概率统计课后习题解答第2章

1、习题22. 设离散型随机变量X的分布律为P(X = k) = 12342Ar + l求(1)常数 a： (2) PX < 2)(1)由吟4+ £) = 1,得“315248吟<2)十(灼)=強(答案有误)3. 颗骰子抛两次，以X表示两次中所得的最小点数，试求X的分布律。解X可能取值为1,2,6,用二维数组表示两次的点数，则两次中最小点数为1可表示为：(1, 1), (1,2), (2, 1), (1,3), (3, 1), ,(!,6),(6),于是 = 1 = 11/36 ,同理可得其余。4. 甲、乙两棋手约定进行10局比赛，以羸的局数多者为胜。设在每丿中甲 赢的概率为

2、0.6,乙赢的概率为0.4。假设各局比赛是相互独立的。(1)写出甲嬴局数的分布律：(2)试分别求甲胜、乙胜、不分胜负的概率。 解(1)设甲贏局数为X,则£(10,0.6)。(2)甲胜概率为PX >6 = 1- PX <5 = 1- BINOMDIST(5 J0,0.6J)=0.6332乙胜概率为 PX<4= BINOMDIST(4iQfi.6X) =0.1662不分胜负的概率 PX = 5= BINOMDIST(5 J 0,0.6,0) =0.20075. 某人独立地射击，设每次射击的命中率为0.02,射击400次，求至少两次 击中目标的概率.解:设击中目标次数为X

3、,则X - 3(400,0 02) o方法1： np = 400x0.02 = 8,利用泊松定理并査泊松分布表得px n 2u 工一 gY a 0.997方法2：利用excel函数PX >2 = 1- PX <1 = 1- BINOMDIST(1,400 fi.OIX)=1-0 002835 « 0.9976. 若每次射击中靶的概率为0.7,求射击10炮，命中3炮的概率，至少中3 炮的概率，最可能命中儿炮.解：设中靶次数为 X, n=10,j9=0.7,-3(10, 0.7)PX = Ar= C*0.7*0.3I0-/r = 1,2,10PX = 3=Cf00.73 0.

4、37,PX >3=1-PX =0- PX = 1- PX = 2=1-O.310-10x0.7 x0.39-45x0.72x0.3s= 1-xO.310 =1-8.8x0.39,3或10P(X > 3) = 2 0*0.7 0.3】°"Jt=3又矽= 10x0.7 = 7 ,所以最有可能命中7炮.7. 从学校乘汽车到火车站的途中有5个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是设X为途中遇到红灯的次数，求X的5分布律.解：8(5,0.4)8. 设离散型随机变星X的分布律是P(X = Ar) =e 片=1厶.k讨论常数C与；l应满足的条件CO上

5、8 2上解：因为 Xe=Ce z = Ce"1 (ex -1) = C(l-e),*-i ki k由 C(l-e")=l 解得 C=1_厂9设X服从参数2的泊松分布，且P(X=1)=P(X=2),求P(XM1)及 P(0 VX?V3)解：PX = k =任= 0J，2,由 Px = 1= px =2, H|J冇 = e f ,从而 2 = 2.la2!因此00 /? - 7CD 7<3= px = l =1!百rr = e-它7T 尸(e'7 = _ 尸.po < X211. 进行某种试验，设每次试验成功的概率为？，以x表示首次成功所需试4验的次数，试求

6、出X取偶数的概率.(原书此处有误)12. 盒内有3个黑球和6个白球，从盒内随机地摸取一个球，如果摸到黑球,则不放回，第二次再从盒中摸取一个球，如此下去，直到取到白球为止，记X为抽取次数，求X的分布律及分布函数.解:抽取次数X的可能取值为1, 2, 3, 4,且 px=i=- = -993P=2=-.- = -,9 84=3= I8 7143 2 1618414设连续型随机变量X的分布函数为a, x <1,F(x) = ibxlnx + cx + dX<x<e,d, x>e求常数a,b,c,d和X的概率密度。解由 F(-s) = 0 得 d = 0 ；由 F(+s) =

7、l 得 d =1； 由F(x)在x = l的连续性可得c + d = 0,即c = -l;由F(x)在x = e的连续性可得be + ce + d = d，即b =1.15 设连续型随机变量X的概率密度为(1)试确定常数“(2)若Pa< %<b=0.5,确定常数b.得 arctan a=0,从而 a=0 (2)由 Pa<X<b= f6 dx =(y 山 (1 + x2)得 arctan b-9 从而 b=l.417.已知随机变量X的概率密度试求X的分布函数.解：由于F(x)=因此当xWO时,故X的分布函数为F(x)=1 .2e，x<0,丄 r x>0.2 ，

8、1&设随机变最X的概率密度为/« =2xfi <x <1,0,其他以y表示对X的三次独立观察中事件XV0.5出现的次数，试求P(Y = 2) 0 解：每次观察的观察值不大于0.5的概率为px 0.1= f2x dx = 0.25.从而 Py = 2= C32(0.25)2(0.75)1 « 0.140619. 设某汽午站每隔20分钟有一辆汽车通过，乘客在20分钟内任一时刻到 达汽车站是等可能的，求乘客候车时间不超过15分钟的概率.解：由题意知，乘客到达汽车站的等待时间X服从0, 20上的匀均分布， 故20. 设随机变量XU1, 6,求一元二次方程F+FX

9、+l=0有实根的概率. 解：设P表示方程有实根的概率，由二用一4N0,得径2或壮一2,所以 P= PX22+ PX<-2= PX > 2 = ydx = |=0.821. 某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命（单位：小时）都 服从同一指数分布，其分布密度J_e_600 X >0/（X）= <600''0,x<0,试求：在仪器使用的最初200小时内，至少有一只电子元件损坏的概率a解：设电子元件的寿命为X, 只电子元件寿命大于200小时的概率为3只元件寿命均大于200小时的概率为丄a-p）3 = a-a-e_5）3=e-1.故3只元件中至少有

10、一只损坏的概率为<z = 1 - （1 - P）3 = 1 - e1.22.某厂生产的某种电子元件的寿命X（小时）服从正态分布N（1600, a2）, 如果要求元件的寿命在1200小时以上的概率不小于0.96,试求常数解：因 *"（1600。2）,故 ”一16°° N（0.1）.要 P> 1200 >0.96.即要 J-1600 .1200-16001CTG因此>0.96.反查标准正态分布表，得 >0.755,即(7 v 227.3(723.抽样调査结果表明，考生的数学成绩(白分制)近似地服从正态分布， 平均成绩(即参数“的值)为72

11、分,96分以上的占考生总数的2.3%,试求考生的 数学成绩在60分至84分之间的概率.解：由题意知，学生成绩X近似服从正态分布，即XM72qJ由=0.023卩灯96= P得(D(一) = 1 一 0.023 = 0.977.G査正态分布表得 即b = 12,从而a84-72aP60 <<84= p6° 72 < X12I a a=0(1)一 0(-1) = 20(1)-1 = 2x0.8413-1 = 0.6826 ,即考生成绩在60分至84分之间的概率为0.6826.24. 设随机变最XN (“，a2),且方程F + x+X"有实根的概率为0.5, 求未

12、知参数“。解 ffiP(A = l-4>0) = 0.5,得P(X51/4) = 0.5 ,由于 X 服从止态分布， 所以“ = 1/4.25. 设随机变量X的分布函数为F (x),概率密度/二妙+妮，其 中久(x)为标准正态分布的概率密度，£(x)是参数为;I的指数分布的概率密度， 已知F(0)=-,求常数d,b.8解 由 F(0) = j° /x)dx = a 力(x)必 + 方f f2(x)dx = O.5a + O =-得a = l/4.(原书答案有误)由 F(+s) =(x)dx = 匚兀(x)dx + b匚.(x)dx = a + b = l得"

13、3/4.26. 设随机变最X的概率密度2x,0 < x <1,f(x)= <0, 其它.现对X进行n次独立重复观测，以儿表示观测值不大于01的次数，求的分 布律.解：每次观察的观察值不大于0.5的概率为PX <0.1 = fix dx = 0.01.从而 Pn =上= c/(0.01)0.99)M_fc，世=0丄2,/27设测量的随机误差XN(0, IO?),试求在100次堕复测暈屮，至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率a 乂解：因则27(0,1),所以10>19.6= P> 1.96 > = 2 - 20(1.96) = 2-2x 0.975

14、 = 0.5K10设100次测量中，测量误差的绝对值大于19.6的次数为匕则8(100,0.5). 从而100 .Py >3= ZC100 O.95100'人3因;l = 100x0.5 = 5,由泊松定理得pk>3« Z ('*-3 k查泊松分布表得Pr >3« 0.875 .28.设随机变量X的分布律X-1012P2113I51010求y= x-+i的概率分布.解：由于随机变量x的可能取值为o, ±1, 2,所以随机变量r = 2+i的可能取值为1, 2, 5.PY = 1= PX = O=-,3PY = 5= PX = 2=

15、.10所以y的分布律为Y125p0.20.50.329设*U (0, 1),试求l-X的分布。 解设Y = l-X,由于X的概率密度为_ ri,x g(0J)°)一 o,其它1, l-ye(OJ)0, l-ye(OJL)利用公式/rO) = ZrW(y) Me)|可得Y的概率密度为/>09 = fAh(y) h，(y) 1= fxQ -刃=<即00 = J1,即1-x仍服从(0,1)上均匀分布。0, 其u30设随机变SJU1, 2,求随机变量Y = e2X的概率密度函数令(y)解X的概率密度为心：xu(h2)其它Y的分布函数为FY(y ) = PY<y= Pe2X

16、<y.由 e2X <y 可得：当y <e2 时，X <1 f 故 J>(y) = O；当y>e2时，Xl,因此有?>O)=FU<|1 叮=->4<y <e ,y >e*>4茁 <y <e其它.所以Y的概率密度为10) = F (y) =< 2y0,31设随机变量X服从标准正态分布，求以下随机变量的概率密度.(1) Y=ex； (2) 7=2X3+l；(3) Y=X.解 (1)因为Y = ex9故Y不取负值，从而，当丿<0时，则0*) = 0：当y>0时，Y的分布函数为与(y) = PY

17、<y = P0<Y <y = P0 < J <yy =P-co < X <liiy=(lny).从而，y>0时，i齐OX 与 Cv) = 0(x)lf y11= Q 厉/于是，Y = ex的概率密度为亠严”，y>0,0,其它(2)因卩=2炉+1,故Y在1,+s)取值，从而yvl时必(y) = 0； y >1,由于故了的分布函数为歼(y)= PY<y= P2X2 + l<y故y >1时,£ I亍皿_1)人g<v-l)/42“(d于是Y = 20+l的概率密度为q 如)My1,齐 9) = 2&&

18、#169;-1)0,其它.(3)对于 Y =X,显然，当 yvO 时,fY(y) = 0 ；当 y>0 时,FY(y=PX<y=P-y<y=-(-y)=20>0)-1.因此，y>0时，故Y=X的概率密度为Mx) =y >o, 其它./（X）=0,由于 y = niinX2 =;32设随机变量X服从指数分布，试求随机变量Y=mm Xf 2的分布函数. 解X的密度函数为x > 0,x <0.因此，当y>2 时，<） = !;当50 时，PY <y= PX <y=0当 0 < y v 2 时,PY<y= PX < y = dx =l-e_A，.所以Y的分布函数为o,y <o,码©)=卜严，0<y<2,1,y>2.34.设随机变量X的概率密度试求Y = l-1/X的概率密度.解Y的分布函数码。)=PY<y= P4x >l-y=PX>(l-y)31 r /rx 3 *=arctan(l - y) 1.n 2所以Y的概率密度为加)5=猛知在区间0