数字图像处理2_赵建峰

1、数字图像处理(Digital Image Processing)内蒙古科技大学信息学院信息处理研究室赵建峰第二章、图像变换理论2.1 空域、变换域基础知识2.2 空域、变换域变换方法2.1 空域、变换域基础知识一、变化的必要性二、变换基础知识三、常用变换简介一、变换的必要性我们人类视觉所感受到的是在空间域和时间域的信号。许多问题在频域中讨论时，有其非常方便分析的一面。1、空间位置上的变化不改变信号的频域特性。2、利用频率成分和图像外表之间的对应关系，使在空间域表述困难的增强任务在频率域中执行。3、滤波在频率域更为直观，可以解释空间域滤波的某些性质。二、变换基础知识空域和频域之间的变换关系：)(

2、),()(ffAff正变换逆变换)()(fFff正变换逆变换采用复数表示法，可同时表示信号的振幅和相位。故上式可表示为：这种变换，一般为线性正交变换。以傅立叶变换为例：任意信号可分解为正弦波的加权和(a)(b)(c)(d)正弦波的振幅A和相位初相位振幅 A基本 正弦波(A1, 0)角频率OA信号的频域表示(a) 幅频特性； (b) 相频特性 AOfOf(a)(b)三、常用变换简介数学变换是将原定义在空间的图像以某种形式转换到另外一些空间，并利用输入图像在这些空间的特有性质有效而快速地对图像进行处理和分析。除了傅立叶变换外，常用的变换还有Gabor变换、小波变换、离散余弦变换、PCA变换等。这些

3、变换在图像分析、滤波、增强、压缩等处理中都有着非常典型而重要的应用。2.2 空域、变换域变换方法一、频域变换的一般形式二、傅立叶变换三、离散余弦变换（DCT）四、离散沃尔什-哈达玛变换（WHT） 五、小波变换一、频域变换的一般形式二维频域变换的一般形式为：10101010),(),(),(),(),(),(NvMuNyMxvuyxhvuFyxfvuyxgyxfvuF上式中，1为正变换，2为逆变换。式中g(x, y, u, v)和h(x, y, u, v)分别为正、逆变换核，x, u=0,1,2,M1；y,v=0,1,2,N1。二维变换的特性如果： g(x, y, u, v)=g1(x, u)g

4、2(y, v) h(x, y, u, v)=h1(x, u)h2(y, v)则称正、反变换核是可分离的。如果： g1(x, u)=g2(y, v) h1(x, u)=h2(y, v)则称该变换核是对称的。可分离性的应用利用变换核的可分离性，可用两次一维变换来实现二维变换。1、先对f(x, y)的每一行进行一维变换得到F(x, v)，再沿F(x, v)每一列取一维变换得到变换结果F(u, v)。2、先对f(x, y)的每一列进行一维变换得到F(y, u)，再沿F(y, u)每一行取一维变换得到变换结果F(u, v)。二者变换的最终结果是一样的。变换的矩阵表示数字图像都是实数矩阵， 设f(x, y

5、)为MN的图像灰度矩阵， 为了分析、推导方便，可将可分离变换写成矩阵的形式： F=PfQ F=P-1FQ-1 其中，F、f是二维MN的矩阵；P是MM矩阵；Q是NN矩阵。 1010),(),(),(),(NyMxvyQyxfuxPvuF式中，u=0, 1, 2, , M1，v=0, 1, 2, , N1。 二、傅立叶变换一、连续函数傅立叶变换二、离散傅立叶变换三、常用变换简介连续函数傅立叶变换对一个一维信号进行傅立叶变换，即得到构成该信号的频谱，其频谱反映了该输入信号由哪些频率构成。一个可进行傅立叶变换的一维信号f(x)需满足狄里赫莱条件，即f(x)：1、具有有限个间断点； 2、具有有限个极值点

6、； 3、绝对可积。连续函数傅立叶变换定义式中： ，x称为时域变量，u称为频域变量。dueuFxfuFFdxexfuFxfFuxjuxj212)()()()()()(1jdudvevuFyxfvuFFdxdyeyxfvuFyxfFvyuxjvyuxj)(21)(2),(),(),(),(),(),( 式中：x, y为时域变量；u, v为频域变量。一维：二维：离散傅立叶变换因为数字图像为离散信号，对其进行的傅立叶变换称为离散傅立叶变换(Discrete Fourier Transform，DFT)。设f(x)|f(0), f(1), f(2), , f(N-1)为一维信号f(x)的N个抽样， 其离

7、散傅立叶变换对为： 一维离散傅立叶变换设f(x)|f(0), f(1), f(2), , f(N-1)为一维信号f(x)的N个抽样， 其离散傅立叶变换对为： NuxjNxNuxjNxeuFNxfuFFexfuFxfF/2101/210)(1)()()()()(式中：x，u=0， 1， 2， , N1，其中系数1/N可以在正变换或逆变换中，也可在傅立叶正变换和逆变换前分别乘以 ， 这是无关紧要的， 只要正变换和逆变换前系数乘积等于1/N即可。N/1复数表示法由欧拉公式可得：sincosjej102sin2cos)()(NxNuxjNuxxfuF可见，离散序列的傅立叶变换仍是一个离散的序列，每一个

8、u对应的傅立叶变换结果是所有输入序列f(x)的加权和（每一个f(x)都乘以不同频率的正弦和余弦值），u决定了每个傅立叶变换结果的频率。通常傅立叶变换为复数形式：)()()(ujIuRuF)()(arctan)()()(| )(|22uRuIuuIuRuF式中，R(u)和I(u)分别是F(u)的实部和虚部。上式也可表示成指数形式： F(u)=|F(u)| ej(u) 通常称|F(u)|为f(x)的频谱或傅立叶幅度谱，(u)为f(x)的相位谱。频谱的平方称为能量谱或功率谱，它表示为 ： )()(| )(|)(222uIuRuFuE二维离散傅立叶变换将一维离散傅立叶变换推广到二维，变换对定义为：)(

9、210101)(21010),(1),(),(),(),(),(NvyMuxjNvMuNvyMuxjMxNyevuFMNyxfvuFFeyxfvuFyxfF式中：u, x=0, 1, 2, , M-1；v, y=0, 1, 2, , N-1；x, y为时域变量，u, v为频域变量。与一维变换一样，系数1/MN可以在正变换或逆变换中，也可以在正变换和逆变换前分别乘以系数 ，只要两式系数的乘积等于1MN即可。MN/1二维离散函数的傅立叶频谱、 相位谱和能量谱分别为 ：),(),(),(),(),(arctan),(),(),(| ),(|2222vuIvuRvuEvuRvuIvuvuIvuRvuF

10、式中，R(u, v)和I(u, v)分别是F(u, v)的实部和虚部。 二维傅立叶变换的性质一、可分离性二、周期与共轭对称三、平移性四、旋转特性五、线性与相似性六、均值性七、拉普拉斯八、卷积与相关二维傅立叶变换的矩阵形式二维傅立叶变换的快速算法由于二维离散傅立叶变换具有可分离性， 即它可由两次一维离散傅立叶变换计算得到，三、离散余弦变换（DCT）一、一维离散余弦变换二、二维离散余弦变换三、快速离散余弦变换离散余弦变换（Discrete Cosine Transform， DCT）的变换核为余弦函数。DCT除了具有一般的正交变换性质外， 它的变换阵的基向量能很好地描述人类语音信号和图像信号的相关

11、特征。因此，在对语音信号、图像信号的变换中，DCT变换被认为是一种准最佳变换。近年颁布的一系列视频压缩编码的国际标准建议中，都把DCT作为其中的一个基本处理模块。除此之外， DCT还是一种可分离的变换。一维离散余弦变换一维DCT的变换核定义为：式中，x, u=0, 1, 2, , N1； NuxNuCuxg2) 12(cos2)(),(其他1021)(uuC一维DCT定义如下： 设f(x)|x=0, 1, , N-1为离散的信号列。102) 12(cos)(2)()(NxNuxxfNuCuF式中，u, x=0, 1, 2, , N1。一维离散余弦变换的矩阵形式将变换式展开整理后， 可以写成矩阵

12、的形式， 即 F=Gf 。)2/) 12)(1cos()2/3)(1cos()2/) 1cos(/2)2/) 12cos()2/6cos()2/cos(/2)2/) 12cos()2/3cos()2/cos(/2111/1NNNNNNNNNNNNNNNNNNNG一维DCT的逆变换IDCT定义为式中， x, u=0, 1, 2, , N1。可见一维DCT的逆变换核与正变换核是相同的。102) 12(cos)()(2)(NuNuxuFuCNxf二维离散余弦变换二维离散余弦变换定义如下：设f(x, y)为MN的数字图像矩阵，则：式中，C(u)和C(v)的定义同式（7-48）；x, u=0, 1, 2

13、, , M1； y, v=0, 1, 2, , N1。NvyMuxvCuCMNvuyxg2) 12(cos2) 12(cos)()(2),(NvyMuxvCuCyxfMNvuFMxNy2) 12(cos2) 12(cos)()(),(2),(1010式中： x, u=0, 1, 2, , M1； y, v=0, 1, 2, , N1。其中正变换核为：二维DCT逆变换定义如下：NvyMuxvuFvCuCMNyxfMuNv2) 12(cos2) 12(cos),()()(2),(1010式中：x, u=0, 1, 2, , M1； y, v=0, 1, 2, , N1。二维DCT的矩阵形式如下：

14、F=GfGT二维DCT的逆变换核与正变换核相同，且是可分离的，即：NvyvCNMuxuCMvyguxgvuyxg2) 12(cos)(22) 12(cos)(2),(),(),(21根据可分离性， 二维DCT可用两次一维DCT来完成， 其算法流程与DFT类似，即：),(),(),(),(),(),(),(vuFvuFvxFFvxFvxFyxfFyxfTTT转置列转置行快速离散余弦变换离散余弦变换(DCT for Discrete Cosine Transform)是与傅里叶变换相关的一种变换，它类似于离散傅里叶变换(DFT for Discrete Fourier Transform),但是只

15、使用实数。离散余弦变换相当于一个长度大概是它两倍的离散傅里叶变换，这个离散傅里叶变换是对一个实偶函数进行的（因为一个实偶函数的傅里叶变换仍然是一个实偶函数），在有些变形里面需要将输入或者输出的位置移动半个单位(DCT有8种标准类型，其中4种是常见的)。四、离散沃尔什-哈达玛变换（WHT）一、沃尔什函数二、一维离散沃尔什-哈达玛变换三、二维离散沃尔什-哈达玛变换一、沃尔什函数沃尔什函数系是一个完备正交函数系，其值只能取1和1，由美国数学家沃尔什在1923年提出。从排列次序上可将沃尔什函数分为三种定义方法：第一种是按照沃尔什排列来定义（按列率排序）；第一种是按照佩利排列来定义（按自然排序）；第三种

16、是按照哈达玛排列来定义。按哈达玛排序的沃尔什函数可由2n（n=0，1，2，）阶哈达玛矩阵（Hadamard Matrix）得到，而且哈达玛矩阵的高阶矩阵可用两个低阶矩阵的克罗内克积求得，因此哈达玛排列定义的沃尔什变换应用较广。N=2n(n=0, 1, 2, )阶哈达玛矩阵每一行的符号变化规律与某一个沃尔什函数的符号变化规律对应，即N=2n (n=0, 1, 2, )阶哈达玛矩阵的每一行对应于一个离散沃尔什函数。哈达玛矩阵与沃尔什函数系不同之处仅仅是行的次序不同。2n阶哈达玛矩阵有如下形式：1111 1 21HH111111111111111122224HHHHH哈达玛矩阵的阶数是按N2n(n0

17、, 1, 2, )规律排列的，阶数较高的哈达玛矩阵，可以利用矩阵的克罗内克积运算，由低阶哈达玛矩阵递推得到，即2222222222211111NNNNNHHHHHHHHHHHHnnnnnn克罗内克积 (Kronecker Product)矩阵的克罗内克积(Kronecker Product)运算用符号记作AB， 其运算规律如下：,2222111211nnaaaaaaAijiijjbbbabbbbbB212222111211则：BaBaBaBaBaBaBaBaBaBAmnmmnn212222111211AbAaAbAbAbAbAbAbAbABijiijj212222111211二、一维离散沃尔什

18、-哈达玛变换一维离散沃尔什正、逆变换分别定义为：10),()(1)(NxxuWalshxfNuW10),()()(NuxuWalshuWxf式中，Walsh(u, x)为沃尔什函数。一维离散沃尔什-哈达玛变换的矩阵形式若将Walsh(u, x)用哈达玛矩阵表示，并将变换表达式写成矩阵形式，则：) 1() 1 ()0(1) 1() 1 ()0(NfffHNNWWWN) 1() 1 ()0() 1() 1 ()0(NWWWHNfffN式中，HN为N阶哈达玛矩阵。由哈达玛矩阵的特点可知，沃尔什-哈达玛变换的本质上是将离散序列f(x)的各项值的符号按一定规律改变后，进行加减运算， 因此，它比采用复数运

19、算的DFT和采用余弦运算的DCT要简单得多。 三、二维离散沃尔什-哈达玛变换将一维WHT的定义推广到二维WHT，其正变换和逆变换分别为：1010),(),(),(1),(NyMxyvWslshxuWalshyxfMNvuW1010),(),(),(),(NvMuyvWslshxuWalshvuWyxf式中：x, u=0, 1, 2, , M1； y, v=0, 1, 2, , N1 。二维离散沃尔什变换的矩阵形式二维离散沃尔什变换的矩阵形式为：1MNWHfHMNMNfH WH式中， HM为M阶哈达玛矩阵，HN为N阶哈达玛矩阵。例题这两个信号的二维WHT变换：13311331133113311f

20、11111111111111112f从以上例子可看出，二维WHT具有能量集中的特性，而且原始数据中数字越是均匀分布，经变换后的数据越集中于矩阵的边角上。因此，二维WHT可用于压缩图像信息。快速沃尔什变换（FWHT）类似于FFT，WHT也有快速算法FWHT， 也可将输入序列f(x)按奇偶进行分组，分别进行WHT。FWHT的基本关系为：)()(21)2()()(21)(uWuWNuWuWuWuWoeoeWHT的变换核是可分离和对称的， 因此二维WHT也可分为两个一维的WHT分别用FWHT进行变换而得到最终结果，由此便可实现二维的FWHT 。五、小波变换一、小波变换的理论基础二、连续小波变换（CWT

21、）三、离散小波变换（DWT）一、小波变换的理论基础信号分析是为了获得时间和频率之间的相互关系。傅立叶变换提供了有关频率域的信息，但有关时间的局部化信息却基本丢失。小波变换是通过缩放母小波（Mother wavelet）的宽度来获得信号的频率特征， 通过平移母小波来获得信号的时间信息。对母小波的缩放和平移操作是为了计算小波系数，这些小波系数反映了小波和局部信号之间的相关程度。二、连续小波变换（CWT）像傅立叶分析一样，小波分析就是把一个信号分解为将母小波经过缩放和平移之后的一系列小波，因此小波是小波变换的基函数。小波变换可以理解为用经过缩放和平移的一系列小波函数代替傅立叶变换的正弦波和余弦波进行

22、傅立叶变换的结果。正弦波和小波的区别正弦波从负无穷一直延续到正无穷，正弦波是平滑而且是可预测的， 而小波是一类在有限区间内快速衰减到0的函数，其平均值为0， 小波趋于不规则、不对称。(a)(b)从小波和正弦波的形状可以看出，变化剧烈的信号，用不规则的小波进行分析比用平滑的正弦波更好，即用小波更能描述信号的局部特征。 连续小波变换（Continuous Wavelet Transform， CWT）用下式表示： dttpositionscaletfpositionscaleC),()(),(上式表示小波变换是信号f(x)与被缩放和平移的小波函数()之积在信号存在的整个期间里求和的结果。CWT的变换结果是许多小波系数C，这些系数是缩放因子（scale）和平移（positon）的函数。三、离散小波变换（DWT）在每个可能的缩放因子和平移参数下计算小波系数，其计算量相当大， 将产生惊人的数据量，而且有许多数据是无用的。如果缩放因子和平移参数都选择为2j（j0且为整数）的倍数， 即只选择部分缩放因子和平移参数来进行计算， 就会使分析的数据量大大减少。使用这样的缩放因子和平移参数的小波变换称为双尺度小波变换（Dyad