标准偏差与相对标准偏差

1、标准偏差标准偏差（也称标准离差或均方根差）是反映一组测量数据 离散程度 的统计指标。是指统计结果在某一个时段内误差上下波动的幅度。是正态分布 的重要参数之一。是测量变动的统计测算法。它通常不用作独立的指标而与其它指标配合使用。标准偏差在 误差理论、质量管理、计量型抽样检验 等领域中均得到了广泛的应用。因此，标准偏差的计算十分重要，它的准确与否对器具的不确定度 、测量的不确定度以及所接收产品的质 量有重要影响。然而在对标准偏差的计算中，不少人不论测量次数多少 ，均按贝塞尔公式 计算。样本标准差的表示公式S =（巴1严数学表达式：（$1 x）2 +（X2 i）2 + （叭可'71 1* S

2、-标准偏差（%）n值不应少于20-30个1n ；* n-试样总数或测量次数，一般* i-物料中某成分的各次测量值,标准偏差的使用方法*在价格变化剧烈时，该指标值通常很高。*如果价格保持平稳，这个指标值不高。在价格发生剧烈的上涨 /下降之前，该指标值总是很 低。标准偏差的计算步骤标准偏差的计算步骤是：步骤一、（每个样本数据-样本全部数据之平均值）2步骤二、把步骤一所得的各个数值相加。步骤三、把步骤二的结果除以（n - 1） （ “n指样本数目）。步骤四、从步骤三所得的数值之平方根就是抽样的标准偏差。六个计算标准偏差的公式标准偏差的理论计算公式设对真值为X的某量进行一组等精度测量，其测得值为1仆|

3、2、In。令测得值I与该量真值X之差为真差占0-则有02 = |2 - XOn = |n - X我们定义标准偏差（也称标准差）O为a = limnlimn(1)由于真值X都是不可知的，因此真差o占也就无法求得，故式只有理论意义而无实用价值。标准偏差O的常用估计一贝塞尔公式由于真值是不可知的，在实际应用中，我们常用n次测量的算术平均值£(£ =来代表真值。理论上也证明随着测量次数的增多术平均值最接近真值，当 也:时，算术平均值就是真值。于是我们用测得值 li与算术平均值 之差一一剩余误差（也叫残差）Vi来代替真差 o,即Vi = Li-I设一组等精度测量值为1l、|2、则-

4、: = <1 -W b EVnl n L通过数学推导可得真差b与剩余误差V的关系为i=l式(2)就是著名的贝塞尔公式(Bessel)。它用于有限次测量次数时标准偏差的计算。由于当汽 时，二：r ：汽,可见贝塞尔公式与b的定义式 是完全一致的应该指岀，在n有限时，用贝塞尔公式所得到的是标准偏差b的一个估计值。它不是总体标准偏差b因此，我们称式为标准偏差 b的常用估计。为了强调这一点，我们将b的估计值用“ S表示。于是，将式改写为5 =(2')在求S时，为免去求算术平均值 的麻烦，经数学推导(过程从略)有nn£仏-心M(珀尸n于是，式(2')可写为按式(2"

5、;)求S时，只需求岀各测得值的平方和和各测得值之和的平方艺n(D2,即标准偏差的无偏估计数理统计中定义S2为样本方差s21幷一 1n工仙-劝2i=l数学上已经证明 S2是总体方差02的无偏估计。即在大量重复试验中 ，S2围绕o2散布，它们之 间没有系统误差。而式(2')在n有限时,S并不是总体标准偏差 o的无偏估计，也就是说S和o之 间存在系统误差。概率统计告诉我们，对于服从正态分布的正态总体 ，总体标准偏差 o的无偏估计值为即Si和s仅相差一个系数 K o,K。是与样本个数测量次数有关的一个系数，K昇直见表计算K。时用到r n + i) = n r(r(j) = Wr (i) = i

6、表i&值nana2L25337LW24201.013260L004331J28481.036225L0105曲L00364L08549” 1,03173080L003251.063810L0281401加90L002861050915L0180SOL005110CL0025由表1知，当n>30时，汽河丄丄I。因此，当n>30时，式（3'）和式（2'）之间的差异可略而不计。在n=3050时，最宜用贝塞尔公式求标准偏差。当n<10时，由于K。值的影响已不可忽略，宜用式（3'）,求标准偏差。这时再用贝塞尔公式显然是不妥的。标准偏差的最大似然估计将b的

7、定义式（1）中的真值X用算术平均值代替且当n有限时就得到r jUi/rfia1/血21414L1280. 886203.73510.2683L732L6936591213 71%0.26542.0002.0590.486223319C.26252.2362.326贺<33.8580.2596 '2.4507.53405112413.895 -10,25772.6462.7W0370253.9310.25482肿12.8470351304.0860.24593.00b2.9700337354.2190.237I103.1623.07803254043220.231113317347

8、30315|4544150.226123伽3.2580.307504.4980.222133.606:3.3360.3001005.0250499143.7423,4070.2942005.4950J82153.8733.4720.2884005.8820J7O16.4*0003+5320.2835006.0610J6517；4.1233,5880.2797006,2890J5918194.24343593.64013.6890.2750.27110006.4940J54- -式适用于n>50时的情况，当n>50时,n和(n-1)对计算结果的影响就很小了2.5标准偏差b的极差估计由

9、于以上几个标准偏差的计算公式计算量较大，不宜现场采用而极差估计的方法则有运算简便，计算量小宜于现场采用的特点。极差用"R"表示。所谓极差就是从正态总体中随机抽取的n个样本测得值中的最大值与最小值之差。若对某量作次等精度测量测得h、'，且它们服从正态分布，则maxl min概率统计告诉我们用极差来估计总体标准偏差的计算公式为S3称为标准偏差b的无偏极差估计，d2为与样本个数n(测得值个数)有关的无偏极差系数，其值见表2由表2知，当nW 15时二、 ,因此，标准偏差 b更粗略的估计值为(5')还可以看岀，当200W nWlOOO时，曲心 了因而又有(5"

10、;)显然，不需查表利用式(5')和(5") 了即可对标准偏差值作岀快速估计，用以对用贝塞尔公式及其他公式的计算结果进行校核。应指岀，式(5)的准确度比用其他公式的准确度要低 ，但当5W nW 15时式(5)不仅大大提高了计 算速度，而且还颇为准确。当n>10时，由于舍去数据信息较多，因此误差较大，为了提高准确度 这时应将测得值分成四个或五个一组，先求岀各组的极差 Ri、 ' :,再由各组极差求岀极差平均值 。p = % + 尺2 + + Rk极差平均值和总体标准偏差的关系为需指岀，此时d2大小要用每组的数据个数n而不是用数据总数 N(=nK)去查表2。再则，分组

11、时一定要按测得值的先后顺序排列，不能打乱或颠倒。标准偏差b的平均误差估计平均误差的定义为v |1| + | 砌 + + I几 I 耳=hm 误差理论给出1 = J-6 = 0J979<t a -a TT5(A)可以证明EN EMI! 与！ 的关系为(证明从略)于是典/n(n 1)(B)由式(A)和式(B)得nn 1) V 打从而有rti ikin(n 1)=1.2533 ESHn(n 1)5孕显IN Jn(n 1)式就是佩特斯(CAF.Peters.1856)公式。用该公式估计 S值，由于right|Vright|不需平方 故计算较为简便。但该式的准确度不如贝塞尔公式。该式使用条件与贝塞

12、尔公式相似。标准偏差的应用实例对标称值Ra = 0.160 < math > m < math >的一块粗糙度样块进行检定 ，顺次测得以下15个 数据:1.45,1.65,1.60,1.67,1.52,1.46,1.72,1.69,1.77,1.64,4.56,1.50,1.64,1.74和 1.63 呵，试求该样块Rn的平均值和标准偏差并判断其合格否。解：1）先求平均值.L = L60 +-12 + 5 I 0 1 7-8 - 14 + 12 + 9+ 17 + 4-4 - 10 | 4 | 4 | 315 x 100=1,60 +2715 x 1001,618(&l

13、t; math >< math > i2）再求标准偏差S若用无偏极差估计公式式（5）计算，首先将测得的,15个数据按原顺序分为三组，每组五个见表3。表3组号l_1l_5R11.481.651.601.671.520.1921.461.721.691.771.640.3131.561.501.641.741.630.24= 0.43因每组为5个数据,按n=5由表2查得 二1 _53 = R = 043 x 0.247 = 0A0621(< math > firn < math >若按常用估计即贝塞尔公式式（2'）,则1 " -y 仏L)

14、3 = 0.0962(< math > fim < math > i n 若按无偏估计公式即式（3'）计算，因n=15，由表1查得Ks = 1.018，则S】=KfiS = 1.018 X 0.0962 = 0.09793(< math > fim < math >)若按最大似然估计 公式即式（4'）计算，则s2=.丄 x i 39.3985 一 1524J7215=0.09296( < math >< math > )若按平均误差估计公式即式（6）,则12533=1.2533 x1.176/15 x 14

15、=0-1017(< math > pm < math >)现在用式（5'）对以上计算进行校核J -I= -= x 0.247 = 0.0637(< math > “m < math > i可见以上算得的 S、Si、S2、S3和S4没有粗大误差。由以上计算结果可知0.09296<0.0962<0.0979<0.1017<0.1062即S2 < S < Si < S4 < S3可见，最大似然估计值最小，常用估计值S稍大，无偏估计值 s又大，平均误差估计值 S4再 大，极差估计值 S最大。纵观这几

16、个值，它们相当接近，最大差值仅为0.01324 。从理论上讲， 用无偏估计值和常用估计比较合适 ，在本例中，它们仅相差0.0017 口。可以相信，随着的增大， S、Si、9、S和S4之间的差别会越来越小。就本例而言，无偏极差估计值 S和无偏估计值 Si仅相差0.0083呵，这说明无偏极差估计是既可以保证一定准确度计算又简便的一种好方法。JJG102-89表面粗糙度比较样块 规定Ra的平均值对其标称值的偏离不应超过+12%17%,标准偏差应在标称值的 4%12%之间。已得本样块二产，几打宀厂川：1 产均在规定范围之内，故该样块合格。标准偏差与标准差的区别标准差(Standard Deviatio

17、n)各数据偏离平均数的距离( 离均差)的平均数，它是离差平方和平均后的方根。用b表示。因此，标准差也是一种平均数。标准差是方差的算术平方根。 标 准差能反映一个数据集的离散程度。平均数相同的，标准差未必相同。例如，A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验，A组的分数为95、85、75、65、55、45, B组的分数为73、72、71、69、68、67。这两组的平均数都是70，但A组的标准差为 17.08分，B组的标准差为 2.16分，说明A组学生之间的差距要比B组学生之间的差距大得多。标准偏差(Std Dev,Standard Deviation)- 统计学 名词。一种量度数据分布的分散程度之

18、标准，用以衡量数据值偏离算术平均值的程度。标准偏差越小，这些值偏离平均值就越少，反之亦 然。标准偏差的大小可通过标准偏差与平均值的倍率关系来衡量。有人经常混用均方根误差(RMSE )与标准差(Standard Deviation )，实际上 二者并不是一回事。1.均方根误差均方根误差为了说明样本的离散程度。均方根误差(root-mean-square error ) 亦称标准误差，其定义为 i= 1，2， 3，n。在有限测量次数中，均方根误差常用下式表示:式中，n为测量次数；di为一组测量值与平均值的偏差。如果误差统计分布是正 态分布，那么随机误差落在土 c以内的概率为68%。2.标准差标准差

19、是方差的算术平方根。标准差能反映一个数据集的离散程度。平均数相同的，标准差未必相同。标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差。均方根值也称作为效值，它的计算方法是先平方、再平均、然后开方。比如幅度为100V而占空比为0.5的方波信号，如果按平均值计算，它的电压只有50V，而按均方根值计算则有70.71V。这是为什么呢？举一个例子，有一组 100伏的电池组，每次供电10分钟之后停10分钟，也就是说占空比为一半。如果这组电池带动的是10Q电阻，供电的10分钟产生10A的电流和1000W的功率，停电时电流和功率为零。那么在20分钟的一个周期内其平均功率为 500W，这相当于70.71V的直流电向10Q

20、电阻 供电所产生的功率。而 50V直流电压向10Q电阻供电只能产生的 250W的功率。对于电机 与变压器而言，只要均方根电流不超过额定电流，即使在一定时间内过载，也不会烧坏。PMTS1.0抽油机电能图测试仪对电流、电压与功率的测试计算都是按有效值进行的，不会 因为电流电压波形畸变而测不准。这一点对于测试变频器拖动的电机特别有用。均方根误差 为了说明样本的离散程度。对于N1,.Nm,设N=(N1+.+Nm)/m;则均方根误差记作：一t=sqrt(NA2-N1A2)+.+(NA2-NmA2)/(m(m-1);比如两组样本：第一组有以下三个样本： 3，4，5第二组有一下三个样本：2，4，6这两组的平

21、均值都是 4，但是第一组的三个数值相对更靠近平均值，也就是离散程度小，均方差就是表示这个的。同样，方差、标准差(方差开根，因为单位不统一)都是表示数据的离散程度的。几种典型平均值的求法(1 )算术平均值这种平均值最常用。设x1、x2、x n为各次的测量值，n代表测量次数，则算术平均值为(2) 均方根平均值(3) 几何平均值石俯=乂珂花耳=冷JI(4) 对数平均值In玉(5)加权平均值In吗-In财相对标准方差的计算公式准确度精密度误差偏差绝对误差SX- fi 或 S = x-fi平均偏差d -1=1n标准偏差（n>5）氏（旳-X）23=1W - 1相对误差%）5 = X_/xl00%相对

22、平均偏差-X100%相对标淮偏差-X100%X准确度：测定值与真实值符合的程度绝对误差：测量值（或多次测定的平均值）与真（实）值之差称为绝对误差，用 表示。相对误差：绝对误差与真值的比值称为相对误差。常用百分数表示。绝对误差可正可负，可以表明测量仪器的准确度，但不能反映误差在测量值 中所占比例，相对误差反映测量误差在测量结果中所占的比例， 衡量相对误差更 有意义。例：用刻度0.5cm的尺测量长度，可以读准到0.1cm,该尺测量的绝对误差 为0.1cm；用刻度1mn!勺尺测量长度，可以读准到 0.1mm该尺测量的绝对误差 为 0.1mm例：分析天平称量误差为0.1mg,减重法需称2次，可能的最大误差为0.2mg, 为使称量相对误差小于0.1%，至少应称量多少样品？解：-=2x100% 二 °