中纬度大尺度运动的准地转理论教材

1、1Chp.11 中纬度大尺度运动中纬度大尺度运动的准地转理论的准地转理论211.1准地转运动的分类准地转运动的分类 由前几节可知，大气中风压场间是近于地转关系的，这与实况一 致，当然，这种地转气流又不停做缓慢的演变，也正因如此，才有系 统的发生和发展。 从本节起，将对这种大气中的准地转运动的变化加以分析与讨论。回 忆：本章第一节曾指出：地转适应中位势运动重要，而达准地转缓慢 演变后，涡旋运动为主，故以下讨论将从天气尺度 出发：涡度方程) 1(0R垂直涡度方程准水平运动天气尺度3由此得一个重要关系：尺度分析)11.11()(.VfvVt aUfLU022HWHWf0)(0aLLfULU，故有：其

2、中， 是散度项大小， 是涡度项大小。HW)(0SRLU散地涡相涡HWfaUfLUHWfUaLULUULLU0022021/对流层厚度H柯惯数/Ro几何尺度参数S这样，按Rossby数与S之相对大小，可将准地转运动分为两类：)3.11()(SRLUHWo）地转（相对涡度散度4第一类准地转运动第一类准地转运动（10 RS）（11.7）表明：第一类准地转运动中，垂直速度量级甚小于从连续方程中 估计出的量级。VDLU再看（11.6），左边实为水平散度的量级，右边实为的量级，即 D10R表明：这类准地转运动具有涡旋运动为主的特点。由（11.6） 可知： WHRLU0WgHUf20.1，若认为它与绝热方程

3、分析出的大小相当，0HRLUHLgHUf20.10fg即：（11.9）10R1S天气尺度运动，水平运动尺度小于地球半径0RS0RHWLUR0（11.3）中S相对于可以略去：（11.6）10RLHUW 而上式中，故有（11.7）)3.11()(SRLUHWoLDUWLUDW估计出而由连续方程补偿原理LfURo05表明：运动的水平尺度L及垂直尺度H还与静力稳定度有关。22HL20fg故（11.9）还是两端平方去掉根号： ，故有：RRILfUUHg022022)( iRR .2011（11.11）10R1iR表明：必与同时成立，即层结高度稳定必与准地转相呼应。第一类准地转运动实际上指中纬度天气尺度运

4、动或水平尺度小于地球半径第一类准地转运动实际上指中纬度天气尺度运动或水平尺度小于地球半径的的大气长波，又称为天气尺度准地转运动。大气长波，又称为天气尺度准地转运动。SR 0第二类准地转运动第二类准地转运动（1）超长波尺度的准地转运动S1运动的水平尺度L与地球半径a相当，故可称行星尺度准地转运动。 SR00R（11.3）中可略去，得：HWaUaLLUSLU.HWaU，即（11.13）22UHgRi22UU乘以超长波最早由伯格提出)3.11()(SRLUHWo6表明：涡度方程（11.1）中，主要由散度项与项平衡，而涡度的水平方向 个别变化不重要，因而运动是准定常的；而且W与U成正比，而与L无关。D

5、LUHW/而S1,表明：水平散度与涡度量级相当。进一步，还可得出由涡度方程尺度分析估计出的垂直速度量级：SHLUgHUf201W，若认为它与由绝热方程估计出的W量级相当，则有：22UgHRi表明：与L无关，但与U有关。考虑 ，H002RRLagHULfUi1S考（11.15）：1 （11.16）)17.11(1120SRRROi或为便于比较：写出与(11.11)类似的式子：表明：（11.17）与（11.11）相比，两者具有不同。教材对这两类准地转运动各自的条件及特征作了很好的归纳。请同学看书写出总结。)15.11(1020agHUfHgHUfHSLU711.2 准地转运动方程组准地转运动方程组

6、摄动法摄动法11.2.1 摄动方法与多尺度方法摄动方法与多尺度方法 在自然科学的许多领域内，因为控制方程的非线性、变系数、边界条件的复杂性等等，很多问题难以求得解析解，为了寻求方程解的一些信息，只得求助一些大家熟知的近似解法（小扰动方法、级数解法）和数值解法，或者而发的结合使用。 近似方法中有一种重要的摄动方法，在频散波能量传播和Rossby波共振相互作用等方面已有广泛应用，取得了不少成果。奇异摄动理论实为一庞杂体系，这里仅简述其思路步骤，再由实例加以运用：（1）对方程和定解条件进行无量纲化；（2）选取一个合适的摄动量，它是一个无量纲的小的（或大的）参数；（3）将方程的解按此展开为幂级数，如

7、u=u0+ u1+ 2u2+; (4)将该级数代入到无量纲方程，可得关于小参数的各级近似方程，继而可确定出幂级数的各个系数u0、u1、u2、；（5）若是正规（则）摄动问题，就可对级数进行截断，便得到原方程之渐近解uu0+ u1+ 2u2BrillouinKramersWentzel&,小参数方法，8将代入，有：展开为幂级数：）将解按（数为摄动量；取得无量纲方程：两端除以代入上式，有无量纲化，取：分量方程例如，对浅水方程组动问题。有效的问题，称奇异摄渐近解在区域上非一直动问题；反之，一摄动问题成为正则摄上市一直有效的，则这量级，即渐近解在区域中，后项量级小于前项：渐进展式的相邻两项，若在

8、整个区域内满足对于合理的小.)21.11(.3)2(0)1 ()(,0)1 ()19.11(),1 (,),(),(),(),() 1 (, 0 11.2.2*22*1*0*22*1*0*22*1*0*00*0*0*2*2*2*0*0*oooooooooooRRvRvRvvuRuRuuRRxvyRuyvxutLfUUfxUfUvyRfyuvLUxuuLUtuLUyRffLUftULtvuUvuyxLyxxfvyuvxuutux*001LUfyfu可以取为摄动量,101oR01010102*102611UL9)23.11(0)22.11(00.,0.1.*1*0*1*0*0*0*0*0*0*0*

9、10*0*1*20*0*0*10*0*1*130*0*120*1*020*0*00*1*130*0*120*1*020*0*00*120*00*10*0*10*0*0*10*0*10*0*10*0*0 xvyvyuvxuutuxvxRxvyRvyRvRvyuvRyuvRyuvRyuvRxuuRxuuRxuuRxuuRtuRtuRRxvRvyRuRuyvRvxuRutR一级近似：零级近似：即有：1011.2.3第一类第一类斜压斜压准地转运动方程组准地转运动方程组为实际应用方便，用p坐标系（即静力平衡，亦即大尺度运动），其基本方程组为（当然，实为绝热无摩擦下实为绝热无摩擦下）：0.0spVtpVf

10、uyvpVtfvxupVt（11.28）其中，已取),( )(),(tpyxptpyx下面：先做无量纲化，同时应用上节得出的第一类准地转运动条件，再用摄动法展开，得零级近似（地转风方程组）和高一级近似（一类准地转方程组）。平面近似故可以用,aL p是二维算子，垂直向为向运动方程y连续方程绝热方程无关与tyx,向运动方程x11.首先用*量表无量纲量，取：*)/(*),*,(),(*)/(*,*),*,(),(0ULfLPUvuUvutULtPppyxLyx（11.29）（11.29）代入基本方程组（11.28）进行无量纲化前，还要对（11.28）的s和 f 进行处理：由（4.36）知，)(1ln

11、cpRppppps（11.30）将)(p代入上式，有：) (1ln) (1)(1pppscRpppppcRppppcRpppp即有：) (1psscRpppp（11.31）指一个等压面上的平均值,故不同等压面上不同,即是p的函数.0*PLUpyvxupyvxup系下连续方程：*001LUfyfu例如，扰动位势的地转尺度RTppRTp状态方程位温公式、静力方程121aLS另一方面，对第一类准地转运动，有，故可有平面近似：*)*1 (00yRff（11.34）将（11.31）、（11.34）随（11.29）一道，代入基本方程组（11.28），可得无量纲方程组：（11.35）无量纲化的方法已多次讲了

12、，故不再细推，其实前两式就是p.255（11.20）的前两式，只不过*p项。*00*00*2*000*2*()(1)0(V)(1)0V0(V .)()0ipRVuRyvtpxRvRyutpypRRR R pR pptppppc 13用WKB方法对（11.35）进行展开，这就需要选取合适的摄动量（无量纲小参数）。在（11.35）中，一共出现了4个无量纲参数：aLSpVpUPRSctgRctgaLULfULaULLfURsi22201000002200)(ln.sinsin.cos2*（11.37）10 RS0R现讨论的是第一类准地转运动，可以选取为摄动量（小参数）。14故有WKB法展开（已细推过

13、，故不再详讲）：将（11.35）中各未知量按0R展开： .*.*.*.*202010202010202010202010RRRRRvRvvvRuRuuu（11.38）0R0R代入（11.35），并按的各同次幂分别合并，若取零级近似若取零级近似（不含的各项），得：)4(0)3()2()1(*0*0*0*0*0*00Vpyuxv（11.39）水平无辐散）代入（；（）准水平、准静力平衡地转风！）地转风关系）、（大尺度运动基本特征：344(,2100vu15的项，略去经WKB法展开后的零级近似简化方程组：水平无辐散，且满足地转风关系，这与p.270所讨论的情况一致，故（11.39）称为地转风方程组。零

14、级近似反映了大尺度运动的主要特征，不过它表征的是不随时间变化的平衡运动，要反映运动变化本质，还需考虑一级甚至二级近似。0R20R一级近似一级近似（保留及更高阶项）简化方程组为：)4(0)3()2(0) 1 (020*1*0*0*1*1*1*0*1*0*0*1*0*1*0*0*RRpVtVpuuyyvVtvvyxuVti（11.40）不过，实际运用时，常用其变形表达式（涡度方程），下面考虑之：）合并为（）、（）、准涡旋性质下面拟将（532116*) 1 (*)2(yx涡度方程：0*1*0*0*0*0*VvyuxvVt（5） 上式建立起零级近似与一级近似之间的联系。主要表现为：除水平辐散项除水平辐

15、散项外，局地变化、平流变化及包含外，局地变化、平流变化及包含替。替。这种除散度项外其他项中水平运动均可取地转风近似,就是人们称的准地转运动准地转运动（quasi-geostrophic flow）。的项中，水平运动都可以用地转关系代的项中，水平运动都可以用地转关系代*0*1（4）与（5）联立，即构成了关于与的闭合方程组，写回到有量纲式：零级涡度零级涡度*0它实际上可表为地转风涡度。它实际上可表为地转风涡度。, ,由由(11.39)(11.39)知知, ,1*3p由 （ ） 知 ， 为 ： （11.45）0()(1)()()0(2)ggggsVfftpVtpp 平面近似涡度方程,绝热方程190方

16、程刘书坐标下要专门列出静力z170fhVhVgVs这就是准地转方程组，水平散度项前f取，且其中不取地转风近似，取，垂直方向上满足静力平衡（这里体现为取了p坐标），。其余各项中且绝热方程中静力稳定度取前面已推得的平均值准地转方程组（准地转方程组（11.45）有两个重要性质：（）有两个重要性质：（）绝热无摩擦下，有位）绝热无摩擦下，有位涡守恒；（涡守恒；（）闭合系统中能量守恒）闭合系统中能量守恒。下面分别予以说明：（）由)1()(1)()2(ppVtppVtsgsg0)1()()(0ppfVtfVtsggg即有：0)1()(0ppffVtsgg这表明：绝热无摩擦下，准地转位涡守恒绝热无摩擦下，准地

17、转位涡守恒。令为q准地转位势涡度得：）代入（ 1180pp Tpp 00A)1 ()(0f（）证明闭系统内动能有效位能守恒量：在这里闭系统指：在（地面）及（大气项）处，且（系统边界面A，实，再对闭系统积分，有：指气柱上下截面）。作运算 oTrTppppppAAggAgdpdApdpdAfVfdpdAtf00)(.00（11.51）xfvyfuyuxvggggg1,1,00kfVg10即120fg1) (120202200tftftftfg故有： 022ppAgTdpdAVt)(1)(1)(000ggggggVfffVffVf故有0Tp0AdA0p0度形式？多一项放进算子内写成通量散通量散度中积

18、分为零2)(1220gVttfgV19) (pp 0)(ppATdpdA，故有将、 、 代回到（11.51） 动能平衡方程（11.52） 20)(22ppppAAgTTdpdAdpdAVt（11.52）与Chp.7类同，静力平衡（p坐标）下，若取质量元gpAgpAzAVM)( （11.54），则上式改写为：（11.53）类似地，可得有效位能平衡方程（同学自己看书，时间关系从略）：（11.56）（11.53）（11.56）闭合系统中动能与有效位能之和守恒闭合系统中动能与有效位能之和守恒（11.57）22gMMVdMdMt 21()2sMMdMdMtp)2(0pfs2011.2.4第二类准地转运动

19、方程组（超长波尺度的准地转运动）第二类准地转运动方程组（超长波尺度的准地转运动）从实际结果看，用准地转涡度方程描述天气形势及定性定量预报，均比较满意。但天气系统得波长非常长与一类有不同：二类；由前已知，这时S1La平面近似已不成立故须用球坐标。超长波时，分析结果不理想，故其特点0R不过，水平尺度越大准地转关系越成立越小。实际上，由（11.16）110,10, 1220SRRRRRooii故这时而故水平运动方程完全可以简化为地转风方程，即：)2(1)1(cos1afuafv（11.58）;cos1costan) 1 (2aaufvf2cos1cos)2(auf南北方向上， 东西方向上。拟作涡度运

20、算：21两式相加且两端乘以 ：a10)tan1cos1(1avvauafvfa则有伯格方程：伯格方程：（11.59）其实，这是涡度方程在第二类准地转条件下的简化形式，考涡度方程（11.11）VfvVtSR 0aLLfU0对于第二类准地转运动，具体为 第二类准地转方程组中，绝热方程和连续方程不再简化绝热方程和连续方程不再简化，核心是，核心是Burger方程方程aUfLU022故有：在第二类准地转运动中， 的局地变化项及平流变化项相对于Burger方程！效应项可以忽略 0vfDayyf而球坐标下有,)88. 2(31, pD正是散度散地涡相涡HWfaUfLUHWfUaLULUULLU0022021

21、/2211.3 准地转位势倾向方程与准地转位势倾向方程与 方程方程对于准地转方程组（11.45）：0)()()(0sggggpVptpffVt2021fg0f（地转流函数)64.11()2()()()63.11() 1 ()()(2002sgggpVtppffVft故上述准地转方程组可以改写为关于t（重力位势倾向）及 （垂直速度）的二联方程组：以上二式，消去 ，即得位势倾向方程；消去t ，即得 方程。的撇号可以省略不写为简便，扰动位势又称变高t2311.3.1准地转位势倾向方程准地转位势倾向方程) 1 ()2(20pfs（11.65）ggV,对于重力位势而言（11.65）是预报方程，因右边的可

22、由表出 ,1,1200fkfVgg（见11.46），故由观测到的初始位势场 （而勿 需速度场的直接观测), 就可以计算预报出位势场的变化t，故（11.65）是数值预报中准地转模式之基础方程。 tt 但对位势倾向（11.65）是一个诊断方程，因左端只是的二阶空间 tt（x，y，p）导数但无时间导数。右边不含项，故是引起空间分布之 原因，称（外源）强迫项（外源）强迫项。)(t 作运算，即可消去 ，得准地转位势倾向准地转位势倾向方程方程：22220002213()()()()gggssfff VfVptpp 0,sf均 视 为 常 数24t 对于波状运动，可设或 在空间上沿x，y方向为谐波变化，例如

23、对于 ，有：lyppkxtAcos)cos()(00其中，k，l分别为x，y方向的波数，00p地面气压。00pp 0p则当时，位势差为；当时，位势差为0。)67.11()(1200022tpflks1t 13 温度平流随高度p的变化率项（因为2绝对涡度的地转平流项。（绝对涡度相对涡度地球自转涡度）pRTppp坐标下，与T成正比）。 22220002213()()()()gggssfff VfVptpp 一致。这与实际观测结果基本25故（11.65）可以定性地表示为（两端已共同消去一个负号）：32)()(TVpfVtggg可见: 绝对涡度平流，2 0t负 正大于小于大于小于0.暖平流0)(TVg随高度减弱(即随p增加而增加, )0)(TVpg将使0t 当然，实际情况要更复杂一点，例如，绝对涡度地转平流项2实可分为作用相反的两项：gggggvVfV.总结:正负变高-+绝对涡度平流 +低层暖平流,高层冷平流低层冷平流,高层暖平流26流场形势究竟是东移还是西退，决定于这两种平流何者占主导地位。 如图，考一个西风带中典型的谐波流型。反气旋式负涡度，气旋式正涡度.故：区有负的涡度平流 区有正的涡度平流 (指的是相对涡度)则区 区t大于小于0, 正负变高系统流型东移系统流型东