函数的导数和积分实用教案

1、7.1 7.1 函数函数(hnsh)(hnsh)的导数的导数 7.1.1 7.1.1 函数导数的解析解函数导数的解析解 使用符号求导函数的调用使用符号求导函数的调用(dioyng)(dioyng)格式是：格式是： diff(fun,x,n) diff(fun,x,n) 其中，其中，funfun是函数符号表达式；是函数符号表达式；x x是符号自变是符号自变量；量；n n是求导的阶数（是求导的阶数（n n为为1 1时可以省略）。时可以省略）。 例例7-1 7-1 计算函数的一阶和二阶导数。计算函数的一阶和二阶导数。 % % 求函数导数解析解求函数导数解析解 syms x % syms x % 定义

2、表达式中的符定义表达式中的符号变量号变量 f=sqrt(cos(x)-xf=sqrt(cos(x)-x* *sin(x); % sin(x); % 定义函数定义函数表达式表达式 disp ( disp ( 函数的函数的1 1阶导数：阶导数：),f1=diff(f),f1=diff(f) disp ( disp ( 函数的函数的2 2阶导数：阶导数：),f2=diff(f,2),f2=diff(f,2)第1页/共42页第一页，共43页。 M文件运行结果： 函数(hnsh)的1阶导数： f1 = -1/2/cos(x)(1/2)*sin(x)-sin(x)-x*cos(x) 函数(hnsh)的2阶

3、导数： f2 = -1/4/cos(x)(3/2)*sin(x)2-1/2*cos(x)(1/2)-2*cos(x)+x*sin(x)第2页/共42页第二页，共43页。 7.1.2 7.1.2 二维函数和参数方程二维函数和参数方程(fngchng)(fngchng)的偏导数的偏导数 1 1、二维函数的偏导数、二维函数的偏导数 使用符号求二维函数使用符号求二维函数fun(x,y)fun(x,y)偏导数的函偏导数的函数调用格式是：数调用格式是： diff(diff(fun,x),y) diff(diff(fun,x),y) diff(diff(fun,y),x) diff(diff(fun,y),

4、x) 其中，其中，funfun是函数符号表达式；是函数符号表达式；x x和和y y是符号是符号自变量自变量 例例7-2 7-2 计算二维函数的计算二维函数的2 2阶偏导数：阶偏导数：第3页/共42页第三页，共43页。 % 求二维函数2阶偏导数(do sh)解析解 syms x y % 定义表达式中的符号变量 f=x2*y/(x+y)3; % 定义二维函数表达式 disp ( 对变量x的2阶偏导数(do sh)：) d2x=diff(f,x,2) disp ( 对变量y的2阶偏导数(do sh)：) d2y=diff(f,y,2) disp ( 函数的2阶偏导数(do sh)：) dxy=dif

5、f(diff(f,x),y) disp ( 函数的2阶偏导数(do sh)的简化符号表达式：) sdxy=simplify(dxy)第4页/共42页第四页，共43页。 M文件(wnjin)运行结果： 对变量x的2阶偏导数： d2x = 2*y/(x+y)3-12*x*y/(x+y)4+12*x2*y/(x+y)5 对变量y的2阶偏导数： d2y = -6*x2/(x+y)4+12*x2*y/(x+y)5 函数的2阶偏导数： dxy = 2*x/(x+y)3-6*x*y/(x+y)4-3*x2/(x+y)4+12*x2*y/(x+y)5 函数的2阶偏导数的简化符号表达式： sdxy = -x*(

6、x2-7*x*y+4*y2)/(x+y)5第5页/共42页第五页，共43页。第6页/共42页第六页，共43页。 2、参数方程的偏导数 设参数方程为 和 ，计算参数方程k阶导数 的函数调用格式是： diff(f,t,k) / diff(g,t,k) 例7-3 计算参数方程导数 解析(ji x)解，并计算当 时的数值解。 % 求参数方程导数的解析(ji x)解 syms t % 定义参数方程中的符号变量 x=log(cos(t); % 定义参数方程1 y=cos(t)-t*sin(t); % 定义参数方程2第7页/共42页第七页，共43页。 dydx1=diff(y,t)/diff(x,t); d

7、isp(参数方程的1阶导数的简化符号表达式：) sdydx1=simplify(dydx1) dydx2=diff(y,t,2)/diff(x,t,2); disp(参数方程的2阶导数的简化符号表达式：) sdydx2=simplify(dydx2) % 计算t=pi/3时的二阶导数值(有效数字6位) s2=vpa(subs(dydx2,t,pi/3),6); disp( t=pi/3时的二阶导数值：),s2 M文件运行(ynxng)后得到的计算结果： 参数方程的1阶导数的简化符号表达式： sdydx1 = (2*sin(t)+t*cos(t)*cos(t)/sin(t)第8页/共42页第八页

8、，共43页。 参数方程的2阶导数的简化(jinhu)符号表达式： sdydx2 = -(-3*cos(t)+t*sin(t)*cos(t)2 t=pi/3时的二阶导数值： s2 = .148275 因此，参数方程一阶和二阶导数的解析解是：第9页/共42页第九页，共43页。 7.1.3 n7.1.3 n维函数的偏导数维函数的偏导数 1 1、n n维隐函数的偏导数维隐函数的偏导数 设设n n维隐函数为维隐函数为 ，由，由于变量于变量(binling)(binling)之间偏导数的关系是之间偏导数的关系是 则计算变量则计算变量(binling) (binling) 对变量对变量(binling) (

9、binling) 的偏导数的函数调用格的偏导数的函数调用格式是：式是： -diff(f,xj) / diff(f,xi) -diff(f,xj) / diff(f,xi)第10页/共42页第十页，共43页。 例例7-4 7-4 计算计算(j sun)(j sun)二维隐函数二维隐函数 偏导数的解析解。偏导数的解析解。 % % 求二维隐函数偏导数的解析解求二维隐函数偏导数的解析解 syms x y syms x y % % 定义函数表达式中的符号变量定义函数表达式中的符号变量 f=(x2-2f=(x2-2* *x)x)* *exp(-x2-y2-xexp(-x2-y2-x* *y); y); %

10、 % 定义二维隐函数表达式定义二维隐函数表达式 dydx=-diff(f,x)/diff(f,y); dydx=-diff(f,x)/diff(f,y); % % 计算计算(j sun)(j sun)二维隐函数的偏导数二维隐函数的偏导数dy/dxdy/dx disp ( disp ( 二维隐函数偏导数的简化符号表达式二维隐函数偏导数的简化符号表达式) sdydx=simplify(dydx)sdydx=simplify(dydx)第11页/共42页第十一页，共43页。 M文件运行后得到的计算结果： 二维隐函数偏导数(do sh)的简化符号表达式： sdydx = -(-2*x+2+2*x3+x

11、2*y-4*x2-2*x*y)/x/(x-2)/(2*y+x) 因此，二维隐函数偏导数(do sh)的解析解是：第12页/共42页第十二页，共43页。 2、jacobion矩阵 设有n个自变量 的m个函数 相应的偏导数(do sh)构成jacobion矩阵为第13页/共42页第十三页，共43页。 运用MATLAB符号工具箱函数(hnsh)可以直接求出jacobion矩阵 jacobion(f,x) 其中，f是n维函数(hnsh)，x是n维向量。 该函数(hnsh)用于计算n维函数(hnsh)f对n维向量x的jacobion矩阵，其第i行、第j列的值为。当f为数量时，所得的值为f的梯度。当v为数

12、量时，该函数(hnsh)相当于diff(f,x)。 例7-5 已知三维函数(hnsh) 试计算它的偏导数。第14页/共42页第十四页，共43页。 % 计算多维函数的导数 syms x y z f1=x*y*z;f2=x2-y;f3=x+z; disp( 多维函数表达式向量：) f=f1;f2;f3 disp( 多维函数的偏导数矩阵：) J=jacobian(f,x y z) M文件运行(ynxng)结果： 多维函数表达式向量： f = x*y*z x2-y x+z第15页/共42页第十五页，共43页。 多维函数的偏导数(do sh)矩阵： J = y*z, x*z, x*y 2*x, -1,

13、0 1, 0, 1 因此，三维函数的偏导数(do sh)矩阵是：第16页/共42页第十六页，共43页。 7.1.4 7.1.4 数值微分数值微分 根据函数在一些离散点的函数值，推算它根据函数在一些离散点的函数值，推算它在某点的导数或某高阶导数的近似值。通在某点的导数或某高阶导数的近似值。通常用差商代替常用差商代替(dit)(dit)微商，或用一能近似微商，或用一能近似代替代替(dit)(dit)该函数的较简单的函数（如多该函数的较简单的函数（如多项式、样条函数）的相应导数作为所求导项式、样条函数）的相应导数作为所求导数的近似值。针对实验数据数的近似值。针对实验数据X X（向量或多维（向量或多维

14、数组）数值微分，由于函数表达式是未知数组）数值微分，由于函数表达式是未知的，需要采用数值解法（中心差分方法的的，需要采用数值解法（中心差分方法的微分算法）。微分算法）。 例例7-6 7-6 已知一组实验数据如表已知一组实验数据如表7-17-1所示，试所示，试计算它的计算它的4 4阶微分。阶微分。 表表7-1 7-1 实验数据实验数据x0.00000.20000.40000.60000.80001.0000y0.39270.56720.69820.79410.86140.9053第17页/共42页第十七页，共43页。 % 用中心差分方法的数值(shz)微分算法 function dy,dx=di

15、ff_ctr(y,dt,n) yx1=y 0 0 0 0 0;yx2=0 y 0 0 0 0;yx3=0 0 y 0 0 0; yx4=0 0 0 y 0 0;yx5=0 0 0 0 y 0;yx6=0 0 0 0 0 y; switch n case 1 dy=(-diff(yx1)+7*diff(yx2) +7*diff(yx3)-diff(yx4)/(12*dt);l0=3; case 2 dy=(-diff(yx1)+15*diff(yx2)-15*diff(yx3)+diff(yx4)/(12*dt2);l0=3;第18页/共42页第十八页，共43页。 case 3 dy=(-dif

16、f(yx1)+7*diff(yx2)-6*diff(yx3)-6*diff(yx4)+7*diff(yx5)-diff(yx6)/(8*dt3);l0=5; case 4 dy=(-diff(yx1)+11*diff(yx2)-28*diff(yx3)+28*diff(yx4)-11*diff(yx5)+diff(yx6)/(6*dt3);l0=5; End dy=dy(l0+1:end-l0); dx=(1:length(dy)+l0-2-(n2)*dt;第19页/共42页第十九页，共43页。 % 用中心差分方法的数值微分算法调用M文件(wnjin) sx=0.0000 0.2000 0.4

17、000 0.6000 0.8000 1.0000; sy=0.3927 0.5672 0.6982 0.7941 0.8614 0.9053; y=sy,sx; dt=0.2; n=4; dy,dx=diff_ctr(y,dt,n) M文件(wnjin)运行结果： dy = 19.2187 -217.2292 581.9417 -611.7500 250.0458 -23.0271 dx = 0.6000 0.8000 1.0000 1.2000 1.4000 1.6000第20页/共42页第二十页，共43页。 7.1.5 7.1.5 函数的梯度和梯度的模函数的梯度和梯度的模 在向量微积分中，

18、标量场的梯度是一个向量在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场，标量场中某一点上的梯度指向标量场增场，标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向。梯度是一个向量，当某一函长最快的方向。梯度是一个向量，当某一函数在某点处沿着该方向的方向导数数在某点处沿着该方向的方向导数(do sh)(do sh)取得该点出的最大值，即函数在该点处沿方取得该点出的最大值，即函数在该点处沿方向变化最快，变化率最大，称为为该梯度的向变化最快，变化率最大，称为为该梯度的模。模。 n n维函数维函数 ，在点，在点 的梯度，是函数各维一阶偏导数的梯度，是函数各维一阶偏导数(do sh)(do sh)组成的向量组成的向量

19、第21页/共42页第二十一页，共43页。 梯度的模是函数各维一阶偏导数平方和的开方 1、计算梯度的符号函数 jacobian(fun,X) 其中，fun是符号函数表达式，X是定义求导变量组成的向量(xingling)（可以省略）。 2、计算矩阵或向量(xingling)范数的符号函数 norm(fun,X) 其中，fun是符号型函数表达式，X是定义求导变量组成的符号型向量(xingling)。第22页/共42页第二十二页，共43页。 例例7-7 7-7 计算函数在计算函数在 梯度和梯度模梯度和梯度模: : % % 计算多维函数的梯度和梯度的模计算多维函数的梯度和梯度的模 syms x1 x2

20、x3 % syms x1 x2 x3 % 定义定义(dngy)(dngy)符号变量符号变量 f=2f=2* *x12+5x12+5* *x22+x32+2x22+x32+2* *x2x2* *x3+2x3+2* *x1x1* *x3-x3-6 6* *x2+3x2+3 disp( disp( 三维函数的梯度：三维函数的梯度：) gf=jacobian(f)gf=jacobian(f) xk=1,-1,2;xk=1,-1,2; disp( disp( 函数在函数在xkxk点的梯度值：点的梯度值：) gfk=subs(subs(subs(gf,xk(1),xk(2),xk(3)gfk=subs(s

21、ubs(subs(gf,xk(1),xk(2),xk(3) disp( disp( 函数在函数在xkxk点的梯度的模：点的梯度的模：) gmk=norm(gfk)gmk=norm(gfk)第23页/共42页第二十三页，共43页。 M文件运行(ynxng)结果： 三维函数的梯度： gf = 4*x1+2*x3, 10*x2+2*x3-6, 2*x3+2*x2+2*x1 函数在xk点的梯度值： gfk = 8 -12 4 函数在xk点的梯度的模： gmk = 14.9666 因此，三维函数的梯度，以及在的梯度和梯度的模是：第24页/共42页第二十四页，共43页。第25页/共42页第二十五页，共43

22、页。7.2 7.2 函数函数(hnsh)(hnsh)的积分的积分 设 是函数 的一个原函数，则将函数 的所有原函数 （ C为任意常数）叫做函数的不定积分，记作 。 定积分 就是求函数 在区间(q jin)a,b 中函数图线下包围的面积。 第26页/共42页第二十六页，共43页。 7.2.1 7.2.1 不定积分不定积分(jfn)(jfn)的解析解的解析解 计算不定积分计算不定积分(jfn)(jfn)解析解的函数调用解析解的函数调用格式是：格式是： F=int(fun,x) F=int(fun,x) 其中，其中，funfun是被积函数；是被积函数；x x是自变量，如果是自变量，如果只有一个变量，

23、只有一个变量，x x可以省略。可以省略。 应当指出，计算结果应当指出，计算结果F(x)F(x)只是积分只是积分(jfn)(jfn)原函数，实际的不定积分原函数，实际的不定积分(jfn)(jfn)应该是应该是F(x)+CF(x)+C构成的曲线族，构成的曲线族，C C是任意常数。是任意常数。 例例7-8 7-8 计算不定积分计算不定积分(jfn)(jfn) % % 计算不定积分计算不定积分(jfn)(jfn) syms x a b; % syms x a b; % 定义表达式中的符定义表达式中的符号变量号变量 y=sin(ay=sin(a* *x)x)* *cos(bcos(b* *x); % x

24、); % 定义被定义被积函数积函数第27页/共42页第二十七页，共43页。 disp( 被积函数的不定积分：) F=int(y,x) M文件运行(ynxng)结果： 被积函数的不定积分： F = -1/2/(a+b)*cos(a+b)*x)-1/2/(a-b)*cos(a-b)*x) 因此，不定积分 第28页/共42页第二十八页，共43页。 7.2.2 7.2.2 定积分定积分 计算定积分的函数调用格式是：计算定积分的函数调用格式是： I=int(fun,x,a,b) I=int(fun,x,a,b) 其中，其中，funfun是被积函数；是被积函数；x x是自变量；是自变量；(a,b)(a,b

25、)是是定积分的积分区间，计算无穷积分时，需要定积分的积分区间，计算无穷积分时，需要将积分区间设置为将积分区间设置为(-inf,inf)(-inf,inf)。 例例7-9 7-9 计算定积分计算定积分 和和 的解析的解析(ji x)(ji x)解和数值解。解和数值解。 % % 计算定积分计算定积分 syms x; % syms x; % 定义表达式中的符号定义表达式中的符号变量变量 y1=xy1=x* *exp(x)/(1+x)2; % exp(x)/(1+x)2; % 定义被积函定义被积函数数1 1第29页/共42页第二十九页，共43页。 a1=0;b1=1; % 定义(dngy)积分区间1

26、disp( 被积函数1定积分的解析解：) F1=int(y1,x,a1,b1) % 计算y1的定积分 disp( 被积函数1定积分的数值解：) F1v=double(F1) y2=cos(x)/sqrt(x); % 定义(dngy)被积函数2 a2=0;b2=inf; % 定义(dngy)积分区间2 disp( 被积函数2定积分的解析解：) F2=int(y2,x,a2,b2) disp( 被积函数2定积分的数值解：) F2v=double(F2) M文件运行结果： 第30页/共42页第三十页，共43页。 被积函数(hnsh)1定积分的解析解： F1 = 1/2*exp(1)-1 被积函数(h

27、nsh)1定积分的数值解： F1v = .3591 被积函数(hnsh)2定积分的解析解： F2 = 1/2*2(1/2)*pi(1/2) 被积函数(hnsh)2定积分的数值解： F2v = 1.2533 因此，两个定积分的解析解和数值解是： 第31页/共42页第三十一页，共43页。 7.2.3 7.2.3 数值积分数值积分 求某函数的定积分时，在多数情况下，被求某函数的定积分时，在多数情况下，被积函数的原函数很难用初等函数表达出来；积函数的原函数很难用初等函数表达出来；另外，许多实际问题中的被积函数往往是另外，许多实际问题中的被积函数往往是列表函数或其他形式的非连续函数。对这列表函数或其他形

28、式的非连续函数。对这类函数只能使用数值积分计算函数的近似类函数只能使用数值积分计算函数的近似值。值。 1 1、梯形法求解数值积分、梯形法求解数值积分 梯形法求解数值积分的：将积分区间分割梯形法求解数值积分的：将积分区间分割成许多足够小的分区间，取各个矩形的面成许多足够小的分区间，取各个矩形的面积分别代替积分函数的曲线在各小段区间积分别代替积分函数的曲线在各小段区间上围出来的曲边梯形的面积，再将所有这上围出来的曲边梯形的面积，再将所有这样样(zhyng)(zhyng)的矩形面积加起来的总和，的矩形面积加起来的总和，近似地等于函数在这个区间上的定积分。近似地等于函数在这个区间上的定积分。 梯形法求

29、解数值积分的函数调用格式是：梯形法求解数值积分的函数调用格式是： s=trapz(x,y) s=trapz(x,y) 其中，其中，x x是向量；是向量；y y的行数应该等于的行数应该等于x x向量向量的元素数的元素数 第32页/共42页第三十二页，共43页。 例例7-10 7-10 用梯形法计算表用梯形法计算表7-27-2数据的定积分。数据的定积分。 % % 梯形法计算定积分梯形法计算定积分 x=0:0.1:1.2;x=0:0.1:1.2; y=0 2.2077 3.2058 3.4435 3.241 2.8164 y=0 2.2077 3.2058 3.4435 3.241 2.8164 2

30、.311 1.8101 1.3602 0.9817 0.6791 0.4473 2.311 1.8101 1.3602 0.9817 0.6791 0.4473 0.2768;0.2768; s=trapz(x,y)s=trapz(x,y) M M文件文件(wnjin)(wnjin)运行结果：运行结果： s =s = 2.2642 2.2642第33页/共42页第三十三页，共43页。 2、变步长辛普生法求解数值积分 变步长辛普生法求解数值积分的基本思想是：在梯形法的基础上，将积分区间逐次分半，计算出每个子区间的定积分近似值，并且求和。 变步长辛普生法求解数值积分的函数调用格式是 s ,n =q

31、uadl(fun,a,b,t0l) 其中，s是返回的定积分值； n是返回被积函数调用次数； fun是被积函数； a和b分别是定积分的下限和上限; tol是控制(kngzh)积分精度（默认 ）。 该函数适用于求解给定函数的数值积分。第34页/共42页第三十四页，共43页。 例例7-11 7-11 用变步长辛普生法计算定积分用变步长辛普生法计算定积分(jfn)(jfn)： % % 变步长辛普生法计算定积分变步长辛普生法计算定积分(jfn)(jfn) f=inline(exp(-f=inline(exp(-0.5.0.5.* *x).x).* *sin(x+pi/6),x); sin(x+pi/6)

32、,x); % % 定义被积函数和自定义被积函数和自变量变量 a=0;b=3a=0;b=3* *pi; % pi; % 定义积分定义积分(jfn)(jfn)区区间间 format long; % format long; % 数值按长格式显示数值按长格式显示 s,n=quadl(f,a,b,1e-15) % s,n=quadl(f,a,b,1e-15) % 计算计算y y的定积的定积分分(jfn)(jfn) M M文件运行结果：文件运行结果： s = 0.90084078781889s = 0.90084078781889 n = 828n = 828第35页/共42页第三十五页，共43页。 %

33、 绘制积分图形 fplot(exp(-0.5.*x).*sin(x+pi/6),a,b); % 符号函数绘图 hold on; x=a:pi/100:b; y=exp(-0.5.*x).*sin(x+pi/6); fill(a,x,b,0,y,0,y); % 填充积分区域(qy) xlabel(bfit x);ylabel(bfit y); title(bf 变步长辛普生法计算定积分); gtext(y=e-0.5xsin(x+pi/6); 输出图形（如图7-2所示） 第36页/共42页第三十六页，共43页。第37页/共42页第三十七页，共43页。 7.2.4 7.2.4 函数的重积分函数的重

34、积分 1 1、二维函数的数值积分（双重积分）、二维函数的数值积分（双重积分） 对于二维函数的双重定积分问题对于二维函数的双重定积分问题 可以可以(ky)(ky)直接使用函数进行求解矩形区直接使用函数进行求解矩形区域的数值积分，其调用格式是：域的数值积分，其调用格式是： y=dblquad(fun,xm,xM,ym,yM,tol) y=dblquad(fun,xm,xM,ym,yM,tol) 其中，输入参数其中，输入参数funfun是二维被积函数，可是二维被积函数，可以以(ky)(ky)用函数文件或函数用函数文件或函数inline()inline()定义；定义； (xm,xM,ym,yM) (x

35、m,xM,ym,yM)是指定的矩形区域；是指定的矩形区域； tol tol是指定的计算精度（默认精度是指定的计算精度（默认精度是是 ）。）。第38页/共42页第三十八页，共43页。 例例7-12 7-12 试计算二维被积函数在矩形试计算二维被积函数在矩形(jxng)(jxng)区域区域内的双重定积分：内的双重定积分： % % 二维函数矩形二维函数矩形(jxng)(jxng)区域的双重定积分区域的双重定积分 fun=inline(exp(-fun=inline(exp(-x.2/2).x.2/2).* *sin(x.2+y),x,y);sin(x.2+y),x,y); epsilon=1e-10

36、; % epsilon=1e-10; % 计算精度计算精度 I=dblquad(fun,-2,2,-1,1,epsilon); I=dblquad(fun,-2,2,-1,1,epsilon); % % 计算双重积分计算双重积分 format long format long disp( disp( 二维函数矩形二维函数矩形(jxng)(jxng)区域的双重定积区域的双重定积分：分：),I),I M M文件运行结果：文件运行结果： 二维函数矩形二维函数矩形(jxng)(jxng)区域的双重定积分：区域的双重定积分： I = 1.57449815921952I = 1.57449815921952第39页/共42页第三十