柯西不等式练习解析版

1、柯西不等式练习2学校：姓名：班级：考号:一、单选题1.若正实数、满足，则的最小值为()A.2B.1C.-D.2 -【答案】D【解析】 分析：根据基本不等式的性质求出2a+b+c的最小值即可.详解：由题得：因为 a2+ac+ab+bc=2,( a+b) (a+c) =2，又 a, b, c均为正实数， 2a+b+c= (a+b) + (a+c) >2=2 _,当且仅当a+b=a+c时，即b=c取等号.故选D.点睛：本题考查了绝对值的意义，考查基本不等式的性质，是一道基础题.2.已知是的三内角的弧度数，则-与-的大小关系为()A.b.-C.一_D.-【答案】A【解析】【分析】直接利用柯西不等

2、式即可得结果【详解】由柯西不等式，得-> rr=5当且仅当-，时等号成立，故选 A.【点睛】关键是对原目，是考虑题设条件；本题主要考查了一般形式的柯西不等式，属于中档题解决问题的关键是利用柯西不等式求最值时,标函数进行配凑，以保证出现常数结果同时，要注意等号成立的条件，配凑过程采取如下方法： 二是对原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答3.已知 x,y,z (0,+ 且-的最小值为(A. 5B. 6C. 8D. 9【答案】D【解析】【分析】由题意结合柯西不等式的结论求解- -的最小值即可【详解】一= =9.当且仅当x=3,y=6,z=9时等号成立.即 -的最小值为9.本题选择D选项【点睛

3、】本题主要考查柯西不等式求最值的方法及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力4.若 5xi+6x2-7x3+4x4=1,贝U的最小值是（）A. B. C.3 D.-【答案】B【解析】【分析】由题意结合柯西不等式的结论整理计算即可求得最终结果【详解】由题意结合柯西不等式有：本题选择B选项【点睛】本题主要考查柯西不等式其最值的方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力试卷第3页，总6页等于5若a ,划锐角，且A-B. C. _ D. 【答案】A【解析】【分析】由题意结合柯西不等式确定等号成立的条件求得的值即可【详解】由题意： .当且仅当，时等号成立，即-，-.本题选择A选项【点睛】本题主要考

4、查柯西不等式求最值，三角方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力6.已知实数满足条件，求的最小值是【答案】-24【解析】【分析】设z=，由柯西不等式，可求得,z的最小值为一【详解】设z=，所以由柯西不等式- - -，即化简得，而所以，此时，填-24.【点睛】柯西不等式(1)设,为实数，则当且仅当时等号成立.(2 )若，()为实数，则()时，等号成立.试卷第3页，总6页()或存在一个数，使得、填空题，当且仅当7.实数，满足，则的最大值为【答案】3【解析】分析:由，可得，换兀后利用柯西不等式求解即可详解：可得设可得当且仅当，时，的最大值为，此时由此可得的最大值为，故答案为点睛：本题主

5、要考查了一般形式的柯西不等式，属于中档题解决问题的关键是利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果同时，要注意等号成立的条件，配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答8. 若 x+y+z+t =4,则 x2+y2+z2+t2的最小值为 .【答案】4【解析】【分析】由题意结合柯西不等式的结论求解x2+y2+z2+t2的最小值即可【详解】22222222, 2(x +y +z +t )(1 +1 +1 +1 ) >X+y+z+t ) =16,当且仅当x=y=z=t= 1时等号成立，故x2+y2+z2+t2的最小值为4.【

6、点睛】本题主要考查柯西不等式求最值的方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力9. 设实数， 满足，那么的最大值是 .【答案】".【解析】 分析：直接利用柯西不等式求解即可.详解: 的最大值是 一，故答案为 -.点睛：本题主要考查了柯西不等式的应用，属于中档题利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果同时，要注意等号成立的条件 ，配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标函 数进行配凑后利用柯西不等式解答10. 已知a, b, c均为正数，且 a+ b+ c = 1,贝U的最大值为 .【答案】一【解析】分析：根据柯西不等式，将原式进行配凑，并结合

7、已知条件加以计算，即可得到的最大值详解：根据柯西不等式，可得当且仅当，即-时，的最大值为18,因此的最大值为".点睛：该题考查的是应用柯西不等式求最值的问题，在解题的过程中，需要对柯西不等式的形式要熟悉，并能对式子进行正确的配凑，从而求得结果三、解答题11. 已知，且，求的最大值.【答案】【解析】 分析：利用柯西不等式求的最大值.详解：因为(1 2+ 12+ 12)()2 + ()2 + ()2 > (1 + 1 -+ 1 -)2,即(+2)w 9( a+ b+ c).因为 a+ b+ c = 1,所以(2+) w 9,所以+w 3,当且仅当=，即a b c时等号成立所以+的最

8、大值为3.点睛：本题主要考查利用柯西不等式求最大值，利用柯西不等式求最值时，先要把式子配成柯西不等式的形式，(1 2+ 12+ 12)()2 + ()2 + ()2 > (1 + 1 -+ 1 -)2,再利用柯西不等式12 .已知正数 x,y,z满足x+y+z =xyz,且不等式 一 一 一w恒成立，求 入的取值范围.【答案】【解析】试卷第10页，总6页【分析】由题意结合柯西不等式的结论可得【详解】由基本不等式及柯西不等式，得则参数入的取值范围是 一当且仅当x=y=z时等号成立，参数 入的取值范围是 一【点睛】本题主要考查柯西不等式的应用，恒成立问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力13 .选修4-5 :不等式选讲(1)已知，都是正实数，且，求的最小值；(2),，求【答案】 -；(2)见解析.【解析】分析：(1)由柯西不等式，即可求解的最小值；