函数的单调性与凸性实用教案

1、12(1)( )0,( ,)()0()(),( ) ( ,) fxxa bffxfxfxa b若， 则 ， 由 上 式 得 ：所 以 在 内 单 调 增 加 ；12(2)( )0,( ,),()0()(),( )( ,)fxxa bffxfxfxa b若则， 由 上 式 得 ：所 以在内 严 格 单 调 增 加 ；,( ,)( ) x xa bfxxx对 于 任 意 的 ， 由 于 的单 调 性 ， 只 要 必 要 性 ： 就 有()( )0,fxfxxx( )0 xxfx令 ， 即 得 到 。第1页/共45页第一页，共46页。( ) ( , ) ( )0 ( )0),( )0 ( ) ( ,

2、 ) f xa bfxfxfxf xa b若 在 内 或 且使的点是一些离散的点，则 在 内严格单调增注：加或（减少）第2页/共45页第二页，共46页。解解 (1) 定义域定义域 ,)2)(1(6xx 31292)(23xxxxf例例2 确定函数确定函数的单调区间的单调区间.0)( xf令令2 , 121xx, 得得)(xf (2)(3) 以以2 , 121xx为分界点为分界点,将定义域分割将定义域分割,列表列表:x( )fx( )f x(,1)(1,2)(2,) 增增减减增增函数函数)(xf的单增区间为的单增区间为: 1 ,(,(2,).单减区间单减区间(q jin)为为:2 , 1 (12

3、1862xx第3页/共45页第三页，共46页。解解 (1) 定义域定义域 ,32)25()(xxxf例例3 确定函数确定函数的单调区间的单调区间.(2)(xf 332132)25(xxx3135xx 0)( xf令令 , 11x, 得得当当02x时时,)(xf 不存在不存在(cnzi),(3) 列表列表(li bio):x)(xf )(xf)0 ,() 1 , 0(), 1 ( 增增减减增增函数函数)(xf的单增区间为的单增区间为:0 ,(,(1,).单减区间单减区间(q jin)为为:.1 , 0(第4页/共45页第四页，共46页。利用单调利用单调(dndio)性证明性证明不等式不等式例4

4、证明不等式) 1( 132 xxx证明 令1( )2(3)f xxx)(xf ) 1(12xxx) 1 ()(fxfxxx132 1 时，即211xx0)( xf) , 1 , 即即)(xf在在上单增上单增,当当1x时时,0,当当1x时时,第5页/共45页第五页，共46页。sin2.2xxx证明当 时 练习1：sin( ),xfxx证明：设 则2cossin( )xxxfxx2cos(tan)xxxx0 (02)x( )0,/ 2fx因此 在 上单调递减，从而02sin2( ) ()2xfxfxx第6页/共45页第六页，共46页。5xxe证明:方程=2在(0,1)内有且仅例有一个实根.( )(

5、 )0,1(0)20,(1)20.( )0,( )0 xfxxefxffeffx 设-2,因在上 连 续 ，且由 零 值 定 理 ，在 (0,1)内 至 少 存 在 一 点使即在 (0,1)内 至 少 有 一证 明个 实 根 .( )(1)0(01),( )( )xfxexxfxfx又因为所以因在(0,1)内单调增加，于是在(0,1)内至多有一个零点.( )( )2xfxfxxe综上,在(0,1)内只有一个零点，即方程=0,亦即在(0,1)内仅有一个实根.第7页/共45页第七页，共46页。( ) , ( , )( )0,( )( )( ,6)f xa ba bfxf xf aa bxa设在上连

6、续，且在内证明在例内单调增加.( )( )( ),( , )f xf aF xxa bxa设证明2( )()( )( )( )()fxxaf xf aFxxa( ),f xa b在上满足拉格朗日中值定理,( )( )( )()f xf afxaax,第8页/共45页第八页，共46页。( , )( )0 xa bfx又当时，( )( , )fxa b在内单调递增.( )( )bxafxf故 当时 ，2( )()( )()( )()( )( )0,fxxafxaFxxafxfxa而( )( )( )( , )f xf aF xa bxa在内单调递增.第9页/共45页第九页，共46页。二、函数二、函

7、数(hnsh)的凸性与拐点的凸性与拐点ACB弧 是上凸的ADB弧 是下凸的第10页/共45页第十页，共46页。121212( ) (1)()(1) (), , 5.1.2 (0,1),( )( )f xIfxxf xf xx xIf xIf xI设函数 在区间 上有定义，如果 则称在区间 上是下凸的；如果上定式中的不等号严格成立，则称在区间 上是严格义下凸的。( )( , )( )( , )( )0,( , ).( , )( )0( ) ( , )f xa bf xa bfxxa ba bfxf xa b 设函数在开区间内二阶可导，则在内下凸的充要条件是 如果在开区间 内定理5 则 在 内是严

8、格.1.6下凸的。第11页/共45页第十一页，共46页。010101,( , )(1) ,01,x xa bxxxxx设 是 内任意两点，令 证明：1021Lagrange, ,x xxx由中值定理， 使得010()( )f xf xfxx101( )(1)f xfxx121()()f xf xfxx201()f xfxx 010112()(1) ()(1)( )()f xf xf xxxff于是 第12页/共45页第十二页，共46页。( )0, ( , )fxxa b 如果 ，则0112(1)( )()0 xxff ，01()(1) ()f xf xf x从而 ；( )0, ( , )fxx

9、a b 如果 ，则0112(1)( )()0 xxff ，01()(1) ()f xf xf x从而 ；充分性：第13页/共45页第十三页，共46页。必要性：0( , )( )0 xa bfx（反证法）如果存在 使得 ，则000()()lim0,hfxhfxh0 h由极限的保号性，存在 使得当 时恒有00()()0,fxhfxh000( )()xxxfxfx因此当 时，；000( )()xxxfxfx当 时，；第14页/共45页第十四页，共46页。0 xx 任取 满足 ，则由Lagrange中值定理，001010()()( ), ,f xxf xfxxxx002020()()(), ,f xf

10、 xxfxxxx 201()()( )ffxf由于 ，因此0000()()()(),f xf xxf xxf x000()()(),2f xxf xxf x( ) f x但这与 下凸矛盾，证明完毕。第15页/共45页第十五页，共46页。( )( )0, f xIfxxI 在区间 上严格下凸并不能保证 注意：。42(- ,)120 0.yxyxx 例如在内严格下凸，但 在 处等于( , )( )0( )0).( )0( )( , )a bfxfxfxyf xa b如果在区间内恒有或且使得的点只是一些离散的点，则函数曲线在区间内严格下凸（或上凸）。第16页/共45页第十六页，共46页。00( )(

11、 ),()2yf xyf xxf x在函数曲线上，下凸弧与上凸弧的连接点称为曲线的拐点。记为(定义)00( )0( )( )0( ),()fxfxfxfxxf x注意拐点处或不存在，但或不存在时()不一定是拐点确定曲线下（上）凸区间与拐点的步骤：( )f x1求的定义域( )( )0( )fxfxfx2 求找使或不存在的点2( )fx3 以 中所找点为分界点，将定义域分割成部分区间列表讨论各个区间内的符号，再确定下（上）区间与拐点第17页/共45页第十七页，共46页。)0 , 5/1() 5/1,( ) (0, 列表列表(li bio)： 0 5/1xyy 0下凸下凸上凸上凸下凸下凸拐点拐点(

12、ui din)非拐点非拐点(ui din) ,(yy 0 y 令令, 5/11x得得32) 1(xxy的拐点及凸区间的拐点及凸区间. 例例8 求曲线求曲线解解 定义域为定义域为:,32353132xx343192910 xx341592xx 02x当当时时,y 不存在不存在.不存在不存在( 1/ 5,0), (0,)下凸区间： (,1/ 5) 上凸区间： 第18页/共45页第十八页，共46页。21( ).1fxxx练习2求函数 的凸区间：222( )11xfxx解：，22262( )1xfxx，1,3x 二阶导数的零点：( 1/3,1/3)(, 1/3 ) (1/ 3, ) 1/31/3xyy

13、 0上凸上凸下凸下凸下凸下凸拐点拐点(ui din)拐点拐点(ui din)0第19页/共45页第十九页，共46页。lnln() ln,2,0,.xyxxyyxyx yxy试 证例 9( )ln,( )( ), ,(0,),22f xxxf xfyxyfx yxy设 则只证需证明( )ln f xxx从而证明 是严格下凸的函数即可。第20页/共45页第二十页，共46页。,0,0 111 .pqababa bp qppqq例 10(Young设 ，且满 足， 试 证不 等 式 )21( )ln,( )0, 0f xxfxxx 设证明 则 ，( )f x因此 在 (0,+) 内严格上凸，于是ln1

14、1lnln,pqpqaapqabpqln ab 第21页/共45页第二十一页，共46页。 . pqababpq因 此1/1/11111,1 1 .pqnnnpqiiiiiiia bp qpbqa设 且 满 足，则Holder 不 等 式1/1/11,pqnnpqiipqiiaabb证明：记 ，则第22页/共45页第二十二页，共46页。111nniiiiiipqpqaba babab111pqniiipqabpaqb1111nnpqiipqiipqpq baba11pppqqpqqp aq bab111,pq第23页/共45页第二十三页，共46页。1.niipqia bab1 .ppppabab

15、Minkowski 不 等设 ， 则式1 nppiipiabab证 明 ：11npiiiiiabab11npiiiiiabab第24页/共45页第二十四页，共46页。1111nnppiiiiiiiiaabbab1/1/(1)111/1/(1)11 pqnnppqiiiiipqnnppqiiiiiaabbab111pq111111nnppppiiiippiiaabbab1,ppppabab第25页/共45页第二十五页，共46页。1,ppppppababab于 是 我 们 证 明 了.pppabab由 此 立 刻 得 到 第26页/共45页第二十六页，共46页。定理定理2 (极值极值(j zh)存

16、在的第一充分条件存在的第一充分条件)当当0 xx 时时,; 0)( xf当当0 xx 时时,; 0)( xf (1) 若若)(xf则则在在0 x处取得处取得极大值极大值.当当0 xx 时时,; 0)( xf (2) 若若当当0 xx 时时,; 0)( xf)(xf则则在在0 x处取得处取得极小值极小值. (3) 若若)(xf 在在0 x的邻近两侧的邻近两侧不变号不变号,则则)(xf在在0 x处处没有极值没有极值.在在0 x点连续，在点连续，在 的某一邻域内可导（的某一邻域内可导（ 可除外）可除外）)(xf设函数设函数0 x0 xxyab1x2x3x4x)(xfy 5x6x7x8x第27页/共4

17、5页第二十七页，共46页。(二二)求函数极值的方法求函数极值的方法(fngf)和步骤和步骤:( )f x 定义域 (1) 确定确定 (2) 求使求使0)( xf的点的点(驻点驻点),及使及使)(xf 不存在的点不存在的点; 593)(23xxxxf 例例1 求函数求函数的极值的极值.解解)(xf 9632xx )3)(1( 3xx0,得得. 3, 121xx 列表列表(li bio):x) 1,(1) 3 , 1(3), 3( )(xf )(xf00极大值极大值极小值极小值增增减减增增 极大值为极大值为:) 1(f0,1 极小值为极小值为:)3(f22. (3) 列表考察这些点左右区间上列表考

18、察这些点左右区间上 的符号，利用定理的符号，利用定理3 判别所找点是否极值点判别所找点是否极值点,并判别极大并判别极大(小小)值值.( )f x第28页/共45页第二十八页，共46页。解解223()2)(2f xxx求函数的单例调区间和极值.3(,),4(1)( )3(2)xfxxx 函数定义域为列表列表:x)(xf )(xf(- ,0)0不存在极小值(0,1)10极大值(1,2)2不存在极小值(2,)( )01,02( )fxxxxfx令得驻点当或时,不存在.第29页/共45页第二十九页，共46页。(,0),(1, 2)(0,1),(2,)0,2,(0)(2)01,(1)1.xxffxf所

19、以 ， 单 调 递 减 区 间 为单 调 递 增 区 间 为极 小 值 点极 小 值极 大 值 点极 大 值第30页/共45页第三十页，共46页。定理 3 （第二(d r)充分条件）, 0)( , 0)(00 xfxf设函数设函数0 x处具有二阶导数处具有二阶导数 ,且且)(xf在点在点则则 0)( 0 xf当当时时,)(0 xf为为极大值极大值; 0)( 0 xf当当时时,)(0 xf为为极小值极小值.第31页/共45页第三十一页，共46页。32()2397fxxx例求的 极 值 .,定义域为 -,+解2( )3183 (6)fxxxx x12( )00,6fxxx令， 得 驻 点( )61

20、8,(0)180,(6)180fxxff ( )0(0)276(6)135.fxxfxf 所 以在处 取 得 极 大 值 ，处 取 得 极 小 值第32页/共45页第三十二页，共46页。1) 1()( 32 xxf例例4 求函数求函数的极值的极值.解解 令令)( xf 22) 1(6xx) 15)(1(6)(22 xxxf)0(f ，01 f01 , 0 , 1321xxx,得得, 06 所以所以(suy)有极小值有极小值:; 0)0(f定理定理3失效失效(sh xio),用定理用定理2判断判断.当当1x时时,; 0)( xf01x时时,; 0)( xf1x不是不是(b shi)极值点极值点当

21、当10 x时时,; 0)( xf1x时时,1x不是极值点不是极值点; 0)( xf第33页/共45页第三十三页，共46页。注意(zh y)：(1)( )0( )0fxfx第二充分条件只能在且的驻点处使用(2)第一充分条件对任意点都可以使用第34页/共45页第三十四页，共46页。( (三三) )最值的求法最值的求法若函数若函数)(xf在在,ba上连续，上连续，,ba上取得最大值和最小值上取得最大值和最小值.则必在xyoab求最值的方法求最值的方法(fngf):2 若函数若函数)(xf在在),(ba内取得内取得最值最值，则此点一定取得，则此点一定取得极值极值1 求出最值点的存在求出最值点的存在(c

22、nzi)范畴：端点、驻点、导数不存在范畴：端点、驻点、导数不存在(cnzi)的点的点2 计算函数计算函数)(xf在这些点处的函数值在这些点处的函数值; 3 比较这些函数值的大小比较这些函数值的大小,其中其中最大者最大者与与最小者最小者就是函数就是函数)(xf在区间在区间,ba上的上的最大值最大值和和最小值最小值.x01 函数函数)(xf可能在可能在端点端点取得最值。取得最值。说明(shumng)第35页/共45页第三十五页，共46页。1233( )(1)112f xxx求函数在， 上的最大值和例最小值.2313,3(1)xyxx解10,3yx令得01xxy当或时， 不存在.区间 -1,2 上的

23、端点，驻点，导数不存在点的函数值如下表:x()fx134001 / 334 / 310232331( 1)42(2)2xfxf 最小值点，最小值最大值点，最大值第36页/共45页第三十六页，共46页。几种几种(j zhn)特殊情况特殊情况:1 若若)(xf在在,ba上上单调单调, 则在则在端点处取得端点处取得最值最值.,0 x2 若若)(xf在在),(ba内内只有一个极值点只有一个极值点0 x则当则当为为极大极大(小小)值值点时点时,)(0 xf就是就是最大最大(小小)值值.第37页/共45页第三十七页，共46页。2v要做一个容积为 的圆柱形罐头筒，怎么设计才能使例所用材料最省？要材料最省，就

24、是要罐头筒的总表解面积最小.rh设罐头筒的底半径为 高为 ，则总表面积为：222Srrh22VVr hhr222(0,)VSrrr,第38页/共45页第三十八页，共46页。32222(2)4VrVSrrr302VSr令得：3344()1202VVSSr32Vr 为极小值点，唯一极小值点就是最小值点3222VVrhrr 为最小值点，此时结论：当罐头筒的高和底直径相等时，用料最省第39页/共45页第三十九页，共46页。注意注意(zh y): 1 在实际问题中在实际问题中, 则按实际情况进行则按实际情况进行(jnxng)判断判断.2 当表示该实际问题的函数当表示该实际问题的函数在所讨论的区间内在所讨论的区间内只有只有一个可能的极值点一个可能的极值点时时,则该实际问题一定在该点取得所则该实际问题一定在该点取得所求的最大值或最小值求的最大值或最小值.()f x第40页/共45页第四十页，共46页。12 ABvv一束光线由空气中的 点经过水面折射后到达水中的 点，已知光在空气和水中的传播速度分别为 和 ,光线在介质中总是沿着耗时最少的路径传播，试确定光线的例3传播路径。第41页/共45页第四十一页，共46页。,OPxAB设 则光线从 点传至 解:点的时耗为：22221212()( ),xhlxhT xvv22221122( ),()xlxT xv