概率论与数理统计(4183)第02章课后习题解答

1、习题2.1a1. 设随机变量X的分布律为PX=k= ,k=1,2,N求常数a.N解:由分布律的性质 -.=1P(X=1)申(X=2) + P+X=N) =1 aN* =1,即 a=113 572. 设随机变量X只能取-1,0,1,2这4个值,且取这4个值相应的概率依次为，求常数C.2c 4c Sc 16c1 OF 183. 将一枚骰子连掷两次，以X表示两次所得的点数之和,以丫表示两次出现的最小点数，分别求X,丫的分布律.注：可知X为从2到12的所有整数值.可以知道每次投完都会出现一种组合情况，其概率皆为(1/6)*(1/6)=1/36 ，故P(X=2)=(1/6)*(1/6)=1/36(第一次

2、和第二次都是 1)P(X=3)=2*(1/36 )= 1/18(两种组合(1,2)(2,1)P(X=4)=3*(1/36 )= 1/12(三种组合(1,3)(3,1)(2,2)P(X=5)=4*(1/36 )= 1/9(四种组合(1,4)(4,1)(2,3)(3,2)P(X=6)=5*(1/36 = 5/36(五种组合(1,5)(5,1)(2,4)(4,2)(3,3)P(X=7)=6*(1/36) = 1/6(这里就不写了，应该明白吧)P(X=8)=5*(1/36) = 5/36P(X=9)=4*(1/36) = 1/9P(X=10)=3*(1/36) = 1/12P(X=11)=2*(1/3

3、6) = 1/18P(X=12)=1*(1/36) = 1/36以上是X的分布律 投两次最小的点数可以是1到6里任意一个整数，即Y的取值了.P(Y=1)=(1/6)*1=1/6一个要是1,另一个可以是任何值P(Y=2)=(1/6)*(5/6)=5/36P(Y=3)=(1/6)*(4/6)=1/9P(Y=4)=(1/6)*(3/6)=1/12P(Y=5)=(1/6)*(2/6)=1/18P(Y=6)=(1/6)*(1/6)=1/36 以上是Y的分布律了 .一个是2,另一个是大于等于2的5个值 一个是3,另一个是大于等于3的4个值 一个是4,另一个是大于等于4的3个值 一个是5,另一个是大于等于5

4、的2个值 一个是6,另一个只能是62 OF 18品的个数，求X的分布律.解 :X=0,1,2C?Q 22X=0 时,PX=1 时,p一"L15X=2 时,P"抛掷一枚质地不均匀的硬币，每次出现正面的概率为，连续抛掷8次,以X表示出现正面的次数，求X3 的分布律.解:PX=k=_：；k=1,2, 3, 8X-123P1114246.设离散型随机变量X的分布律为x < PE < X < -b P2 < X < 3, P2 < X < 3 解:卩险扌 p-<x<-13P2<X<3 = -

5、+ - = -2441P2<X<3=2 S31 一47.设事件A在每一次试验中发生的概率分别为0.3.当A发生不少于3次时，指示灯发出信号,求:(1) 进行5次独立试验，求指示灯发出信号的概率；(2) 进行7次独立试验，求指示灯发出信号的概率.解:设X为事件A发生的次数，(1)14.设在15个同类型的零件中有2个是次品，从中任取3次，每次取一个，取后不放回.以X表示取出的次3 OF 18=0.1323+ 0.02835 + 0.00243 = 0.163# OF 18 : - - = 1-C； 0.3)°(0,7)7-C；谢6-$03)2(0.7=1-0.0824 - 0

6、.2471-0.3177 = 0.353&甲乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7.现各投3次,求两人投中次数相等的概率.解:设X表示各自投中的次数P(X = 0 = C?(0.6)°(0.4)3 * CS(OL7)0(OJ)3 = 0.064 * 0.027 = 0.002PX = 1) = C 扛 6)1(04尸.伪丄 z = 0288* 0.189 = 0.054P(X = 2 = Cf(0.6)2(0.4)x* Cf 2i = 0.432 * 0441 = 0191PX = 3 = Ci(0.6)0.4)°* C|(Ol7)3(03)0 = 0216 *

7、 0.343 = 0.074 投中次数相等的概率=- _- .- -.- .：. - I9. 有一繁忙的汽车站，每天有大量的汽车经过，设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001在某天的该段时间内有1000辆汽车经过，问出事故的次数不小于2的概率是多少？俐用泊松 分布定理计算)解:设X表示该段时间出事故的次数，则XB(1000,0.0001)用泊松定理近似计算 =1000*0.0001=0.1PX>2 = l-PX=0-PX=l=1-ch 0 畑胪-C 爲(0.000班0.9999)期=1 八7 _ 01e'cl = 1-0.9048 一 0.0905 二 0.0047

8、10. 一电话交换台每分钟收到的呼唤次数服从参数为 4的泊松分别，求:(1) 每分钟恰有8次呼唤的概率；(2) 每分钟的呼唤次数大于10的概率.解:一 一 -一.：一习题2.21. 求0-1分布的分布函数.' 0<0解:F(xj = qf0 <x< 1U>12. 设离散型随机变量X的分布律为：X-123P0.250.50.25求x的分布函数，以及概率解:右當一 15i<2F(x) = P0<x= PX = -1 = 025;當 2<x<3 時找(力=PX <x- PX = -1+HX = 2 = 025 + 05=(L7Sj當 x

9、A 3 時芒由=PX <x = PX = -1 + PX = 2+ PX =3= 025 + 0.5 + 0.25 = 1； 则X的分布函数F(x)为：0, x < 一 10 巫-l<x<20.75,2<x < 31, x3P1.5 <X< 2.5 = F(25) F(1.5)二 0.75-0.25 = 05PX > 05 = 1 一 F(0.5) = 1 一 025 = 0J53.设Fi(x),F2(x)分别为随机变量Xi和X2的分布函数，且F(x)=a F(x)-bR(x)也是某一随机变量的分布函数 证明a-b=1.证： 二-:-I二二

10、 1 二丨4. 如下4个函数，哪个是随机变量的分布函数：(0, x <-2(i). 一£兰丈吩(2,x>0:0, i<0(2) F2(x) = sinx7 Q<x<u 1, x>nx < 0f 0, x<0I ii l扌5. 设随机变量X的分布函数为F(x) =a+iarctanx,-&；' U a V求(1)常数a,b;_ 解：(1)由分布函数的基本性质<-/-:二-“；-1得：a +b * (-；) = 0a + b 询=11 ' 1解之a= , b=2 TI=m；-IT TlJI(将x=1带入F(x)

11、 =a+barctanx)注：arctan为反正切函数，值域( -)，arctan仁2 246. 设随机变量X的分布函数为0, x< 1F(x) = lnxT 1 < x< e，h x> e求一解：注：P0<I< 3 = F(3)-F(0 = 1-0 = 1;P2<Jf< 2.5= F(2.5)- F2)= Inl5-ln2 = ln = lnl.25习题2.31.设随机变量X的概率密度为:7 OF 18acosx,f(x) =wfl其他# OF 18# OF 18求：(1)常数a;(2)p Q<XCi；(3)X 的分布函数 F(x).(1

12、)由概率密度的性质n2 it /n uacosxdx = asinx| 心-as in asin 一一 = asin-+ asin- = a + a = 1x_匹2' 2丿222 2# OF 18# OF 18(2)卩條陀卜(訥11©-(加(。)=捋+訓V2-一些常用特殊角的三角函数值8 OF 18n0-10不存在(3) X的概率分布为：f710,x <2F(x) = -(1 + sinx),K2. 设随机变量X的概率密度为f(x)=昶T叫一8 <x< +oo,求：(1)常数a; (2)也监X < ：l;(3)X的分布函数.解：:f(x)dx二 J：迥

13、dx+ae_xdx = a+a = l,即 a=璋:號訂冷址陋加扔飞*(3) X的分布函数吐 x<011 -予 ej x> 03. 求下列分布函数所对应的概率密度：解匚二-.(柯西分布)1t(l+KZ9 OF 18# OF 18x> 0 x< 0解：fa(x) = Xe(ax>°(指数分布)x< 010 OF 18TEcosx?解：询=0-x-'（均匀分布）11 OF 18# OF 184. 设随机变量X的概率密度为f(x) = < 2 - x,0,（x, 0< x< 11< x<2其也.工 0<x<

14、; 12-x, <x<2a jvt求 F(xkF(x)=£/(/>*山卄旬览分段表达麻求Ffv）时注总分段求.# OF 18# OF 180严.JfE +(2t )(it工* 0<x< 1XO)=«2不 I <x<2 .a 其它 刊 *)=一on-x<00<A<l1<a<2x>2# OF 18Qx<()x20<x<lF(x)=2a2x 1,l<x<22L,x>212 OF 18# OF 18i2(1) P(X>4= l-Ff-= 1-L = l- = -

15、L 2)2728 S(2)P*<X<? = fC)-fC) =222z/5. 设K在(0,5)上服从均匀分布，求方程4- - 4?： -K - J二7二还丁 :(利用二次式的判别式) 解：KU(0,5)珂、0<x<5f(K)*5(6苴他方程式有实数根，则二'：I -'： 1' ：'' f'i :"卜：:：'2<K<-1故方程有实根的概率为：fsiPK<-1*PK>2 = 1护讥6. 设X U(2,5)现在对X进行3次独立观测，求至少有两次观测值大于3的概率.解:PK>3 =

16、l-F(3) = l- = -5-23至少有两次观测值大于3的概率为:7. 设修理某机器所用的时间X服从参数为入=0.5(小时)指数分布,求在机器出现故障时，在一小时内可 以修好的概率解:頊审能 &设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 x(以分计)服从参数为入=的指数分布，某顾客在窗口等待13 OF 18服务,若超过10分钟，他就离开他一个月要到银行5次，以丫表示他未等到服务而离开窗口的次数. 写出丫的分布律,并求口丫3!|解：未等到服务而离开的概率”为卩软逊询PY = M= CKe-3)k(l- /尸,(k =(MA3A5)丫012345P0.4840.3780.1180.0180.0

17、010.00004丫的分布律:PY > 1 = 1 - PY - 0 = 1 - 0.484 = 0.5169.设 X N(3J)，求: . ； - ' I .-",-.-.解：(1) p(2<<y<5 = * 仔卜 *(Y)= d(l 卜 17 £)= 0.8413-(1-0.6915) = 0532810-3=©(3.5) 1 -(亦)=0.9998 - 0.0002 = 0.9996= 1-(0.3085-0.0062) = 0.6977P(X>3= P"3二学)二 17(0二 1-仙二 0.5_ PX>

18、4 = l-PX>cPX>c + PX>c=l1c-3经查表一，即C=32 亠10.设 X N(O,1)设 x满足日鷹 】1±解：P|X>x«)42jl-<t>(x)<0.115 OF 1816 OF 18-<i> (x)< v ' 2019Q 20«(x)>0.95经查表当J.65时發® 强.即.J.65 时. ：.：.11. X N(1O,Y),求: -一=4>(25) - 1 - 4>(1.5)二 0.9938 - 0.0668 = 0.927 'flOl

19、d- 1O/1O - d -10=* () - 4> (j < 0.9=*0.95d经查表'-,即d=3.3212. 某机器生产的螺栓长度X（单位:cm）服从正态分布N（10.05,叮営）,规定长度在范围10.05二0.12内为 合格，求一螺栓不合格的概率.解：螺栓合格的概率为：P10t05 - 042 <X <10.05+012 = P953<J?<10A7/10.17-10.05/9.93 -10.05=4> -* k 0.06 丿 0.06=0（2）-1-。（2= 0.9772*2-1 二 0.9544螺栓不合格的概率为1-0.9544=

20、0.045613. 测量距离时产生的随机误差 X（单位:m）服从正态分布N（20,二）进行3次独立测量.求:（1）至少有一次误差绝对值不超过 30m的概率；（2）只有一次误差绝对值不超过30m的概率.解：-30 一 20(1)绝对值不超过30m的概率为：P-30<X40=0(025-1 - *(1.25) = 0.493130 一 2040至少有一次误差绝对值不超过30m的概率为：1-以灣命尸( 1 阳W L加务(2)只有一次误差绝对值不超过 30m的概率为：0(04931)1(1 0.4931)2 = 03801习题2.41.设X的分布律为-20230.20.20.30.3求二旳币往

21、i ,二的分布律. 解：的可能取值为5,1,-3,-5.由于PYi =5= P-2X +1 = 5 = PX = -2 = 02 啦=1= P-2X +1 = 1 = PX = -2 = 02 Ph = -3 = P-2X + 1 = -3= PX = 2 = 03 血=-5 = P-2X + 1 = -5= PX = 3= 03 从而L的分布律为：-5-315Y-L 0.30.30.20.2一 的可能取值为0,2,3.由于PY2 =O = PX = 0= PX =0= 0.2血=2 = PX| = 0=PX= -2 + PX = 2 = 02 + 0.3 = 0.5PY2 = 3 = P|X

22、 = 3 = PX =3= 0.3从而乜的分布律为：0.20.50.32. 设X的分布律为-10 120.20.30.10.4求.- 解:Y的可能取值为0,1,4.由于PY = 0 = P(X -1)2 = 0= PX = 1 = 01PY = 1 = P(X-l)2 = 1= PX 二 0 + PX = 2 = 0JPY = 4 = P(X-l)z=4= PX = -1 = 02从而"的分布律为：0140.1 0.70.2X"y3. XU(O,1)求以下Y的概率密度： Y二-21nX;Y = 3X+1;Y =吐1 _Y 1 Y -e_2 = - 6 2.2 2解:,曲；

23、= 鳥三三三门m 二匚 匚r. 1：二二fv(y) = f«(h(y)l h'(y)l = i*即 fy(y)= _Y 严 y>o,h&)=3(2)' =xi 二 m 亜佥一f 二 h二1 ifY(y) = fx(h(y)l hr(y)| = i*- = -1 < y < 4,o,其他7 yo即冷- v»冇 a注：由 XU(O,1)了二戈 亠，当 X=0时，丫=3*0+1=1;，当 X=1 时，丫=3*1+1=4 V 二y1 1fyCy) = fx(h(y)l H(y)| = t = °p 0<y<e,0,其他

24、注:，当 X=O时，二二二;；，当 X=1 时，二 丁 二4. 设随机变量X的概率密度为(3 2fx(x)F- -1<I<0 I 0,其他.求以下Y的概率密度：(1)Y=3X;(2) Y=3-X; (3):解:(1) Y=g(x)=3X, X = h(y)=-, F(y)WWM119 OF 18注意是绝对值(3) J战* 一，X=h(y)即即血'>1fY(y) = fx(h(y)lfh(y)l h©)|押Y elnY Y Y Y Y2h永远大于0 当x>0是,.P2 匝 2V?5.设X服从参数为入=1的指数分布，求以下丫的概率密度丫二小 丫二茫(1)Y

25、=2X+1;解:(1) Y=g(x)=2X+1, j ；壬X的概率密度为：xU I 0, xOfy(y)= fK(h(y)l 畑=沁弓(2) Y=g(x) =3-X, X=h(y) =3-丫，-1fY(y)=fx(h(y)l h©)| 斗(3-Y)2+匕鳖 即(0,其地-即一 一22Y4（其他1-e y >06 其他(2) 貳am辻色;二Y2 1 Y2 h (y) = *-= s' 6 318-3 < y < 0,is*J匕 其他1 1 _Xzl=e 22 2fY(y) = fx(h(y)l h©)i (二 y>l即-(0,其他20 OF 1

26、86. XN(0,1)求以下Y的概率密度：二'；工二 V 7解:(1) '.'_-1' - y :1 卫诃&(X)=2ff3 - 00 < X < +00v2u(j当 X二+Y时:-.；-当 X=-丫时:-:-吕册F f、1 -疋丄1 -疋 2 -疋百疋故fy(y)召'y>0lo, y<o Y = g(x)= 2X + 1,X= h(y)=捋,h'(y) =1 淨 t i fg(则呦储F自测题Y-1 2Jir(y -1)f 上 即；!-0,y <1一,选择题1,设一批产品共有1000件,其中有50件次品，从中

27、随机地，有放回地抽取500件产品,X表示抽到次品的 件数，则 PX=3= C .尸3尸,07<3<497TIA. ：B.、C.烁泱说曲严D. ciaooAioao5002设随机变量 XB(4,0.2)则 PX>3jA22 OF 18A. 0.0016 B. 0.0272 C. 0.4096 D. 0.8192 解:PX>3= PX=4= J Ll?门（二项分布）3设随机变量X的分布函数为F(x),下列结论中不一定成立的是D .A. ?'： - < i - 1 B.N v：j-0 C. UD. F(x)为连续函数4.下列各函数中是随机变量分布函数的为a. m

28、i： -miB.fo,F2（X）=z< 0jc > 0C. F.；b：二 Q1 启 < I 心D.3Fx）二+可 arctanx 厂 co < Jt <+oo5设随机变量X的概率密度为黃£ -1A. -10 B.5的C. D. 10500火-则常数a=_ A二<10r+ a - ad解:F（x） =|J_QO QX不晓得为何课后答案为D23 OF 18# OF 18A. 2-1 < T < 1-1< r < 1其他苴他&设连续型随机变量x的概率密度为f(x)二r0< r<2贝门匚6如果函数f(力二'

29、;o 其他是某连续型随机变量X的概率密度，则区间a,b可以是 CA. 0, 1 B. 0, 2 C.卜| D. 1,2 7设随机变量X的取值范围是-1,1,以下函数可以作为X的概率密度的是-1 < %< 1其他-1 < x < 1其他A. 0 B. 0.25 C. 0.5 D. 1解沖虽匕=化泊茁#9设随机变量XU（2,4）则"祸環弱老御=A .（需在区间2,4 内）a. P2.25 < x<325jb. P!5 <x< 25c. P15 < z< 45d. P4.5 < z< 5510设随机变量X的概率密度为-

30、_则八 '* 2v2n# OF 18A. N (-1,2) B. N (-1,4) C. N (-1,8) D. N (-1,16)11.已知随机变量X的概率密度为fx(x),令Y=-2X则丫的概率密度fy(y)为D自己算的结果是A. - B.二,填空题1已知随机变量X的分布律为XP123452a0.10.3a0.3则常数a= 0.1.解:2a+0.1+0.3+a+0.3=12.设随机变量X的分布律为X123P123666记X的分布函数为1 1 . 2F(x)则 F(2)= _解：3抛硬币5次记其中正面向上的次数为 X则凤恳兰細二"325 QPX<4=1-PJT = 5

31、 = 1-C5(5)©4.设X服从参数为入(入>0)的泊松分布，且二士二二J,则入=22触解:分别将I、已f _二二X的分布函数为x<aa<z <i>x>bT)，/a+S5.设随机变量0,F(x) = 0.41,其中0<a<b,则卩汐<區一解:P(-<7<1 = F= 0.4-0 = 046设X为连续型随机变量,c是一个常数,则買，-二0.7.设连续型随机变量X的分布函数为严+邛F(x)=0<X<216 OF 18x> 21 V则X的概率密度为f(x),则当x<0是f(x)=-.2Y > D一其中概率密度为f(x),&设连续型随机变量X的分布函数为4-严则 f(1)=汀；.9.设连续型随机变量X的概率密度为in.'/.'；-a< x<a其中a>0.要使，则常数a=# OF 18# OF 185<解:px>i=i-pU<i=?pU<i=-10设随机变量XN(0,1),號审为其分