研究生论文(抛物方程)

1、Anysis for solutions of a degenerate singular equations with initial-boundary value conditionsbyYuan HaifengB.S.( Hefei University)2010A thesis submitted in partial satisfaction of the Requirements for the degree ofMaste of Sciencein Applied Mathematicsin the Graduate SchoolofSouth-Central Universit

2、y for NationalitiesSupervisorProfessor Sun RenbinMay，2013中南民族大学学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。作者签名：日期： 年 月 日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借

3、阅。本人授权中南民族大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。本学位论文属于1、保密，在_年解密后适用本授权书。2、不保密。（请在以上相应方框内打“”）作者签名：日期： 年 月 日导师签名：日期： 年 月 日中南民族大学硕士学位论文目 录摘要IAbstractIII第一章 引言11.1 研究的问题及研究背景21.2 预备知识61.3 主要结论91.4 结构安排9第二章 退化的奇异抛物方程解的整体存在性102.1 解的整体存在性102.2 区域的直径的上界估计12第三章 退化的奇异抛物方程解的猝灭现象143.1 解的猝灭现

4、象143.2 猝灭时间的估计14第四章 猝灭点集的估计184.1 解的猝灭点集184.2 定理4.1.2的证明22第五章 猝灭速率的估计235.1 辅助函数的引入235.2 猝灭速率的估计24参考文献28致 谢30附录A 攻读学位期间所发表的学术论文目录31IV摘 要本文主要研究的是退化的奇异抛物型方程. 此类方程不同于我们以往所见到的方程（组），它不但是退化的，而且还具有奇异性.本文我们将利用以前从课本和相关论文中所学到的一些相关知识、方法和分析技巧来对其解的性质进行研究.并得到了一些相关的结论.在引言部分，我们先给出了本文将要研究的主要问题和相关研究背景，又给出了本文将要用到的一些预备知识

5、，同时对后文将要用到的一些定理和定义分别给出了详细的介绍，为后文的研究做了准备，并对各个章节的安排给出了大概的总结.在第二章，我们利用了上下解的方法研究了退化的奇异抛物型方程解的整体存在性. 在这里，我们将利用到研究椭圆型方程解的整体存在性的方法.在构造上解时，我们先把所要研究的抛物方程转化为相对应的椭圆方程，再对其进行研究. 同时，对解在整体存在时，区域的直径的上界进行了估计，并得到直径的一个上界.在第三章，我们研究了此类方程所对应的初边值问题解的猝灭现象. 同时给出了其解在发生猝灭现象时应满足的条件，并且利用Jensen不等式和第二Green公式对其解在发生猝灭现象时的猝灭时间进行了估计，

6、得到了猝灭时间的上、下界.第四章研究的主要内容是猝灭点集的估计. 而由于本文中要研究的方程具有奇异性，所以，我们将要构造一个新的函数，使得猝灭现象转化为爆破现象，即把我们所要研究的猝灭点集转化为爆破点集来进行研究.并最终验证了本文要研究的问题的解的猝灭点集是一个紧集合.最后在第五章， 我们研究的主要内容是猝灭速率的估计，由于我们已经掌握了许多研究爆破速率的方法和相关的分析技巧.所以，我们构造了一个辅助函数，使得当原函数发生所谓的猝灭现象时，辅助函数就会发生爆破现象，这样我们就可以先来研究辅助函数的爆破速率，然后再利用原函数与辅助函数之间的关系得到原函数的猝灭速率.关键词：抛物方程；整体解；猝灭

7、解；猝灭时刻；Jensen不等式；猝灭速率； 猝灭点集AbstractMainly investigate for this paper is the degenerate singular parabolic equations. This equations is different from equations (system) which we've ever seen. It is not only degenerate but also singularity. In this paper, we will use some relevant knowledge, meth

8、ods, and analytical skills which are learned from the textbooks and the relevant literature to analysis the quality of the solution. And some relevant conclusions are obtained.In the introduction section, we first provide the main problems and related research background which is going to study in t

9、his paper. In the meantime, for some theorems and definition which will be used later in this paper .Detailed introduction is given. It is prepared for later research. And will give a general summary about the chapters.In the second chapter, we have used upper and lower solution to research the qual

10、ity of global existence of solution to the degenerate singular parabolic equations. Here, we will use the method which is to research the global existence of solution to the elliptical equations. When structure the upper solution, first we converts the parabolic equations which will be researched to

11、 elliptic equations. And then research it. At the same time, for the existence of solution in the overall time, we will estimate the upper bound for the diameter of the area . And an upper bound for the diameter is obtained.In the third chapter, we studied the quenching phenomenon of the initial-bou

12、ndary value problem corresponding to the equations. And the conditions which the solution should be satisfied are given when the solution occur quenching phenomenon. And use the Jensen inequality and the second Green formula estimate quenching time when its solution occur quenching phenomenon. The u

13、pper and lower bound of the quenching time are obtained.The main content which is researched in the fourth chapter is estimate for the quenching point set. Due to the equations which are researched in this paper have singularities. So, we are going to construct a new function, make quenching phenome

14、non into blow-up phenomenon. That is we will research the blow-up point set which is transformed from phenomenon point set to be researched in this paper. And finally we have verified the quenching point set of the solution to the problem which is researched in this paper is a compact set. Finally,

15、in the fifth chapter, the main content which will be researched is estimates for the quenching rate. For we already master many methods and analytical skills for research blow-up rates. So, we construct an auxiliary function, when the function occur the so-called quenching phenomenon, the auxiliary

16、function will be blow-up. So that we can research the blow-up rate of the auxiliary function first, then reuse the relationship between the original function and the auxiliary function to obtain the quenching rate of original function.Key Words：Parabolic equations; Overall solution; Quenching soluti

17、on; Quenching time; Jensen inequality; Quenching rate; Quenching point set第一章 引言微分方程产生于17世纪. 当时，随着莱布尼茨、牛顿等人发明了微积分，数学家们便开始用微积分来解释各种物理现象，并将定义的微分符号应用于实际的解题方程中. 最原始的微分方程便产生了.18世纪，人们为了将微分方程应用到更广泛的物理现象中，便对微分方程做了进一步的研究. 如Lagrange提出了动态系统的一般运动方程：Lagrange方程、Fourier对热扩散方程的求解上做出了重大的贡献，并且提出的Fourier级数对于震动现象的研究具有很

18、积极的意义.19世纪初期，随着柯西和高斯对微分方程的研究，人们便对微分方程有了进一步的认识. 随后也就产生三类最重要和最基本的数学物理方程：双曲型方程、抛物型方程和椭圆型方程. 他们分别是不同类型的二阶微分方程的典型代表.早起人们在研究（偏）微分方程时，遇到的最大问题就是如何来求解一个具体的（偏）微分方程. 由于其复杂多样性. 因此，也一直没有形成一个一般的统一的理论. 但是数学爱好者们还是在积极地对其研究着，便产生了一般的求解（偏）微分方程的方程. 如：傅里叶变换法、拉普拉斯变换法等.实际上，偏微分方程的通解是不容易求得的，更进一步地，由初始条件和边界条件确定的函数就更难求出其解. 因此，人

19、们便用近似方法求满足实际需要的近似解. 主要的方法有变分法和有限差分法. 这两种方法都是利用转化的思想，把定解问题转化成自己想要的并会求的问题.后来，人们还是注重偏微分方程解的性质的研究. 如：解的存在性、解的唯一性和解的稳定性等. 随之产生的一系列理论促使了数学在常微分方程、微分几何、变分法等各个方面的发展. 因此，从此角度来说的话，偏微分方程便成了数学的中心.近几十年来，随着抛物型方程（组）在实际问题中的广泛应用，数学学者们便开始更多地研究此类方程（组）. 且得出了许多关于抛物型方程（组）的重要结论.如：在文献1中，作者研究了一组退化的抛物方程组解的整体存在性与非存在性，为我们研究次类方程

20、提供了重要的工具；文献2中作者研究一个非线性退化的抛物方程解的爆破，并得到了爆破点的集合与解在爆破点处的渐进行为；在文献3中作者研究了一个具有多组非线性项的拟线性抛物方程组解的爆破，同样对于我们后期研究此类方程组提供了许多重要的方法；文献4中作者研究了一个含有对数奇异项的抛物方程解的整体存在性与猝灭性，并得到了解发生猝灭现象的相关性质.对于他们的研究既可以丰富偏微分方程理论，也具有重要的实际意义.1.1 研究的问题和研究背景本文考虑下列退化的奇异抛物方程： （1.1.1）其中，是一个具有光滑边界的有界区域，常数.维空间的Laplace算子：，在本文中，为了书写方便，我们将用来代替. 如问题（1

21、.1.1）中的方程所表示的.本文主要研究的是问题（1.1.1）的解的整体存在性和解在发生猝灭现象时的一些相关性质.对于奇异的抛物方程（组），已经有很多数学学者对其进行了研究. 但大家所得到的结论大多都是一些定性的描述，如文献5-11中，作者们得到的结果主要就是：当研究的方程所在的区域充分小时，问题的解是整体存在的；当研究的方程所在的区域充分大时，问题的解会在有限时刻猝灭. 而在奇异的抛物方程（组）研究中，所能给出的定量的结论却不多. 在文献12中，作者利用特征函数法对特征值问题： 的第一特征值给出了定量描述. 验证了存在一个界值，当时，解是整体存在的；当时，解会在有限时刻发生所谓的猝灭现象.

22、他所讨论的重点是对的上、下界进行估计.随着数学学者们对抛物方程（组）解的性质的深入研究，已经得到了许多研究此类方程（组）解的性质的重要方法. 如：在文献12中，作者利用特征函数法对解的全局存在与解在有限时刻发生猝灭条件进行了研究，并结合了特征函数法和Jensen不等式来对解的猝灭时刻的上、下进行了估计；在文献13中，作者利用上下解的方法来研究解的整体存在性.在构造上下解时，他用的具体方法是修改其中的边界条件和微分方程，进而得到一个新的问题，新问题的解分别对应的是原问题的上、下解；文献14中，作者给出了一个如何证明猝灭点集是一个紧子集的方法，同时也给出了研究解在猝灭时刻时的渐进行为的方法.这些重

23、要的结论为后人的学习与研究提供了很大的帮组.近年来，人们更多地是对于奇异抛物方程（组）解的猝灭现象进行研究，也得到了一些结果.如文献15-16，但大多数是对问题中方程右边的函数是幂函数的情形进行研究.而本文研究的问题（1.1.1）中的方程右边的函数是对数函数，且还是退化的，此类方程在之前是很少被讨论的.我们将借鉴前面所学到的知识和方法对其进行研究.文献4研究了含有对数奇异项的抛物方程系统： （1.1.2）其中一个具有光滑边界有界区域，且.文献中作者根据区域的大小讨论了解的整体存在与有限猝灭现象，并对猝灭时刻和猝灭速率进行了估计.文献12研究了初边值问题： （1.1.3）其中是的抛物边界，是实数

24、.文献中作者利用特征值研究了（1.1.3）的古典解的猝灭现象，并利用伽马函数研究了古典解的全局存在性.文献13研究了退化的反应扩散方程组： （1.1.4）其中是一个具有光滑边界的有界区域，并且.文献中作者根据的不同取值范围，研究了方程组（1.1.4）非负解的全局存在性与非全局存在性.其中.文献14研究了非线性抛物方程组： （1.1.5）其中.是一个具有光滑边界的有界区域.初始数据满足文献中作者研究了（1.1.5）的解的全局存在条件，解在有限时刻猝灭条件且对猝灭速率进行估计，并研究了解在猝灭时刻的渐进行为.文献17 研究了具有洛伊曼（Neumann）边界条件的非线性反应扩散方程：（1.1.6）其

25、中是一个具有光滑边界的有界区域，满足相应的条件，是其解的最大存在时刻.文献中作者研究了（1.1.6）的解在上全局爆破的条件以及全局解的存在条件并给出此时解的取值范围.文献18研究了反应扩散方程： （1.1.7）其中，是一个具有光滑边界的有界区域.文献中作者研究了（1.1.7）的解全局存在的条件以及解在发生爆破的条件，并对爆破速率进行了估计.文献19研究了含有一组局部非线性反应项的扩散方程组： （1.1.8）其中.是一个具有光滑边界的有界区域. 和都是非负连续函数.文献中作者研究了（1.1.8）的解的爆破条件及解在爆破时刻的渐进行为.文献20研究了半线性方程： （1.1.9）其中是一个具有光滑边

26、界的有界区域. 是一个非负的连续函数，且.文献中作者研究了（1.1.9）的解的猝灭现象，并研究了古典解在无限区域的整体存在性.另外关于退化的抛物方程组的研究在文献21-25中也给出了相关的结论.特殊的关于退化的反应扩散方程组的研究在文献26-34中都有给出.基于以上文献的相关结论，本文对问题（1.1.1）进行了研究，并得到了解的整体存在性与发生猝灭的一些相关结果.1.2 预备知识定义1.2.1 对于如下的初边值问题 （1.2.1）其中是属于中的一个具有光滑边界的有界区域，的取值有如下两种可能：（1）；（2）.如果分别满足如下的条件：那么我们就把分别叫做（1.2.1）的上、下解.对于上、下解我们

27、有如下的两个推论：推论1.2.1（上、下解的有序性） 设，若分别是（1.2.1）的上、下解，则如果又有不恒等于，则其中.推论1.2.2 设，分别是（1.2.1）的上、下解，又是（1.2.1）的解，则.定理1.2.1（最大值原理） 设在上有界，满足 （1.2.2）与相应的抛物型方程的初边值问题的古典解有相同的光滑性.则 Jensen不等式 设是一个下凸函数，则 第二Green公式351.3 主要结论本文主要由如下五个定理组成：定理2.1.1 如果区域适当小，使得的直径满足，则边值问题（2.1.1）至少存在一个正解.定理2.1.2 设上述定理1的条件满足，则问题（1.1.1）存在整体解.定理3.1

28、.1 设是由（3.2.5）给出的定义，区域适当大，使得，则问题（1.1.1）的解在有限时刻发生猝灭，且猝灭时刻满足，其中 定理4.1.2 设由（3.2.5）式给给出，当区域适当大，使得，则问题（1.1.1）的解的猝灭点集是的一个紧子集.定理5.2.2 如果问题（1.1.1）的解在有限时刻发生猝灭现象，则会有：这些定理将会在后面的章节中陆续的被提出.1.4 结构安排本文共分为五个章节.第二章研究的是问题（1.1.1）解的整体存在性，利用了上下解的方法研究了问题（1.1.1）解的整体存在条件；同时，对解在整体存在时，区域的直径的上界进行了估计.第三章研究了问题（1.1.1）解的猝灭现象.给出了解在

29、发生所谓的猝灭现象时，区域应该满足的条件，并利用Jensen不等式和Green公式对猝灭时间进行了估计，得到了猝灭时间的上下界. 第四章主要是研究问题（1.1.1）解的猝灭点集.首先利用构造的一个新函数，使得猝灭现象转化为我们熟悉的爆破现象，再进行研究.即把我们所要研究的猝灭点集转化为爆破点集来进行研究.第五章研究了问题（1.1.1）的解在猝灭时刻的渐进行为，也就是猝灭速率.我们主要是通过引入一个辅助函数，再利用讨论爆破速率的方法来讨论猝灭速率. 第二章 退化的奇异抛物方程解的整体存在性讨论抛物方程解的整体存在性时，我们通常利用上下解的方法，构造问题的上、下解，当其上、下解都整体存在时，那么我

30、们所要讨论的问题的解也是整体存在的.本章在得到问题（1.1.1）解的整体存在条件后，一并给出了解在整体存在时，区域的直径的上界估计.2.1 解的整体存在性为了得到初边值问题（1.1.1）解的整体存在性，我们可以先考虑如下带有奇性的椭圆方程的边值问题： （2.1.1）对于边值问题（2.1.1），我们首先来寻找使（2.1.1）的解的存在的条件，为此我们利用上下解方法，先找（2.1.1）的上解，而对于其上解，我们可以寻找（2.1.1）的形如. （2.1.2）的上解，其中，是一个大于0的待定数，.先看在的情况，为了使时，有，只需要，即 （2.1.3）其中的.再看的情况，对进行计算有： .又，而要使是初

31、值问题（2.1.1）的上解，只需要，即，或者. （2.1.4）可以设为的直径，当时有，为了使不等式（2.1.4）成立，只需要，或， （2.1.5）记上面的不等式（2.1.5）的不等号右边为，即 （2.1.6）对于由（2.1.6）式定义的函数我们有如下引理：引理2.1.1 设并且，则一定有正的最大值.定理2.1.1 如果区域适当小，使得的直径满足，则边值问题（2.1.1）至少存在一个正解.证明 设，取，又取一点，使得，则由引理2.1.1和（2.1.5）可知由（2.1.2）式定义的为问题（2.1.1）的一个上解.又显然为问题（2.1.1）的一个下解，由可知，则由文献36中定理4.1，可得结论.定理

32、2.1.2 设上述定理1的条件满足，则问题（1.1.1）存在整体解.证明 由于边值问题（2.1.1）的解可以作为问题（1.1.1）的一个上解，并且是整体存在的，又显然是问题（1.1.1）的一个下解，所以由定理2.1.1即可得到问题（1.1.1）解的整体存在性.2.2 区域的直径的上界估计上节讨论了初边值问题（1.1.1）的解的整体存在条件，即如上面定理2所述，当区域适当小使得其直径满足时，问题（1.1.1）就存在整体解.但没有得到的准确值，此节我们将对的上界进行估计.为了得到的上界，我们首先对的取值范围进行考察，由（2.1.4）和可得到 或者 （2.2.1）令，我们可以取，使得取得最大值，此时

33、再由不等式（2.2.1）可得： （2.2.2）而（2.1.3）可化为 （2.2.3）由（2.1.5）和可得 再结合（2.2.2）和（2.2.3）可得： . (2.2.4) 由此我们就得到了区域的直径的上界估计.第三章 退化的奇异抛物方程解的猝灭现象上一章我们介绍了问题（1.1.1）的解的整体存在条件，即当区域适当小时，其解就会整体存在，而本章我们要讨论的就是当区域适当大时，问题（1.1.1）的解会在有限时刻发生所谓的猝灭现象，并利用Jensen不等式和第二Green公式对猝灭时间进行讨论.3.1 解的猝灭现象对于问题（1.1.1）中的方程，由于其右边的对数函数具有奇异性质，所以当在某个时刻，问

34、题（1.1.1）的解的值趋于时，问题（1.1.1）就会发生所谓如下的猝灭现象.猝灭现象的定义.定义3.1.1 对于问题（1.1.1），如果存在一个有限时刻，使得如下的式子 成立，那么我们就称问题（1.1.1）的解在有限时刻猝灭.此处，我们也只给出了猝灭现象的定义，而关于解发生猝灭现象时，有关解的相关性质，如猝灭点和猝灭点集的定义将在下一章给出.3.2 猝灭时刻的估计在上节给出的猝灭现象定义的基础上，我们再来研究问题（1.1.1）的解在发生猝灭现象时，区域应该满足的条件.我们要讨论的问题（1.1.1）中的方程与之前遇到的一般的方程有很大的不同，之前遇到的方程右边的奇性函数大多都是幂函数的形式，而

35、（1.1.1）中的方程右边的奇性函数是对数函数，且是退化的，讨论起来要更困难些.但是在具体讨论时，用到的一些方法和分析技巧还是相似的.所以，本节我们将依旧利用特征函数法对问题（1.1.1）的解在有限时刻发生猝灭现象进行判断.设为如下这样一个具有零Dirichlet边值条件的特征值问题的第一特征值 （3.2.1）为相应的特征函数，为了我们在后面讨论时方便些，可以选取，使得， （3.2.2）设为问题（1.1.1）的古典解，则有，其中为的最大存在区间.对于问题（1.1.1）中的方程，我们把方程右边的左移，将其转化为： 也即： （3.2.3）令则 由第二Green公式可得： 再由和Jensen不等式，

36、并取Jensen不等式中的则有 （3.2.4）令 ，则当时，.记，并设在内的最小值为： （3.2.5）且易知当取值时，取得最小值.而我们知道，特征值的大小与区域有关，当越小时，越大，当越大时，越小，以此为依据.下面我们给出本节的一个主要结论，也就是本章的一个主要结论.定理3.1.1 设是由（3.2.5）式给出的定义所示，当区域适当大，使得，则问题（1.1.1）的解在有限时刻发生猝灭，且猝灭时刻满足，其中 证明 由及（3.1.4）可得于是有 （3.2.6）将不等式（3.2.6）两边在上积分可得 显然有.下面对的下限进行估计，为此我们先考虑如下初值问题： （3.2.7）易知（3.2.7）的解的最大

37、存在区间是，其中，又是（1.1.1）的一个上解，所以有，进而有.证毕.第四章 猝灭点集的估计上一章我们给出了退化的奇异抛物方程对应的初边值问题的解在有限时刻发生猝灭的现象，并且对猝灭时间进行了估计.本章我们要讨论的是猝灭点集，首先我们要把猝灭点集转化为爆破点集，然后对其进行讨论，利用讨论爆破点集的方法来讨论猝灭点集.4.1 解的猝灭点集在进行讨论之前，首先我们来看看什么是猝灭点和猝灭点集.定义4.1.1 对于问题（1.1.1），设，如存在使得时，并且，则称为的一个猝灭点.所有猝灭点的集合称为的猝灭点集.首先我们考虑如下的初边值问题： （4.1.1）其中是属于中的一个具有光滑边界的有界区域：满足

38、且，初始数据满足.对于问题（4.1.1）有如下结论：引理4.1.1 如果：是一个连续函数，且，则在任意的点对于任意的，都有一个求交运算，使得对于任意的，都有.其中.我们称为一个圆柱.令，是一个紧集合. 为上的一个单位向量，是一个超平面：.记为点到的距离.因此和都是存在的，并且有.我们可令，向量是垂直面，交于点，交于点.令其中是在上的补集.显然有.利用上面的引理4.1.1我们可以得到如下一个重要的定理.定理4.1.1 如果上面的引理4.1.1的条件成立，且对于有，则问题（4.1.1）的解的猝灭点集是的一个紧子集.证明 对于任意的点，都存在一个点 使得线通过点和，且在处有相同的指向.由引理3.2.

39、1可知，.因此我们用替换来构造一个新的圆柱，其中，使得，再由引理4.1.1可知在上；特别的所有的.不失一般性，假设，其中，且在线上，令，为与的交点，显然有. 现在我们在定义如下这样一个函数： （4.1.2）其中是一个确定的正常数.因此我们有 则由问题（4.1.1）中的方程，在上有 在上，有，在上 其中.为了使得在上，我们先来考虑如下的初边值问题： (4.1.3)因为，由最大值原理我们可以得到，且不恒等于.并且还可以得到： .特别的有： 设对于任意的点有.所以当，时： 令，则在上有： 或者 因此对于任意的点，有：或者 .由点的任意性我们可以得出问题（4.1.1）的解的淬灭点集是一个紧集合.基由上

40、面的定理4.1.1，下面我们给出本章的一个主要结论.定理4.1.2 设由（3.2.5）式给给出，当区域适当大，使得，则问题（1.1.1）的解的猝灭点集是的一个紧子集.4.2 定理4.1.2的证明 证明 对于问题（1.1.1）中的方程： 设，当时 且，则由定理4.1.1可知，问题（1.1.1）的解的猝灭点集是中的一个紧子集.第五章 猝灭速率的估计本章节，我们主要讨论的是当问题（1.1.1）的解在发生猝灭现象时，其解在猝灭时刻的渐进行为，也就是猝灭速率.我们将通过引入一个辅助函数，利用讨论爆破速率的方法来讨论猝灭速率.5.1 辅助函数的引入为了利用讨论爆破速率的方法，我们需要引入一个辅助函数，使得

41、我们要研究的函数发生猝灭现象时，爆破，这样我们就可以利用讨论爆破速率的方法来讨论猝灭速率.令 （5.1.1）则 （5.1.2） （5.1.3）由（5.1.2）和（5.1.3）可知应该满足： 当问题（1.1.1）中的解发生猝灭现象时，（5.1.1）式所定义的就会发生爆破现象.这就为我们后面的研究提供了准备.5.2 猝灭速率的估计有了上一节引入的函数，现在我们就利用讨论爆破速率的方法来讨论猝灭速率.令 即 （5.2.1）其中是一个待定的正常数.令则 则当充分小时，有 并结合极大值原理可以推出那么 （5.2.2）对（5.2.2）式两边积分，引入函数： （5.2.3）则有： （5.2.4）对于，如果是

42、的爆破点，则由（5.2.3）式有： 而在其它点处应有： 所以： 也即： （5.2.5）另一方面，令对于任意的，设： 则： 现在我们令，并且由及的任意性可以得到： 于是有： （5.2.6）对不等式（5.2.6）两边积分得：也即： （5.2.7）而对于有如下引理：引理5.2.1 当时，有 其中证明 由诺必达法则及逆函数求导法则有：由（5.2.5），（5.2.7）及引理5.2.1可以得到所对应的初边值问题解的爆破速率的估计.也就是下面我们要介绍的定理5.2.1.定理5.2.1 设上面所给出的所对应的初边值问题的解在有限时刻发生爆破现象，则会有：证明 由上面的引理5.2.1可知，对于任意的，存在，当时

43、有： （5.2.8）再由（5.2.5），（5.2.7），（5.2.8）可知当时有：由此就可以得到了定理的结论.此时，我们就可以利用与之间的关系来讨论的爆破速率.定理5.2.2 如果问题（1.1.1）的解在有限时刻发生猝灭现象，则会有：证明 由（5.1.1）及定理5.2.1我们可以很容易得到定理的结论.参考文献1 Deng W B, Li Y X, Xie C H. Global existence and nonexistence for a class of degenerate parabolic systemsJ. Nonlinear Analysis, 2003, 55: 233-24

44、4.2 Chen H W. Analysis of Blowup for a Nonlinear Degenerate Parabolic EquationJ. J. Math. Anal. Appl., 1995, 192: 180-193.3 Song X F, Zheng S N. Blow-up analysis for a quasilinear parabolic system with multi-coupled nonlinearitiesJ. J Math. Anal. Appl., 2003, 281: 739-756.4 孙仁斌，胡军浩.含有对数奇异项的抛物方程解的整体存

45、在性与猝灭性J.江西师范大学学报：自然科学版，2006,30(4)：307-311.5 Kawarada H. On solutions of initial-boundary value problem for J. Publ. Res. Inst. Math. Sci., 1975, 10: 729-736.6 Acker A, Walter W. On the global existence of solutions of parabolic differential equation with a singular nonlinear termJ. Nonlinear Analysi

46、s, 1978.2: 499-505.7 Chan C Y, Kwong M K. Quenching phenomena for singular nonlinear parabolic equationsJ. Nonlinear Analysis, 1988, 12: 1377-1383.8 Acker A, Kawohl B. Remarks on quenchingJ. Nonlinear Analysis, 1989, 13: 53-61.9 Guo J S. On the quenching behavior of the solution of a semilinear para

47、bolic equationJ. J Math. Anal. Appl.,1990, 151: 58-79.10 Dai Q Y, Gu Y G. A short note on quenching phenomena for semilinear parabolic equationsJ. J Differential Equations, 1997, 137: 240-250.11 Salin T. On quenching with logarithmic singularityJ. Nonlinear Analisis,2003, 52:261-289.12 戴求亿，顾永耕. 关于猝灭

48、问题的一些结果及其应用J.数学学报.2003, 46(5): 985-992.13 Deng W B. Global existence and finite time blow up for a degenerate reaction-diffusion systemJ. Nonlinear Analysis, 2005,60: 977-991.14 Zheng S N, Wang W. Non-simultaneous versus simultaneous quenching in a coupled nonlinear parabolic systemJ. Nonlinear Anal

49、ysis, 2008, 69: 2274-2285.15 Ferreira R, Pablo A, Quiros F, Rossi J D. Non-simultaneous quenching in a system of heat equations coupled at the boundaryJ. Z Angew. Math. Phys.,2006, 57: 586-594.16 Pablo A, Quiros F, Rossi J D. Non-simultaneous quenchingJ. Appl. Math. Lett.,2002, 15: 265-269.17 Ding J

50、 T, Li S J. Blow-up and global solutions for nonlinear reaction-diffusion equations with Neumann boundary conditionsJ. Nonlinear Analysis, 2008, 68: 507-514.18 Song X F, Zheng S N. Blow-up and blow-up rate for a reaction-diffusion model with multiple nonlinearitiesJ. Nonlinear Analysis, 2003, 54: 27

51、9-289.19 Michael Pedersen, Lin Z G. The profile near blow-up time for solutions of diffusion systems coupled with localized nonlinear reactionsJ. Nonlinear Analysis, 2002, 50: 1013-1024.20 Dai Q Y, GU Y G. A Short Note on Quenching Phenomena for Semilinear Parabolic EquationsJ. Journal of Differential Equations, 1997, 137: 240-250.21 Z. W. Duan, L. Zhou. Global and blow-up solutions for nonlinear degen