非闭合曲面的边界绕行方向与法向成右手螺旋法则方向与法向成右手螺旋法则nEnEnEen3.静电场的高斯定理静电场的高斯定理(Gauss theorem)表述：表述：e0静电场中任何一闭合曲面静电场中任何一闭合曲面 S的电通量的电通量 ，等于，等于该曲面所包围的电荷的代数和的该曲面所包围的电荷的代数和的 分之一。分之一。iinsideiSqSdE,01数学表达式数学表达式证明：证明：可用库仑定律和叠加原理证明可用库仑定律和叠加原理证明。1 )证明证明包围点电荷包围点电荷 的同心球面的同心球面 的电通量的电通量 等于等于 qSe0q球面上各点的

20、场强方向与其径向相同。球面上各点的场强方向与其径向相同。球面上各点的场强大小由库仑定律给出。球面上各点的场强大小由库仑定律给出。dSrqEdSSdEde2041qrEdSrqEdSSdEde20410202044qdSrqdSrqdSSSee此结果与球面的半径无关。换句话说，此结果与球面的半径无关。换句话说，通过各球面的电力线总条数相等。通过各球面的电力线总条数相等。从从 发出的电力线连续的延伸到无穷远。发出的电力线连续的延伸到无穷远。qqrE2) 证明包围点电荷证明包围点电荷 的任一闭合曲面的任一闭合曲面 的的 电通量电通量 等于等于 qSe0/q立体角立体角solid angle 2rSd

21、dqddldl0r0r平面角：平面角：由一点发出的两条射线之间的夹角由一点发出的两条射线之间的夹角ddlrdlr0cos单位：弧度单位：弧度补充：立体角的概念补充：立体角的概念为半径的弧长为半径的弧长r1取取dl1dl1r100rdl当然当然也也一般的定义：一般的定义：r射线长为射线长为线段元线段元dl对某点所张的平面角对某点所张的平面角11rdldr平面角平面角ddlrdlr0cos立体角立体角面元面元dSdS 对某点所张的立体角：对某点所张的立体角： 锥体的锥体的“顶角顶角”ddSrdSr 112002单位单位球面度球面度ddldl0r0rdl1r1ddSdS0r0r1dS1对比平面角，取

22、半径为对比平面角，取半径为1r球面面元球面面元1dsddSr 2cos定义式定义式弧度弧度计算闭合曲面对面内一点所张的立体角计算闭合曲面对面内一点所张的立体角球面度球面度4200SSrdSdld计算闭合平面曲线对曲线内一点所张的平面角计算闭合平面曲线对曲线内一点所张的平面角coslrdl000lrdl平面平面lr0l0r2库仑定律库仑定律 + + 叠加原理叠加原理思路：思路：先证明点电荷的场先证明点电荷的场 然后推广至一般电荷分布的场然后推广至一般电荷分布的场1) 1) 源电荷是点电荷源电荷是点电荷在该场中取一包围点电荷的闭合面在该场中取一包围点电荷的闭合面( (如图示如图示) )2.2.高斯

23、定理的证明高斯定理的证明 qSdSdE在闭合面在闭合面S S上任取面元上任取面元sd该面元对点电荷所张该面元对点电荷所张的立体角的立体角d点电荷在面元处的场强为点电荷在面元处的场强为EdE dSqrr dS402qd40E dSqdSS400iiSqsdE内qSdSdE点电荷在面元处的场强为点电荷在面元处的场强为rrqE204 rr 204cosrqdsSdq040q在所设的情况下得证在所设的情况下得证2)2)源电荷仍是点电荷源电荷仍是点电荷 取一闭合面不包围点电荷取一闭合面不包围点电荷( (如图示如图示) ) 1SdSd1E1r q在闭合面上任取面元在闭合面上任取面元1Sdd该面元对点电荷张

24、的该面元对点电荷张的立体角立体角2Sd也对应面元也对应面元2Sd两面元处对应的点电荷的电场强度分别为两面元处对应的点电荷的电场强度分别为21EE，2r1r2E2211sdEsdEd222201121044sdrrqsdrrq 22022210114cos4cosrqdsrqds010SsdE3) 3) 源和面均源和面均 任意任意根据叠加原理可得根据叠加原理可得E dSEdSSiiSqii01SdSd1E1r q2Sd2r1r2E1dd120此种情况下此种情况下仍得证仍得证0iiSqsdESdEEESdESSe)(321iinsideieneeSeqSdE,0211两点说明：两点说明：E 高斯定

25、律中的场强高斯定律中的场强 是由面内外是由面内外全部电荷全部电荷产生的。产生的。 通过闭合曲面的通过闭合曲面的电通量只决定于它所包含的电通量只决定于它所包含的 电荷，电荷，闭合曲面外的电荷对电通量无贡献。闭合曲面外的电荷对电通量无贡献。SSSnSdESdESdE2210 E例例: 关于高斯定理的理解有下面几种说法关于高斯定理的理解有下面几种说法,其中正确的是其中正确的是:() 如果高斯面上如果高斯面上 处处为零处处为零, 则该面内必无电荷则该面内必无电荷.() 如果高斯面内无电荷如果高斯面内无电荷, 则高斯面则高斯面 上处处为零上处处为零.() 如果高斯面上如果高斯面上 处处不为零处处不为零,

26、 则高斯面内必有电荷则高斯面内必有电荷.() 如果高斯面内有净电荷如果高斯面内有净电荷, 则通过高斯面的电通量必不为零则通过高斯面的电通量必不为零.() 高斯定理仅适用于具有高度对称性的电场高斯定理仅适用于具有高度对称性的电场.EEE高斯定理的用途：高斯定理的用途：当电荷分布具有某种对称性时，可用高斯定律求当电荷分布具有某种对称性时，可用高斯定律求 出该电出该电荷系统的电场的分布。比用库仑定律简便。荷系统的电场的分布。比用库仑定律简便。 卡文迪许就是用高斯定律来证明库仑定律的平方反比关卡文迪许就是用高斯定律来证明库仑定律的平方反比关系。这说明它们不是相互独立的定律，而系。这说明它们不是相互独立

27、的定律，而 是用不同形式是用不同形式表示的电场与场源电荷关系的同一客观规律。表示的电场与场源电荷关系的同一客观规律。对于运动电荷的电场，库仑定律不再正确，而高斯定律对于运动电荷的电场，库仑定律不再正确，而高斯定律仍然有效。仍然有效。0 E当已知场强分布时，可用高斯定律求出任一区域当已知场强分布时，可用高斯定律求出任一区域 的电荷、的电荷、电位分布。电位分布。p25*2. 从从 分布求电荷分布分布求电荷分布(不要求不要求)E 解解 高斯定理高斯定理 内内ssoqcosEdS 1 soscosEdSq 内内= o-ba.a2= oba2=8.85 10-12C。取立方体六个面为高斯面取立方体六个面

28、为高斯面,则立方体内的净电荷为则立方体内的净电荷为)( 左左右右上上下下前前后后 cosEdScosEdSo 左左 cosEdSo() 右右 cosEdSaaxyzoE+b(2a).a2 例例 Ex=bx ,Ey=0, Ez=0；求边长为；求边长为a的立方体内的净的立方体内的净电荷。电荷。 (a=0.1m,b=1000N/(c.m)4. 4. 高斯定理在解场方面的应用高斯定理在解场方面的应用利用高斯定理解利用高斯定理解E较为方便较为方便 常见的电量分布的对称性：常见的电量分布的对称性： 球对称球对称 柱对称柱对称 面对称面对称均均匀匀带带电电的的球体球体球面球面( (点电荷点电荷) )无限长无

29、限长柱体柱体柱面柱面带电直线带电直线无限大无限大平板平板平面平面Q的分布具有某种对称性的情况下的分布具有某种对称性的情况下对对例例1 1 均匀带电球面均匀带电球面Q根据电荷分布的对称性，根据电荷分布的对称性，选取合适的高斯面选取合适的高斯面( (闭合面闭合面) )解解: :取取过场点的过场点的 以球心以球心 o o 为心的球面为心的球面ESSdESEdSSdSE Er42Q总电量为总电量为半径为半径为R求：电场强度分布求：电场强度分布RoPrSdS 先从高斯定理等式的左方入手先从高斯定理等式的左方入手 先计算高斯面的电通量先计算高斯面的电通量SSdE Er42QERoPrSdS再根据高斯定理解

30、方程再根据高斯定理解方程04iiqrEEqrii402 过场点的高斯面内电量代数和过场点的高斯面内电量代数和? ?204rQERr 0iiqRr 0ERr 如何理解面内场强为如何理解面内场强为0 ? 0 ? 过过P P点作圆锥点作圆锥则在球面上截出两电荷元则在球面上截出两电荷元2211dSdqdSdq210114rdSdE220224rdSdEP1dq2dq在在P P点场强点场强1dq方向方向如图如图2dq在在P P点场强点场强方向方向如图如图d04d04dEdE12 结果表明：结果表明：均匀带电球壳外的场强均匀带电球壳外的场强分布正象球面上的电荷分布正象球面上的电荷都集中在球心时所形成都集中

31、在球心时所形成的点电荷在该区的场强的点电荷在该区的场强分布一样。在球面内的分布一样。在球面内的场强均为零。场强均为零。EQRr例例2、均匀带电的球体内外的场强分布。设球体半径为均匀带电的球体内外的场强分布。设球体半径为R，所带总带电为所带总带电为QrRQrE430Rr 3033302343414RQrRQrrESdESrrQE420解：解：它具有与场源同心的球对称性。固选取同心的球面为高它具有与场源同心的球对称性。固选取同心的球面为高斯面。斯面。 注意：球内注意：球内0. 0ErRr Rr EQRr解：解：该电场分布具有轴对称性。该电场分布具有轴对称性。距离导线距离导线 r 处一点处一点 p

32、点的场强方向点的场强方向一定垂直于带电直导线沿径向，并一定垂直于带电直导线沿径向，并且和且和 P点在同一圆柱面（以带电直点在同一圆柱面（以带电直导线为轴）上的各点场强大小也都导线为轴）上的各点场强大小也都相等，都相等，都沿径向沿径向。以带电直导线为轴，作一个通过以带电直导线为轴，作一个通过P点，点，高为高为 的圆筒形封闭面为高斯面的圆筒形封闭面为高斯面 S，通过通过S面的电通量为圆柱侧面和上下面的电通量为圆柱侧面和上下底面底面三部分的通量三部分的通量。l例例3、求无限长均匀带电直线的场强分布。求无限长均匀带电直线的场强分布。 设线电荷密度为设线电荷密度为ElS OrpSfacesideeSdE

33、SdE因上、下底面的场强方向与面平行，因上、下底面的场强方向与面平行，其电通量为零。即式中后两项为零。其电通量为零。即式中后两项为零。lqinsidei此闭合面包含的电荷总量此闭合面包含的电荷总量lrlEdSESdEefacesidefacesidee012bottomtopSdESdErEe02其方向沿求场点到直导线的垂线其方向沿求场点到直导线的垂线方向。正负由电荷的符号决定。方向。正负由电荷的符号决定。ElS Orp解：解：由于电荷分布对于所求场点由于电荷分布对于所求场点 p到平面的垂线到平面的垂线 op 是对称的，是对称的，所以所以 p 点的场强必然垂直于该点的场强必然垂直于该平面。平面

34、。0e0e又因电荷均匀分布在无限大的平面上，又因电荷均匀分布在无限大的平面上，所以电场分布对该平面对称。即离平所以电场分布对该平面对称。即离平面等远处的场强大小都相等、方向都面等远处的场强大小都相等、方向都垂直于平面垂直于平面当当 场强指离平面。场强指离平面。当当 场强方向指向平面。场强方向指向平面。例例4、求无限大均匀带电平面的场强分布。求无限大均匀带电平面的场强分布。设面电荷密度为设面电荷密度为eopeES选一其轴垂直于带电平面的圆筒选一其轴垂直于带电平面的圆筒式封闭面作为高斯面式封闭面作为高斯面 S，带电平带电平面平分此圆筒，场点面平分此圆筒，场点 p位于它的位于它的一个底面上。由于圆筒

35、一个底面上。由于圆筒侧面侧面上各上各点的场强方向垂直于侧面的法线点的场强方向垂直于侧面的法线方向，所以方向，所以电通量为零电通量为零；又；又两个两个底面底面上场强相等、电通量相等，上场强相等、电通量相等，均为穿出。均为穿出。SESdESdESdEfacerightSfacelefte202SSEe场强方向垂直于带电平面。场强方向垂直于带电平面。opeES02eE 场强方向指离平面场强方向指离平面;0e场强方向指向平面。场强方向指向平面。0e例例6、求两个平行无限大均匀带电平面的场强分布。求两个平行无限大均匀带电平面的场强分布。设面电荷密度分别为设面电荷密度分别为 和和 12解：解：该系统不再具

36、有简单的对称性，不能直接应用该系统不再具有简单的对称性，不能直接应用高斯定理高斯定理。然而每一个带电平面的场强先可用高斯然而每一个带电平面的场强先可用高斯定律求出，然后再用叠加原理求两个带电平面产生定律求出，然后再用叠加原理求两个带电平面产生的总场强。的总场强。BAC需注意方向。需注意方向。0022EEEC直流电路中的直流电路中的平行板电容器间的场强平行板电容器间的场强，就是这种情况。就是这种情况。ABC由图可知，在由图可知，在A 区和区和B区场强均为零。区场强均为零。C区场强的方向从带正电的平板指向区场强的方向从带正电的平板指向带负电的平板。带负电的平板。场强大小为一个带电场强大小为一个带电

37、平板产生的场强的两倍。平板产生的场强的两倍。BACrhESdESdESdESdESdE 2 侧面侧面侧面侧面下底下底上底上底根据高斯定理：根据高斯定理：0212 rhrhE 012 rE 例例5 求无限长均匀带电圆柱的电场分布求无限长均匀带电圆柱的电场分布,设半径为设半径为R电荷密度为电荷密度为 )(Rr 记住记住内部内部：r0, E1=0, 其它点其它点E 0.Poh所包围的电荷：所包围的电荷： h r2柱面外一点，根据高斯定理：柱面外一点，根据高斯定理：柱面内一点柱面内一点圆柱内任一点的场强沿径向。距中心同远处场强相同圆柱内任一点的场强沿径向。距中心同远处场强相同1. 对称性分析：对称性分

38、析：2. 高斯面：高斯面：选过选过P 点半径为点半径为oP，高为高为h 的同轴圆柱面的同轴圆柱面3. 计算计算，设电荷体密度为，设电荷体密度为 解：解：rRE0222 RhrhE rRE0222 可得可得思考：思考：l均匀带电圆柱面，柱内一点均匀带电圆柱面，柱内一点 E=？柱外一点柱外一点 E=？l利用场强叠加原理，求如下带电体的电场分布。利用场强叠加原理，求如下带电体的电场分布。1. 两平行的无限大带电平板内外的电场；两平行的无限大带电平板内外的电场；2. 带小缺口的细圆环圆心处；带小缺口的细圆环圆心处；3. 带圆孔的无限大平板；带圆孔的无限大平板；4. 带有空腔的圆柱体带有空腔的圆柱体O

39、处；处；5. 带有空腔的球体带有空腔的球体O 处。处。)(Rr rRE 1 1 2xRaoO/oO/例：半径为例：半径为R的球体，电荷成球对称分布的球体，电荷成球对称分布. (k为比例常数为比例常数) r为球心到该点的距离为球心到该点的距离. 求：球内外各点的场强求：球内外各点的场强(球的介电常数设为球的介电常数设为 0)rk R解解: 用高斯定理求解用高斯定理求解:当时当时Rr 3023414rrkrEsdE 03 rkE 对吗对吗? ? 错在错在何处何处? ?0022224 kEkrrE 与与 r无关无关rdrr2024kRrdrkdqqRrR 与与r2成反比成反比202022224rkR

40、EkREr 0 QsdE 而而2224krrdrrkdVQVV 例例 补偿法补偿法:用高斯定理求用高斯定理求E解解:相当于不挖在同一位置放上电荷密相当于不挖在同一位置放上电荷密度为度为 的同样大小的球体的同样大小的球体.场强为带电场强为带电+ 的大球与带电的大球与带电- 的小球的场强叠加的小球的场强叠加.34430211ddEdsEs013dE 所以所以带电小球在球心心处带电小球在球心心处02E0103dEE同理同理21EEEp21EEE一球体内均匀分布着电荷体密度为一球体内均匀分布着电荷体密度为 的正电荷的正电荷,若保持电荷分布若保持电荷分布不变不变,在该球体内挖去半径为在该球体内挖去半径为

41、r 的一个小球体的一个小球体,球心为球心为O,两球心两球心间间 距离距离OO=d, ( ) 如图所示如图所示,求求: (1)腔内腔内O处的处的 (2)球内球内P点处的点处的EEdr ,设设O,O,P三点在同一直径上三点在同一直径上,且且OP=d可得可得球体内球心处球体内球心处 d=0,E=0.O.0P O Or r032234)2(4rdE203212drE)4(323021drdEEEp因为因为: 方向如图方向如图; 0poEE ,O.0P oEpE0;pEdr高斯定理和库仑定律的关系高斯定理和库仑定律的关系 高斯定理是由库仑定律导出来的。高斯定理是由库仑定律导出来的。 高斯定理反映了库仑定

42、律的平方反比关系高斯定理反映了库仑定律的平方反比关系 F 1/r2 如库仑定律无此关系则得不到高斯定理，高斯定理是库仑定如库仑定律无此关系则得不到高斯定理，高斯定理是库仑定律平方反比关系的间接证明律平方反比关系的间接证明(证明的精度很高，直接用扭称法证明的精度很高，直接用扭称法证明精度很低证明精度很低)。 不能认为高斯定理和库仑定律完全等价不能认为高斯定理和库仑定律完全等价 “从高斯定理出发可导出库仑定律从高斯定理出发可导出库仑定律”说法欠妥。说法欠妥。高斯定理并未反映高斯定理并未反映静电场是有心力这一静电场是有心力这一 特点特点。实际上，不增加附加条件，如。实际上，不增加附加条件，如点电荷电

43、点电荷电场的方向沿径向或具有球面对称性等条件场的方向沿径向或具有球面对称性等条件，并不能从高斯定理推出，并不能从高斯定理推出库仑库仑 定律。定律。 库仑定律除说明电荷间的作用力有平方反比关系外，还说明电荷库仑定律除说明电荷间的作用力有平方反比关系外，还说明电荷间的作用力是有心力。间的作用力是有心力。在静电场范围内，库仑定律比高斯定理包含更多的信息。在静电场范围内，库仑定律比高斯定理包含更多的信息。 10-5 环路定理与旋度环路定理与旋度 电电 势势静电场力做功与路径无关静电场力做功与路径无关-静电场力是静电场力是保守力用库仑定律和叠加原理证明保守力用库仑定律和叠加原理证明)(l dE1. 静电

44、场的保守性和环路定理静电场的保守性和环路定理1 .) 点电荷的场中移动点电荷点电荷的场中移动点电荷 从从 到到 ,电场做的功：电场做的功：0qrdrrdrrqql dEl dEql dEqdA200004)cos(|点电荷点电荷 从从 P到到 Q点，电场所做的功为：点，电场所做的功为：oq QpdrrqqdAArrQP 4200rdrErrdq0ql dq0qQrQPrPrrdr)11(400QPrrqq QpdrrqqdAArrQP 42002.) 对于由多个静止点电荷组成的系统或静止的连续带对于由多个静止点电荷组成的系统或静止的连续带电体，可看成是由无数电荷元组成电体，可看成是由无数电荷元

45、组成.由场强叠加原理由场强叠加原理可得到电场强度的线积分（移动单位电荷的功）为：可得到电场强度的线积分（移动单位电荷的功）为：做功与路径无关做功与路径无关QPnQPQPl dEEEl dErdE)(21),(21QPAl dEl dEl dEQPnQPQP任何静电场，电场强度的线积分只取决于起始和终了任何静电场，电场强度的线积分只取决于起始和终了的位置的位置,而与路径无关。这一特性叫做而与路径无关。这一特性叫做静电场的保守性。静电场的保守性。静电场的保守性还可表述为：静电场的保守性还可表述为：在静电场中，场强沿任意闭在静电场中，场强沿任意闭合路径的线积分等于零。称合路径的线积分等于零。称为静电

46、场的环路定理或环流为静电场的环路定理或环流定理。定理。3.)静电场的环路定理静电场的环路定理Ll dE0注意注意:运动电荷的场不是保守场运动电荷的场不是保守场，而是，而是非保守场，将在磁场部分讨论。非保守场，将在磁场部分讨论。(Circuital theorem of electrostatic field)2、电势能、电势能静电力将电荷静电力将电荷 从电场中从电场中 点点移到移到 点静电场力做正功时，点静电场力做正功时，静电场的电势能减少。静电场的电势能减少。0qPQQbPPaQl dEl dEl dEol dEl dEPbQpaQq0qQrQPrPab0Eq0 在电场中在电场中a, b 两

47、点的电势能之差等于把两点的电势能之差等于把q0 从从a 点移至点移至b 点过程中电场力所作的功点过程中电场力所作的功讨论：讨论：q0 在电场中在电场中a 点电势点电势能能00paal dEqW1) 电势能是属于电势能是属于 和产生电场的源电荷系统所共有；和产生电场的源电荷系统所共有；2) 电势能的大小是相对的，电势能差才是有意义的。一般要选电势能的大小是相对的，电势能差才是有意义的。一般要选取势能零点取势能零点,设设q000pWbabaabbal dEql dFWWA0)(3.电势和电势差电势和电势差QPQPPQl dEUUU显然，场强总是从电势高处指向电势低处。显然，场强总是从电势高处指向电

48、势低处。定义：移动单位正电荷从电场中定义：移动单位正电荷从电场中 点移到点移到 点，点，静电力静电力所做的功所做的功，为静电场中，为静电场中两点的电势差两点的电势差:QP电势电势：(electric potential) 场点场点P的电势定义为：的电势定义为：当电荷只分布在当电荷只分布在有限区域有限区域时，电势零点通常选在无穷远处。时，电势零点通常选在无穷远处。PPPl dEUUU 将单位正电荷从将单位正电荷从P点沿任意路径移到电势为零的点时，静点沿任意路径移到电势为零的点时，静电力所做的功。电力所做的功。在实际问题中，也常常在实际问题中，也常常选地球的电势为零选地球的电势为零. 电势差电势差

49、与电势的零点选取无关。与电势的零点选取无关。当带电体为无限大时常选当带电体为无限大时常选取某一点电势为零取某一点电势为零电势差和电势的单位相同，在国际单位制中，电势的单位电势差和电势的单位相同，在国际单位制中，电势的单位为：焦耳为：焦耳/库仑（记作库仑（记作J/C），），也称为伏特（也称为伏特（Volt,V），），即即1V1J/C当已知电势分布时，可用电势差求出点电荷在电场中移动时当已知电势分布时，可用电势差求出点电荷在电场中移动时电场力所做的功：电场力所做的功：QPQPPQUUql dEqA)(00rrqE420ppppprqdrrql dEUUU02044pEqr4. 电势的计算电势的计算

50、例例1、点电荷产生的电场中的电势分布点电荷产生的电场中的电势分布和电势的定义直接积分。和电势的定义直接积分。解：解：用场强分布用场强分布0UpprqU04负点电荷周围的场电势为负负点电荷周围的场电势为负离电荷越远，电势越高。离电荷越远，电势越高。例例2、求均匀带电球面的电场中的电势分布。求均匀带电球面的电场中的电势分布。 设球面半径为设球面半径为R，总带电量为总带电量为QRQdrrQEdrrURrRrR02044)(:rQdrrQrURrr02044)(:在球面处场强不连续，而电势是连续的。在球面处场强不连续，而电势是连续的。正点电荷周围的场电势为正正点电荷周围的场电势为正离电荷越远，电势越低

51、。离电荷越远，电势越低。带电球壳是个等势体。带电球壳是个等势体。oErrQE0204oRrMPr0U例例3、求无限长均匀带电直线电荷线密度为求无限长均匀带电直线电荷线密度为 的电场中的电势分布的电场中的电势分布rE02解：解：已知场强为已知场强为 方向垂直于带电直线。方向垂直于带电直线。drrl dEl dEUpppppp0 0 020Crrrln2ln2ln20000由此例看出，当电荷分布扩展到无穷由此例看出，当电荷分布扩展到无穷远时，电势零点不能再选在无穷远处。远时，电势零点不能再选在无穷远处。 0r0ppr若仍然选取无穷远为电势零点，则由积分可知各点电势将为若仍然选取无穷远为电势零点，则

52、由积分可知各点电势将为无限大而失去意义。此时，我们可以选取某一距带电直导线无限大而失去意义。此时，我们可以选取某一距带电直导线为为 的的 点为电势零点，则距带电直线为点为电势零点，则距带电直线为 的的 点的电势：点的电势：popporr2.)电势的叠加原理电势的叠加原理由场强叠加原理和电势的定义，直接得出电势叠加原理。由场强叠加原理和电势的定义，直接得出电势叠加原理。iipppUl dEEl dEpU)()()(211r2r3rir1q2q3qiqp当电荷连续分布时，可以设想它由许多电荷元当电荷连续分布时，可以设想它由许多电荷元组成，将每个电荷元看成点电荷，它产生的电组成，将每个电荷元看成点电

53、荷，它产生的电势的叠加就是总的电势。可写为：势的叠加就是总的电势。可写为：pipiiirql dEpU04)(iiirqpU04)(表述：表述：一个点电荷系的电场中一个点电荷系的电场中,任一点的电势等于每一个任一点的电势等于每一个带电体单独存在时在该点所产生电势的代数和。带电体单独存在时在该点所产生电势的代数和。表达式：表达式：VrdqrU04)(VerdVrU04)(SerdSrU04)(LerdlrU04)(电荷体密度为电荷体密度为 的带电体产生的电势：的带电体产生的电势：e电荷面密度为电荷面密度为 的带电体产生的电势：的带电体产生的电势： e电荷线密度为电荷线密度为 的带电体产生的电势：

54、的带电体产生的电势： erdqdU0421220)(4)(RxqxU20212200)(44RxRdrdqdUeL例例4、试计算均匀带电圆环轴线上任一点试计算均匀带电圆环轴线上任一点P的电势。设已知带电的电势。设已知带电量为量为 qxRrpdq求求 半径为半径为R 电荷面密度电荷面密度 为的圆盘轴线上任一点的电势为的圆盘轴线上任一点的电势rdqdU04)(24222000 xxRrdUR22xr其中其中 例例5 一圆台一圆台(R1、R2)，侧面均匀带电，侧面均匀带电，电荷面密度电荷面密度为为 ，求顶点，求顶点o的电势。的电势。(取无穷远为电势零点取无穷远为电势零点)oR1R2rxdx 解解 r

55、qUo4 .2 rdx4ox pU 21xx sindrdx )(212RRo ,rx sin 由于由于 212RRopdrU 得得 例例6 一带电球体，半径一带电球体，半径R，电荷体密度为电荷体密度为 =Ar, A为常量；求为常量；求: 球内外的电场和电势。球内外的电场和电势。Rrdr1E24rordrrAr 204rR:rdrrAR 204244rARo2E24ro(2)电势电势rR:drEURr11drEUr22drER2ooARrRA412)(333rARo44解解 (1)电场电场 解解 将平面分为若干个圆环积分。将平面分为若干个圆环积分。 xpoRxpoRdrr Eo 412322)

56、(/rx x 2 rdrR2322)(41/oRxxqE 圆环圆环:222Rxxo 例例7 一无限大平面一无限大平面( ), 中部有一半径为中部有一半径为R的圆孔，的圆孔，求求圆孔中心轴线上圆孔中心轴线上p的场强和的场强和电势。电势。 (取取o点的电势为点的电势为零零) xpoRxpoRdrrrqUo4 圆环圆环:RrPxq222RxxEo oppl dEU2202Rxxdxox )(222xRRo 取取o点的电势为零点的电势为零, 求求p点点的的电势。电势。 例例6一真空二极管，其主要构件是一个半径一真空二极管，其主要构件是一个半径R1=5 10-4m的的圆筒形圆筒形阴极阴极A和一个套在阴极

57、外的半径和一个套在阴极外的半径R2=4.5 10-3m的同轴的同轴圆筒形圆筒形阳极阳极B，如图所示。阳极电势比阴极高如图所示。阳极电势比阴极高V=300伏，忽略伏，忽略边缘效应，边缘效应， 求求:(1)两极间的电场；两极间的电场；(2)电子刚从阴极发出时所受的力；电子刚从阴极发出时所受的力；(3)电子到达阳极时的速度。电子到达阳极时的速度。 解解 (1) 设设内外内外圆筒单位长度分别带电圆筒单位长度分别带电 ，由高斯定理，两由高斯定理，两极间的电场极间的电场:rEo2)(12llrEoR2BAR1两极间的电势差：两极间的电势差：1221ln2RREdrVRRo故电场为故电场为12lnRRrVE

58、(2)电子刚从阴极发出时所受的电场力电子刚从阴极发出时所受的电场力NRRReVeEFRr141211037. 4ln1方向沿半径指向阳极方向沿半径指向阳极B 。(3)由动能定理：由动能定理：221meV 电子到达阳极时的速度：电子到达阳极时的速度： =1.03 107(m/s)。R2BAR1rEo2 例例7一半径为一半径为R 的均匀带电球面，带电量为的均匀带电球面，带电量为 q ；球面外球面外有一均匀带电细线，电荷线密度为有一均匀带电细线，电荷线密度为 , 长为长为 l, 细线近端离球细线近端离球心距离为心距离为 ro, 如图所示。如图所示。求求细线受的力和细线在球面电场中细线受的力和细线在球面电