建筑力学 弯曲应力

1、弯曲应力弯曲应力abcd1 引言引言 2 平面平面弯曲时梁横截面上的正应力弯曲时梁横截面上的正应力3 梁横截面上的剪应力梁横截面上的剪应力4 梁的正应力和剪应力强度条件梁的正应力和剪应力强度条件 梁的合理截面梁的合理截面弯曲应力弯曲应力 引言引言1、弯曲构件横截面上的（内力）应力、弯曲构件横截面上的（内力）应力内力剪力Q 剪应力t t弯矩M 正应力s s一、纯弯曲时梁横截面上的正应力一、纯弯曲时梁横截面上的正应力LaaFFFFF图QF(+)(-)-F(+)纯弯曲纯弯曲梁弯曲变形时，梁弯曲变形时，横截面上只有弯矩而无剪横截面上只有弯矩而无剪力（力（ ）。）。0, 0QFM0, 0QFM横力弯曲横

2、力弯曲梁弯曲变形梁弯曲变形时，横截面上既有弯矩又时，横截面上既有弯矩又有剪力（有剪力（ ）。）。纯弯曲纯弯曲横力横力弯曲弯曲横力横力弯曲弯曲弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力M1 1、研究对象：、研究对象：等直细长对称截面梁等直细长对称截面梁2 2、前提、前提: :(a)(a)小变形小变形在弹性变形范围内，在弹性变形范围内，(b)(b)满足平面弯曲条件，满足平面弯曲条件， （c c）纯弯曲。）纯弯曲。3 3、实验观察、实验观察: :MM凹边缩短凹边缩短凸边伸长凸边伸长长度保持长度保持不变的纵不变的纵向纤维向纤维横截面上横截面上只有正应只有正应力无剪应力无剪应

3、力力纵向纤维间无挤压作用纵向纤维间无挤压作用弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力中性层中性层杆件弯曲变形时，其纵向线段既不伸长又不杆件弯曲变形时，其纵向线段既不伸长又不 缩短的曲面。缩短的曲面。中性轴中性轴中性层与横截面的交线。中性层与横截面的交线。4 4、平面截面假设、平面截面假设横截面变形后保持为平面，只是横截面变形后保持为平面，只是 绕中性轴旋转了一角度。绕中性轴旋转了一角度。弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力中性轴中性轴中性层中性层中性轴中性轴5 5、理论分析、理论分析（1 1）变形分布规律）变形分布规律变形后变形后

4、oo曲率中心，曲率中心，y任意纵向纤维至任意纵向纤维至中性层的距离中性层的距离 中性层中性层 的曲率半径，的曲率半径，21oo纵向纤维纵向纤维bb:变形前变形前 dxooab21d变形后变形后 ba dy)( 弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力ob a mmnndx1o2oaby所以纵向纤维所以纵向纤维ab的应变为的应变为:ababdxddy)(dydy横截面上距中性轴为横截面上距中性轴为y y处的轴向变形规律。处的轴向变形规律。曲率曲率),(1);(则则曲率曲率),(1);(则则.,1yC当当；时0,0y.,maxmax时yy(a)ob a mmnndx1

5、o2oaby（2 2）应力分布规律）应力分布规律在线弹性范围内，应用胡克定律在线弹性范围内，应用胡克定律(b)sEyE对一定材料，对一定材料，E为常数为常数；对一定截面，对一定截面，.1Cys横截面上某点处的应力与此点距中性轴的距离横截面上某点处的应力与此点距中性轴的距离y y成比例。成比例。当当；时0,0sy.,maxmaxss时yy应力为零的点的连线。应力为零的点的连线。弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力M（3 3）由静力平衡方程确定中性轴的位置及应力计算公式）由静力平衡方程确定中性轴的位置及应力计算公式z(中性轴中性轴)y(对称轴对称轴)xMMdAdA

6、ss由由 得得0 xFdAsA=0将将 代入，得代入，得0AdAyE0AydAE0zSE0zS因此因此z z轴通过截面形心轴通过截面形心，即，即中性轴通过形心中性轴通过形心。(c)弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力yEsAydA图形对图形对z轴的静矩轴的静矩zSAyScz静力平衡条件静力平衡条件, 0yF, 0zF0 xM自动满足。自动满足。考虑平衡条件考虑平衡条件0yM0yzI(d)zyxMdAdAss由于由于y y轴为截面的对称轴轴为截面的对称轴zdAMAy)(sAdAyzEAyzdAEAyzyzdAI图形对图形对y、z两轴的惯性积两轴的惯性积 可可 0

7、； 0； 0；yzI若若y 和和z有一个对称轴，则有一个对称轴，则惯性积为零惯性积为零0考虑平衡条件考虑平衡条件MMzydAMAz)(sAdAyE2MdAyEA2MIEzzIzI为截面对中性轴的惯性矩。为截面对中性轴的惯性矩。(e)弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力zyxMdAdAss可得可得挠曲轴的曲率方程挠曲轴的曲率方程：zEIM1zEI抗弯刚度抗弯刚度。正应力的计算公式为正应力的计算公式为zIMys横截面上最大正应力为横截面上最大正应力为zIMymaxmaxsmax/ yIMzzWM弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力

8、,zEI 越大 梁的弯曲程度就越小maxyIWzz截面的截面的抗弯截面模量，抗弯截面模量，反映了截面反映了截面的几何形状、尺寸对强度的影响。的几何形状、尺寸对强度的影响。矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩及抗弯截面模量：矩形、圆形截面对中性轴的惯性矩及抗弯截面模量：zz 竖放：竖放：,1213bhIz,1213hbIz261bhWzbhhb261hbWz平放：平放：若若hb, 则则 。zzWW 弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力zd,644dIz,323dWzdzD)(6444dDIz)1 (6444D)(Dd)1 (3243DWz弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横

9、截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力由由纯弯曲纯弯曲推导得到的结果可推广到推导得到的结果可推广到横力弯曲横力弯曲的梁：的梁：(b) (b) 对对R/ /h55的曲率梁，可使用直梁公式。的曲率梁，可使用直梁公式。非纯弯曲时的挠曲轴的曲率方程为：非纯弯曲时的挠曲轴的曲率方程为：EIxMx)()(1正应力计算公式为正应力计算公式为yIxMx)()(s(a) 横力弯曲的细长梁，即梁的宽高比横力弯曲的细长梁，即梁的宽高比: :L/ /h55时，时， 其误差不大；其误差不大；弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力hR 注意注意：（1 1）在计算正应力前，）在计算正应力前

10、，必须弄清楚所要求的是哪个截必须弄清楚所要求的是哪个截面上的正应力面上的正应力，从而确定该截面上的弯矩及该截面对中从而确定该截面上的弯矩及该截面对中性轴的惯性矩性轴的惯性矩；以及；以及所求的是该截面上哪一点的正应力所求的是该截面上哪一点的正应力，并并确定该点到中性轴的距离确定该点到中性轴的距离。（2 2）要特别注意）要特别注意正应力在横截面上沿高度呈线性分布正应力在横截面上沿高度呈线性分布的规律的规律，在中性轴上为零，而，在中性轴上为零，而在梁的上下边缘处正应力在梁的上下边缘处正应力最大最大。弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力（4 4）必须熟记矩形截面、圆形

11、截面对中性轴的惯性矩）必须熟记矩形截面、圆形截面对中性轴的惯性矩 的计算式。的计算式。（3 3）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压，）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压，正应力的正正应力的正 负号（拉或压）可根据弯矩的正负及梁的变形状态来负号（拉或压）可根据弯矩的正负及梁的变形状态来 确定确定。弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力6 6、弯曲正应力强度条件：、弯曲正应力强度条件：maxmaxsszWM可解决三方面问题：可解决三方面问题：（1 1）强度校核强度校核，即已知，即已知 检验梁是否安全；检验梁是否安全；, ,maxzWMs（2 2）设计截面设计截面，即已知，即

12、已知 可由可由 确定确定 截面的尺寸；截面的尺寸；, ,maxsMmaxsMWz（3 3）求许可载荷求许可载荷，即已知，即已知 可由可由 确定。确定。, ,sZWmaxszWM弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力L=4mABq=0.5KN/m例例1 一简支梁受力如图所示。已知一简支梁受力如图所示。已知 ，空心圆截面，空心圆截面的内外径之比的内外径之比 ，试选择截面直径，试选择截面直径D；若外径；若外径D增加增加一倍，比值一倍，比值 不变，则载荷不变，则载荷 q 可增加到多大？可增加到多大？8 . 0DdMPa12s图M(+)281qL弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时

13、梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力解：解：2max81qLMmN.100 . 13由强度条件由强度条件)1 (3243DWzmaxsMmD113. 0若外径若外径D增加一倍，则增加一倍，则,226. 0mD 仍由强度条件，得仍由强度条件，得2max81qLMszW)1 (3243sDmKNq.0 . 4弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力例例2 已知已知 材料的材料的 ，已知：，已知： ，试校核其强度。，试校核其强度。mNM.102 . 15maxMPa70ss16281448解：解：（1 1）确定中性轴的位置）确定中性轴的位置CzyAS28 16

14、14 8 10 (14 5)28 16 8 10 ASyzCcm13（2 2）求）求zW弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力zCzCy单位：单位：cm)1319(1018108121)1314(281628161212323zI426200 cm（3）正应力校核）正应力校核3max1748)1328(26200cmyIWzzMPaWMz65.68101748102 . 165maxs所以结构安全。所以结构安全。弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力对于对于T字形截面，字形截面，,max2max1yy则则,max11yIWzz1m

15、axmaxzWMs,2maxmaxzWMs对于对于低碳钢低碳钢等材料，等材料，,ss因此只需计算因此只需计算1maxmaxsszWM对于对于铸铁铸铁材料，材料，,ss因此需计算因此需计算1maxmaxsszWM,2maxmaxsszWM弯曲应力弯曲应力/纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力zmax2ymax1ymax22yIWzz二、弯曲时的剪应力二、弯曲时的剪应力s 在有剪应力存在的情形下，在有剪应力存在的情形下， 弯曲正应力公式依然存在弯曲正应力公式依然存在s 剪应力方向与剪力的方向相同剪应力方向与剪力的方向相同( (与与截面截面侧边平行侧边平行)，并沿截面宽度方向切应力均

16、匀，并沿截面宽度方向切应力均匀分布分布（对于狭长的矩形截面适用）（对于狭长的矩形截面适用） 弯曲应力弯曲应力/弯曲时的剪应力弯曲时的剪应力弹性力学的研究表明当截面高度大于宽度时，材料力学弹性力学的研究表明当截面高度大于宽度时，材料力学关于切应力分布的假定是基本正确的。关于切应力分布的假定是基本正确的。（一）矩形截面（一）矩形截面LABF(+)(-)图QFbh分析方法（截面法）：分析方法（截面法）：1 1、沿、沿 mm,nn 截面截开，截面截开， 取微段取微段dxdx。mmnndxmmnnQFQFMM+dMmmnntt1s2skl弯曲应力弯曲应力/弯曲时的剪应力弯曲时的剪应力zIMysM 图mn

17、t1s2sklt2 2、沿、沿 kl 截面截开：截面截开：dx很小，在很小，在 kl 面上可认为均布。面上可认为均布。1NF2NFQF021NQNFFF3、列平衡方程，由、列平衡方程，由 ：0 xF即即0)(2121AAdAbdxdAsts弯曲应力弯曲应力/弯曲时的剪应力弯曲时的剪应力,11zIMyszIydMM12)(s代入得：代入得：01111AzAzdAyIdMMbdxdAyIMt11AzdAyIdMbdxt*zSzzbISdxdM*tQFzzQbISF*s sxyzs s1 1t t1 1t tb根据剪应力的互等定理根据剪应力的互等定理剪剪应力互等定理应力互等定理：微元体互垂平面上与平

18、面交线垂直的：微元体互垂平面上与平面交线垂直的切应力数值相等，方向为同时指向或离开交线。切应力数值相等，方向为同时指向或离开交线。ttSz 为y点以外的面积对中性轴之静矩；0)(2121AAdAbdxdAstszzQbISF*tt（儒拉夫斯基公式）（儒拉夫斯基公式）式中符号意义：式中符号意义：t t：截面上距中性轴：截面上距中性轴y处的剪应力处的剪应力 ：y以外面积对中性轴的静矩以外面积对中性轴的静矩*zS ：整个截面对中性轴的惯性矩：整个截面对中性轴的惯性矩zIb：y处的宽度处的宽度bhzy 对于矩形：对于矩形：czyAS*cyc22)2(yhyyhb)4(222yhb弯曲应力弯曲应力/弯曲

19、时的剪应力弯曲时的剪应力3121bhIz而而)4(6223yhbhFQtt因此矩形截面梁横截面上的因此矩形截面梁横截面上的剪应力的大小沿着梁的高度按剪应力的大小沿着梁的高度按抛物线抛物线规律分布。规律分布。并且并且;0,2thybhFyQ23,0maxttAFQ23弯曲应力弯曲应力/弯曲时的剪应力弯曲时的剪应力实心截面梁的弯曲切应力误差分析实心截面梁的弯曲切应力误差分析FQ Sz*bIz弯曲应力弯曲应力/弯曲时的剪应力弯曲时的剪应力（四）（四）切应力强度条件切应力强度条件)(maxmax,maxttzzQISF对于等宽度截面，对于等宽度截面， 发生在中性轴上；对于宽度变化的截面，发生在中性轴上

20、；对于宽度变化的截面， 不一定发生在中性轴上。不一定发生在中性轴上。maxtmaxt在进行梁的强度计算时，需注意以下问题在进行梁的强度计算时，需注意以下问题：（1 1）对于细长梁的弯曲变形，正应力的强度条件是主要的，剪应）对于细长梁的弯曲变形，正应力的强度条件是主要的，剪应 力的强度条件是次要的。但对于较粗短的梁，当集中力较大力的强度条件是次要的。但对于较粗短的梁，当集中力较大 时，截面上的剪力较大而弯矩较小，或是薄壁截面梁时，也时，截面上的剪力较大而弯矩较小，或是薄壁截面梁时，也 需要较核剪应力强度。需要较核剪应力强度。弯曲应力弯曲应力/弯曲时的剪应力弯曲时的剪应力例例3 铸铁梁的截面为铸铁

21、梁的截面为T字形，受力如图。已知材料许用拉应力字形，受力如图。已知材料许用拉应力为为 ，许用压应力为，许用压应力为 ， 。试校核梁的正应力强度和剪应力强度。若将梁的截面倒置，情试校核梁的正应力强度和剪应力强度。若将梁的截面倒置，情况又如何？况又如何？MPa35tMPa100sMPa40sAB2m1m3mP=20KNECDq=10KN/m200mm30200mmyczzcyAyFByF约束反力：约束反力：,30KNFAy,10KNFBy200mm30200mmyczzcy解：解：（1 1）确定中性轴的位置）确定中性轴的位置CzyAS2320102035 .21203ASyzCcm75.15460

22、13 cm23)1075.15(203203121zI23 5 . 1)75.1520(320320121最大静矩：最大静矩：88. 775.153max,zS3372 cmAB2m1m3mP=20KNCDq=10KN/m（2 2）绘剪力图、弯矩图）绘剪力图、弯矩图AyFByF约束反力：约束反力：图QF(+)(-)(-)20KN10KN10KN10KN.m图QF图M由由 、 知：知：,20max,KNFFQAQ左,.20mKNMAmKNMD.10,30KNFAy,10KNFBy（3）正应力强度校核）正应力强度校核对于对于A A截面：截面：A)(maxsA)(maxsz82max10013. 6

23、10) 325. 4()(AAMsMPa1 .24MPa1 .2482max10013. 61075.15)(AAMsMPa4 .52MPa4 .52200mm30200mmyczzcy对于对于D D截面：截面：82max10013. 61075.15)(DDMsMPa2 .2682max10013. 61025. 7)(DDMsMPa12D)(maxsD)(maxszMPa2 .26MPa12200mm30200mmyczzcyA)(maxsA)(maxszMPa1 .24MPa4 .52MpaMPaD402 .26)(maxmaxsssMpaMPaD1004 .52)(maxmaxsss正

24、应力强度足够正应力强度足够。因此因此（4 4）剪应力强度校核）剪应力强度校核在在A A截面：截面：zzQISFtmax,max,max56310013. 603. 0103721020MPa12. 4t剪应力强度足够剪应力强度足够。（5 5）若将梁的截面倒置，则）若将梁的截面倒置，则4 .52)(maxmaxsssMPaA此时强度不足会导致破坏。此时强度不足会导致破坏。yczzcyA)(maxszMPa1 .24A)(maxsMPa4 .52三、提高弯曲强度的一些措施三、提高弯曲强度的一些措施一般而言，弯曲一般而言，弯曲正应力对梁强度起主导作用，正应力对梁强度起主导作用，弯曲正应力强度条件：弯

25、曲正应力强度条件：maxmaxsszWM在在s s一定时，提高弯曲强度的主要途径：一定时，提高弯曲强度的主要途径：max,MWz（一）、选择合理截面（一）、选择合理截面（1 1）矩形截面中性轴附近的材）矩形截面中性轴附近的材 料未充分利用，工字形截料未充分利用，工字形截 面更合理。面更合理。1、根据应力分布的规律选择：、根据应力分布的规律选择：z（2 2）为降低重量，可在中性轴附近开孔。）为降低重量，可在中性轴附近开孔。弯曲应力弯曲应力/提高弯曲强度的一些措施提高弯曲强度的一些措施2、根据截面模量选择：、根据截面模量选择： 为了比较各种截面的合理性，以为了比较各种截面的合理性，以 来衡量。来衡

26、量。 越大，越大，截面越合理。截面越合理。AWzAWzAWz截面形状截面形状矩形矩形圆形圆形槽钢槽钢工字钢工字钢0.167h0.125d(0.270.31)h (0.270.31)h(d=h)弯曲应力弯曲应力/提高弯曲强度的一些措施提高弯曲强度的一些措施应该将材料尽可能分布在距中性轴较远的地方应该将材料尽可能分布在距中性轴较远的地方2、根据材料特性选择：、根据材料特性选择：塑性材料：塑性材料：,ss宜采用中性轴为对称轴的截面。宜采用中性轴为对称轴的截面。脆性材料：脆性材料：,ss宜采用中性轴为非对称轴的截面，宜采用中性轴为非对称轴的截面，例如例如T T字形截面：字形截面：ycz1y2y拉边拉边压边压边zzIMyIMy21maxmaxss21yyss即使最大拉、压应力同时达到许用应力值。即使最大拉、压应