函数的最大值和最小值及应用举例ppt课件实用教案

1、1 如果(rgu)函数f (x)的最大(小)值在开区间(a,b)内取得，则最大最小者即为f (x)在a, b上的最小值。 求出函数(hnsh)在(a, b)内的全部驻点和不可导点的函数(hnsh)值， 而不可导点也可能(knng)是极值点，内可导，则函数的最大值与最小值只可能在开区间(a,b)内，或者在区间的端点 x = a,x = b处取得。设函数y = f (x)在闭区间a,b上连续，在开区间(a, b) 函数在开区间函数在开区间(a,b)内的极值点一定是函数的驻点，内的极值点一定是函数的驻点，(小)值点一定是函数的极大(小)值点，又因为可导 f (x) 在在 a, b上的最大值，上的最大

2、值，由此， 将它们与端点的函数值 f (a),f (b)加以比较，其中最大者即为一、闭区间上函数的最大值和最小值一、闭区间上函数的最大值和最小值第1页/共13页第一页，共14页。21.求驻点(zh din)和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数(hnsh)值,比较出最大值及最小值。最大最大( (小小) )值的求法值的求法oxyoxybaoxyabab步骤步骤(bzhu).,)(,)(与最小值存在上的最大值在上连续，则在若函数baxfbaxf最大值M = maxf (a), f (x1), f (x2), , f (xn), f (b)最小值m = minf (a), f (x1),

3、f (x2), , f (xn), f (b)其中 xi 为 f (x)在(a,b)内的所有驻点和不可导点。即第2页/共13页第二页，共14页。3例例1 1解解)1)(2(6)( xxxf.4 , 314123223上的最大值与最小值上的最大值与最小值的在的在求函数求函数 xxxy得得解方程解方程, 0)( xf. 1, 221 xx计算(j sun) )3(f;23 )2(f;34 )1(f;7;142 )4(f比较(bjio)得，最最大大值值142)4( f. 7)1( f最最小小值值第3页/共13页第三页，共14页。414123223 xxxy第4页/共13页第四页，共14页。5二、函数

4、在某区间二、函数在某区间(q jin)内可导且内可导且有唯一极值点的情形有唯一极值点的情形 如果(rgu)f(x)在一个区间(有限或无限，开或闭)内可导且只有一个驻点x0，并且这个驻点x0是函数f(x)的极值点，那么，当f(x0)是极大值时，f(x0)就是f(x)在该区间上的最大值；当f(x0)是极小值时，f(x0)就是f(x)在该区间上的最小值 f(x0) Oa x0 b x yf(x ) y f(x0) Oa x0 b x yf(x ) y第5页/共13页第五页，共14页。6例例2 2.最大值342的的求函数求函数 xxy解解,R函数的定义域为函数的定义域为 .2242 xxy. 2, 0

5、 xy得驻点得驻点令令显然(xinrn)：.2是函数的极大值点是函数的极大值点 x 由于函数(hnsh)(hnsh)在定义域内有唯一极值点，所以函数(hnsh)(hnsh)的极大值就算函数(hnsh)(hnsh)的最大值. .所以(suy)最大值为：. 12 xy第6页/共13页第六页，共14页。7三、具体三、具体(jt)应用举应用举例例 应当指出，实际问题中，往往根据问题的性质就可以断定函数(hnsh)f(x)确有最大值或最小值，而且一定在定义区间内部取得.这时如果f(x)在定义区间内部只有一个驻点x0，那么不必讨论f(x0) 是否是极值，就可以断定 f(x0)是最大值或最小值第7页/共13

6、页第七页，共14页。8例例3 3 铁路线上AB段的距离为100km.工厂C距A处为20km,AC垂直于AB为了运输需要，要在AB线上选定一点D向工厂修筑一条公路已知铁路每公里(n l)货运的运费与公路上每公里(n l)货运的运费之比3:5为了使货物从供应站B运到工厂C的运费最省，问D点应选在何处？100kmDABC20km第8页/共13页第八页，共14页。9先求y对x的导数(do sh)：解方程y 0，得x 15(km)其中以y|x15380k为最小，因此(ync)当ADx15km时，总运费为最省设AD x (km)，则 DB 100 x ， 设从B点到C点需要的总运费为y，那么y5kCD3k

7、DB (k是某个(mu )正数)，.40020222xxCD 2 54003100 0100ykxkxx即即 340052xxky,511500,380,4002100150 kykykyxxx由于由于解解第9页/共13页第九页，共14页。10并且(bngqi)电路必有最大输出功率，)( 如如图图最最大大？为为多多大大时时，输输出出功功率率为为求求负负载载电电阻阻，内内阻阻为为已已知知电电源源的的电电压压为为正正，如如下下图图所所示示的的电电路路中中，Rr , 32rRRrERP 求导可得求导可得 , )0( )(2 RRrRERP从而可得函数解解由电学知识(zh shi)可知，消耗(xioh

8、o)在负载电阻R上的功率为 P = I2R,其中I为回路中的rREI 根据欧姆定律又有 ，rRRP , 0)( 得驻点得驻点令令所以当负载电阻与内阻相等时，由于在(0,+)内函数只有一个驻点，输出功率最大。例例4 4电流强度。第10页/共13页第十页，共14页。11在解决最大(小)值的实际应用问题时,可以(ky)采取以下步骤： 再利用变量再利用变量(binling)之间的等量关系列出函数关系式之间的等量关系列出函数关系式 y = f (x)， 则可根据前则可根据前面面(qin mian)求最大求最大(小小)值的一般方法求解。值的一般方法求解。(1)将问题中能取得最大(小)值的变量设为函数 y，

9、 而将与函数有关联的条件变量设为 x，并确定(2)求出函数再定义域内的驻点，如果驻点只有一个， 并且由题意可知函数在定义域内必定存在最大值或最小值，则该驻点对应的函数值就是问题所求 的最大值或最小值； 如果驻点不止一个，函数的定义域。再判定函数是否在驻点处取得最大值或最小值。第11页/共13页第十一页，共14页。12四、小结四、小结(xioji)1.闭区间(q jin)上连续函数的最大值和最小值.2.函数在某区间内可导且有唯一(wi y)极值点时的极大值和极小值.3.具体应用举例.作业：第12页/共13页第十二页，共14页。13感谢您的观看(gunkn)！第13页/共13页第十三页，共14页。NoImage内容(nirng)总结1。最小者即为f (x)在a, b上的最小值。求出函数在(a, b)内的全部驻点和不可导点的函数值，。函数在开区间(a,b)内的极值点一定是函数的驻