函数的单调性高考一轮复习

1、2.3 2.3 函数的单调性与最值函数的单调性与最值 忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点上升的上升的 下降的下降的 (2) (2)单调区间的定义单调区间的定义 若函数若函数f f( (x x) )在区间在区间I I上是上是_或或_，则称，则称 函数函数f f（x x）在这一区间上具有（严格的）单调性，）在这一区间上具有（严格的）单调性， _叫做叫做f f（x x）的单调区间）的单调区间. . 增函数增函数减函数减函数区间区间I I忆忆 一一 忆忆 知知 识识 要要 点点注意：注意：函数的单调区间是函数定义域的子集，求函函数的单调区间是函数定义域的子集，求函数的单调区间必须首先确定数的单调

2、区间必须首先确定函数的定义域函数的定义域2.2.函数的最值函数的最值 前提前提 设函数设函数y y= =f f( (x x) )的定义域为的定义域为I I，如果存在实数，如果存在实数M M满足满足 条件条件 对于任意对于任意x xI I，都有都有_； 存在存在x x0 0I I, ,使得使得_. _. 对于任意对于任意x xI I，都，都有有_；存在存在x x0 0I I, ,使得使得_. _. 结论结论 M M为最大值为最大值 M M为最小值为最小值 f f（x x）M Mf f（x x0 0）= =M Mf f（x x）M Mf f（x x0 0）= =M M忆忆 一一 忆忆 知知 识识

3、要要 点点B1，48热热 身身 练练 习习3.3.已知已知f f( (x x) )为为R R上的减函数，则满足上的减函数，则满足 的实数的实数x x的取值范围是（的取值范围是（ ） A.(-1,1) B.(0,1)A.(-1,1) B.(0,1) C.(-1,0)(0,1) D. C.(-1,0)(0,1) D.（-,-1)(1,+)-,-1)(1,+) 1 (|)1(|fxfC4.4.函数函数y y=(2=(2k k+1)+1)x x+ +b b在（在（-，+）上是减函数，则）上是减函数，则( )( ) A. B. A. B. C. D. C. D. D21k21k21k21k5.5.设设x

4、 x1 1, ,x x2 2为为y y= =f f( (x x) )的定义域内的任意两个变量，有以的定义域内的任意两个变量，有以 下几个命题：下几个命题： ( (x x1 1- -x x2 2)f f( (x x1 1)-)-f f( (x x2 2)0 )0 ( (x x1 1- -x x2 2)f f( (x x1 1)-)-f f( (x x2 2)0)00）. . ,1)(2xaxxf.) 1)(1() 1)(11)()(2221211222221121xxxxxxaxaxxaxxfxf则考点一考点一 函数单调性的判断与证明函数单调性的判断与证明思维启迪思维启迪（1）用函数单调性的定义

5、）用函数单调性的定义 （2）用导数法）用导数法则则 ，-1-1x x1 1x x2 21,0.+10.01, 012221xx. 0) 1)(1() 1)(22212112xxxxxxa即即f f( (x x1 1)-)-f f( (x x2 2)0,)0,f f( (x x1 1)f f( (x x2 2) )所以，函数所以，函数 （a a00）在（）在（-1,1-1,1）上）上递减递减。1)(2xaxxf解解 方法一方法一 设设-1-1x x1 1 x x2 211, , |x x1 1|1,|1,|x x2 2|1,|1,|x x1 1x x2 2|1,|0,0,-1-1x x1 1 x

6、 x2 21,00，所以，所以 【例例1 1】 判断函数判断函数 x x(-1,1)(-1,1)的单调性（的单调性（a a00）. . ,1)(2xaxxf跟踪训练跟踪训练上递增。在区间）（时，当上递减；在区间）（时，当证明：,)(0),0()(00)0()(1)(2222axfxfaxaxfxfaxxxaxaxxaxxaxf跟踪训练跟踪训练【例例2 2】已知函数已知函数f f( (x x)=log)=log2 2( (x x2 2-2-2x x-3)-3)，则使，则使f f( (x x) )为减为减 函数的区间是函数的区间是 ( )( ) A.(3,6) B.(-1,1) A.(3,6) B

7、.(-1,1) C.(1,2) D. C.(1,2) D.（-3,-1-3,-1） 思维启迪思维启迪D考点二考点二 求复合函数的单调区间求复合函数的单调区间 这是一个复合函数，先求出函数的这是一个复合函数，先求出函数的定义域定义域, ,然后再把它分解为二次函数和对数函数，根据复然后再把它分解为二次函数和对数函数，根据复合函数的单调性进行求解合函数的单调性进行求解. . 2求复合函数求复合函数yfg(x)的单调区间的步骤的单调区间的步骤(1)确定定义域确定定义域(2)将复合函数分解成基本初等函数：将复合函数分解成基本初等函数：yf(t)，tg(x)(3)分别确定这两个函数的单调区间分别确定这两个

8、函数的单调区间(4)若这两个函数同增或同减，则若这两个函数同增或同减，则yfg(x)为增函数；为增函数；若一增一减，则若一增一减，则yfg(x)为减函数，即为减函数，即“同增异减同增异减”跟踪训练跟踪训练 2 2、函数、函数y y= = 的递减区间为的递减区间为 （ ） A.(1,+) B. A.(1,+) B. C. D. C. D. 作作t t=2=2x x2 2-3-3x x+1+1的图像如图所示，的图像如图所示， 0 1, 0 1, 递减递减. . 要使要使 递减递减, , t t应该大于应该大于0 0且递增且递增, , 故函数故函数y y= = 的递减区间的递减区间为为(1,+).

9、(1,+). ) 132(log221 xxty21log21) 132(log221xxy43,(),43),21(A, 121,) 132(log221 xx解析解析 定义域：定义域： 【直击高考【直击高考】已知函数已知函数 x x1,+).1,+). 当当a a= = 时时, ,求求f f( (x x) )的最小值的最小值（20002000年上海高考题）年上海高考题）,)(xaxxxf 2221考点三考点三 函数的单调性与最值函数的单调性与最值解：解：2211)(xxf0211)(,21210,122xxfxx, 221)(,21xxxfa时当f f( (x x) )在区间在区间1,+)

10、1,+)上的最小值为上的最小值为f f(1)= (1)= .27 导数法导数法f f( (x x) )在区间在区间1,+)1,+)上为增函数，上为增函数，解法解法2 2 设设11x x1 1 x x2 2, ,则则f f( (x x2 2)-)-f f( (x x1 1)= )= 11x x1 1 0,20,2x x1 1x x2 22,2,f f( (x x2 2)-)-f f( (x x1 1)0,)0,f f( (x x1 1)0,0,x x0), 0), (1)(1)求证求证: :f f( (x x) )在在(0,+)(0,+)上是单调递增函数上是单调递增函数; ;(2)(2)若若f f( (x x) )在在 上的值域是上的值域是 求求a a的值的值. .(1)(1)证明证明 设设x x2 2 x x1 10,0,则则x x2 2- -x x1 10,0,x x1 1x x2 20,0,f f( (x x2 2)f f( (x x1 1),),f f( (