函数的单调性与曲线的凹凸性2实用教案

1、一、曲线一、曲线(qxin)凹凸的定义凹凸的定义【问题【问题(wnt)(wnt)】单调性不能反映曲线的弯曲】单调性不能反映曲线的弯曲方方 向；如何研究曲线的弯曲方向向；如何研究曲线的弯曲方向? ?xyoxyo1x2x)(xfy 图形上任意弧段位于图形上任意弧段位于(wiy)所张弦的上方所张弦的上方xyo)(xfy 1x2x图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方ABC第1页/共18页第一页，共19页。【定义【定义(dngy)】第2页/共18页第二页，共19页。二、曲线凹凸二、曲线凹凸(o t)的判定的判定xyo)(xfy xyo)(xfy abABabBA【定理【定理(dn

2、gl)1(dngl)1】【观察【观察(gunch)】第3页/共18页第三页，共19页。【证证】只证只证( (1) )如图如图由拉氏中值由拉氏中值(zhn zh)(zhn zh)定理可定理可得得第4页/共18页第四页，共19页。 两式相减得两式相减得即即亦即亦即凹的凹的证完证完第5页/共18页第五页，共19页。【例例1】【解解】【注意【注意(zh y)(zh y)到】到】【注】定理中区间为非闭区间时仍然【注】定理中区间为非闭区间时仍然(rngrn)(rngrn)成成立立. .这样这样(zhyng)(zhyng)的点称的点称为拐点为拐点. .第6页/共18页第六页，共19页。三、曲线三、曲线(qx

3、in)的拐点及其求法的拐点及其求法1、【定义、【定义(dngy)】【注意】拐点【注意】拐点(ui din)(ui din)处的切线必在拐点处的切线必在拐点(ui (ui din)din)处穿过曲线（指拐点处穿过曲线（指拐点(ui din)(ui din)处可导时）处可导时）. .2、拐点的求法、拐点的求法【分析分析】连续曲线上凹凸的分界点连续曲线上凹凸的分界点( 内点内点)称为曲线的拐点称为曲线的拐点.第7页/共18页第七页，共19页。所以要寻求拐点所以要寻求拐点, ,只要只要(zhyo)(zhyo)找出找出f f (x) (x)符号发生符号发生变化的分界点即可变化的分界点即可. .如果如果f

4、 (x)f (x)在区间在区间I I内具有二阶连续内具有二阶连续导数导数, ,则二阶导数值在由负变正或由正变负的过程中则二阶导数值在由负变正或由正变负的过程中, ,必在分界点处的值为零必在分界点处的值为零. .即即此外此外 二阶导数不存在的点也可能二阶导数不存在的点也可能(knng)是拐点（如下图）是拐点（如下图）xyo原点既是角点、又是拐点原点既是角点、又是拐点(ui din)(ui din)，不可导不可导可能的拐点可能的拐点【总结总结】第8页/共18页第八页，共19页。【方法【方法(fngf)(fngf)】【求拐点【求拐点(ui din)(ui din)的步骤】的步骤】设函数设函数f (x

5、)f (x)在在x0 x0的某去心邻域的某去心邻域(ln y)(ln y)内二阶内二阶可导可导, ,且且x0 x0是可能的拐点是可能的拐点, ,则则第9页/共18页第九页，共19页。【例例2】【解解】x拐点拐点(ui (ui din)din)拐点拐点(ui (ui din)din)第10页/共18页第十页，共19页。第11页/共18页第十一页，共19页。【例例3】【解解】但但 时时 0 x总有总有凹的凹的 故故xyo4xy 此例说明了此例说明了 的点的点 也可能不是拐点也可能不是拐点. .0)( xf)(,(00 xfx【结论【结论(jiln)】第12页/共18页第十二页，共19页。【例例4

6、4】【解解】【注意【注意(zh y)(zh y)】第13页/共18页第十三页，共19页。【凹凸性应用】【凹凸性应用】 由曲线由曲线(qxin)的凹凸定义证明不等的凹凸定义证明不等式式证明证明(zhn(zhngmng)gmng)教材教材(jioci)P1529(jioci)P1529(3)(3)【证证】令令则则于是由凹弧定义于是由凹弧定义有有即即2ln)(lnlnyxyxyyxx 得证得证【例例5】第14页/共18页第十四页，共19页。四、小结四、小结(xioji)曲线的弯曲曲线的弯曲(wnq)(wnq)方向方向凹凸性凹凸性; ;改变弯曲方向改变弯曲方向(fngxing)(fngxing)的点的

7、点拐点拐点; ;凹凸性的判定凹凸性的判定 f (x) 的符号的符号.拐点的求法：拐点的求法：1. .找出可能拐点；找出可能拐点；2. .判别判别. .一阶导数反映曲线的单调性；二阶导数反映曲线一阶导数反映曲线的单调性；二阶导数反映曲线的凹凸性的凹凸性凹凸性的应用凹凸性的应用:证明不等式证明不等式可能拐点可能拐点1. f (x) = 0的点；的点；2. f (x) 不不 存在的点存在的点.第15页/共18页第十五页，共19页。【思考题思考题】第16页/共18页第十六页，共19页。【思考题解答【思考题解答(jid)】【例例】xoy4xy 第17页/共18页第十七页，共19页。感谢您的观看(gunkn)！第18页/共18页第十八页，共19页。NoImage内容(nirng)总结一、曲线凹凸的定义。【注】定理中区间为非闭区间时仍然成立.。【注意】拐点处的切线(qixin)必在拐点处穿过曲线（指拐点处可导时）.。连续曲线上凹凸的分界点( 内点)称为曲线的拐点.。所以要寻求拐点