第三章 解题技巧§1合理选择研究对象,尽可能地减少中间未知量

1、第三章 解题技巧 评价解题方法的优劣，有两条标准：一是物理概念清楚；二是解题简便。同一道题，有的解得很繁，物理意义也不容易看得明白故见暗有的没有几步就作出来了，物理意义也十分清楚。这里就存在一个十分重要的技巧问题。解物理习题的技巧，概括起来主要有以下几条：1、 合理选择研究对象，尽可能地减少中间未知量；2、 根据独立性作用原理，把复杂问题拆成几个简单的，而后用叠加原理求解；3、 灵活运用数学工具。§1合理选择研究对象，尽可能地减少中间未知量解题忡的未知量，一种是待求的，另一种是非待求的俗称中间未知量。对于中间未知量又可分为两类：一类是是不可避免的，另一类是可以设法避免的。由于中间未知

2、量的出现，必然增加解方程的繁难，因此，对于可以设法避免的中间未知量，应该想方设法避免它。合理选择研究对象，是减少中间未知重要渠道之一。例如，用隔离法解力学题时,选择隔离体中就有一条：在独立方程的个数等于未知量个数的前提下，隔离体的数目应尽可能地少。最佳情况是：隔离体的数目等于待求的未知量的数目，此时中间未知量一个也没有出现。又如，气态变化过程的习题，有时由于研究对象选择不合理，中间未知量可能多了几个。因此减少中间未知量的问题一个重要问题。还有简谐振动中合理选择势能零点，力矩平衡问题中合理选择转轴，也都是减少中间未知量的重要措施。兹举例说明：例1 起重机用钢丝绳吊起一质量为m的物体，以速度作匀速

3、下降(图3-1-1)问当起重机突然刹车时，物体因惯性继续下降，使钢丝绳再有微小伸长是多少？(设钢丝绳的弹性系数为k，钢丝绳的重量忽略不计。)？这样突然刹车后，钢丝绳所受的最大拉力将有多大？分析把物体、地球和钢丝绳组成的系统作为研究对象，重力、绳子拉力都 是保守力。电动机拉绳的力是外力，但它的作用点的位移为零，故不作功，所以该系统满足机械能守恒定律。刹车瞬间的机械能为，最大伸长时的机械能为：。在此，把自然伸长处。作为弹性势能的零点。在最大伸长时作为重力势能的零点选择，这样零点的选择，说明重力时一定要谈绳子伸长；说明绳伸长时，也要一定谈重力。能否不考虑重力和伸长，从而使计算简便些呢？取物体和绳子作

4、为研究对象(注意不包括地球!)因此物体的重力成为外力了。但是考虑到重力和绳子的弹力相平衡，可把绳二重物时作为绳自然状态。这样仍可有机械能守恒定律：刹车瞬间的机械能为：；最大伸长处的机械能为：即 研究对象的这种选择当自然方便多了!例2均匀立方体的A的中点E靠在一个光滑的球冠上，AD与水平面间的夹角为。如立方体不发生滑动，立方体的A点与间的静摩擦因数应为多大？(图3-1-2)分析这一一个力的平衡问题。以立方体为研究对象，它共受四个力的作用：作用于重心O的重力G；与AD垂直且通过重心的球冠的支撑力N；作用于A点并与地面相垂直的向上的支撑力N1；作用于A点，方向向右的地面的静摩擦力。当静摩擦因数为最小

5、值时，这一静摩擦力为最大静摩擦力。解法一这立方体的边长为a，根据刚体的平衡条件：解方程组得： 上述(3)式是以A为转轴，其力矩的代数和为零。转轴的选择是任意的。选A为转轴比选E为转轴要简便。因为以A为转轴时，N1及F两个力的力矩都等于零。A、E是立方体的两个支持点，比较得到以A或E为转轴。但是不一定非选A或E不可。如果选取重心 O为转轴，则只要一个方程就可求出，因为重心O是N与G的交点。解法二取重心O为转轴，根据力矩平衡有：得： 这种解法有两个好处：一是省去了两个方程，二是最后的答案无无原则查表，就能知道600角的斜切值。解法一中的答案中出现、，还得查表计算，显然要麻烦多了。例3一长为的均匀直

6、杆AB，重量为G，用光滑的活动铰链固定在A点，B端搁在小车上。如果要使小车向右发生运动，至少必须用多大的水平力拉小车？设杆与小车间的摩擦因数为，杆与直线的夹角为，车轮与地面及轴间摩擦不计(图3-1-3)。解向右拉时，设水平拉力为F。要使小车向右发生运动，F至少应与杆、车间的摩擦力相等。式中的正压力Q尚不知道。Q不是杆的重量，因为就杆而言，在竖直方向共受G、Q和铰链作用力的作用，在此方向三力的合力为零，如列一方程，则因Q及铰链的作用力都不知道，所以正压力仍然求不出。能否将铰链的作用力排除在方程之外，又能将Q从一个方程中一次就解出呢？可以让我们把杆隔离出来。画出受力图3-1-4：其中、为铰链作用力

7、的两个分力。由于恰好拉动小车时可以把杆AB看为处于转动的平衡状态，即合力矩为零，心可以任意选取，但一般选在使中间未知量尽可以尽可能地少的。这是有关转动平衡问题中经常采用的一个技巧。按此原则，我们选在A点为旋转中心，这样、对A点的力矩为零，就把铰链作用力这个中间未知量排除在力矩平衡方程之外了。力矩平衡方程为：于是可得：由上可见，Q这个中间未知量是不可避免的，而铰链作用力这个中间未知量却因巧选矩心而排除了，因而为解题带来了不少方便。例4如图3-1-5所示质量分别为、的两个球，用弹簧连在一起，且以长为的线拴在轴O上，、均以角速度绕轴作匀速圆周运动。当两球之间距离为时，将线烧断，试求线被烧断时的瞬间两

8、球的加速度和(弹簧和线的质量忽略不计)。分析在匀速圆周运动过程中，球受到绳子的张力T和弹簧的作用力f的作用，用为提供向心力；球只受弹簧力f的作用。在连线烧断的瞬间，球突然失去了绳子的拉力T，但由于弹性，弹簧维持原状，即弹力f不变。牛顿第二定律具有瞬时性，连线烧断瞬间球的加速度由f决定，即：式中 k弹簧的弹性系数； x弹簧的伸长。球在连线烧断瞬间，仍由产生加速度，即：要求出和，必须求出x。这时把作为研究对象，当它以旋转时，有：如果选择为研究对象，则：可要求出x还得求T，多了一个中间未知数，所以为了求出和，将为研究对象为宜。解在连线烧断瞬间，有：例5如图3-1-6所示，两板、，铅球的质量。设绳子不

9、伸长，绳子、滑轮的质量及一切摩擦不计。试求铅球的加速度。分析因为绳子不伸长，绳子、滑轮的质量及一切摩擦不计，因此，铅球与两板的加速度是相等的，而且可以将问题简化：为了求出M的加速度，将M隔离，它受两个张力和一个重力，列出运动方程，式中除了加速度外，两个张力是中间未知量，为此还得将、分别隔离出来再列出两个方程。这样三个方程联立求得：由上式可以得到启发：为了求a，可将整体看成一个系统，该系统只受重力Mg (张力是内力) 的作用，帮按牛顿第二定律即可得上式。例6质量为M的物体A在离平板B为h高度处自由下落，打在B上，B的质量与A相等，B装置在弹性系数为K的弹簧上。设A与B发生完全非弹性碰撞。试求碰撞

10、后弹簧被 压缩的长度S (图3-1-7)。解法一该题分为三个物理过程： A自由下落过程：选择A与地球为系统，因为外力功，非保守内力功，所以系统的机械能守恒： A与B发生完全非弹性碰撞过程：选择A、B为研究系统。由于A、B碰撞时的冲击力(内力)比重力、弹簧对B的竖直作用力(外力大得多，故有，据此系统满足动量守恒定律： A、B一起作简谐振动过程：取A、B、弹簧、地球为研究对象。因为，所以系统满足机械能守恒定律。如取最低点R为重力势能的零点、取弹簧的自由长度为弹性势能的零点。则：式中为A未与B碰撞前对弹簧的压缩量，满足解此方程有： 取“+”得： 解法二 第一、第二过程同上，得A、B的共同速度为：第三

11、过程用简谐振动知识解：简谐振动过程中，满足机械能守恒定律，选O点为平衡位置，则系统的总势能为。故有：式中考虑到式(1)，有：因此弹簧的总压缩量为：例7有容积为1升和2升的容器在各一个，内储空气，并用一毛细管相连接。最初把这两个容器浸在的水中，最后把2升的容器用1000C的水蒸汽包围(1升容器的温度不变)。如果两的初审取初压强都为1atm。问最后压强多大？(设容器的膨胀、毛细管的传热都忽略不计)。解法一设两容器中空气的初始质量分别为、，压强为，温度为，根据理想缸体状态方程有：当两升的容器外面用蒸汽包围后，设两容器内气体分别为、，温度分别为和，压强都为。则即 在上述解题过程中，理想气体状态方程对两

12、个容器的始末状态各用两次，加上质量守恒，共得五个方程。五个方程中有五个未知数都可以求出。但是，其中只有一个是题目要求的，其它四个都是中间未知量。能否通过合理选择研究对象，将中间未知量减少呢？解法二设两个容器中的气体分子数为N，根据理想气体状态方程有：分别对两个容器的末状态应用理想气体状态方程有：由式(1)至(3)并注意到得：四个方程中有四个未知数，因此方程也解出来了。但四个未知数中，还有两个是中间未知量。能设法进一步减少方程和中间未知量吗？解法三假设所研究的对象是图3-1-8中大容器画阴影的部分和小容器的全部，对于画阴影部分的气体来说，体积从，膨胀为2升，压强从变为P2，温度从增加到，于是根据理想气体状态方程有：对于剩下的那部分气体，其初状态为：；末状态为：。于是根据玻意耳马略特定律有：联立(1)、(2)两式即可得：方程的未知数越少，解题越方便。能否只列出一个方程就把P2这个未知数求出来？解法四把大容器整个系统作为研究对象。初状态为；末状态分为两部分，其压强都为P2，