应用数学毕业论文

1、 学校代码：11517 学 号：201311002242 HENAN INSTITUTE OF ENGINEERING 毕业论文题 目 直接法和二维Toda格方程的周期解学生姓名 李灵霜 专业班级 信息与计算科学1342 学 号 201311002242 院 （部） 理学院 指导教师(职称) 苏婷(副教授) 完成时间 2017 年5 月26 日 河南工程学院毕业设计（论文）版权使用授权书本人完全了解河南工程学院关于收集、保存、使用学位毕业设计（论文）的规定，同意如下各项内容：按照学校要求提交毕业设计（论文）的印刷本和电子版本；学校有权保存毕业设计（论文）的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、扫描

2、、数字化或其它手段保存毕业设计（论文）；学校有权提供目录检索以及提供本毕业设计（论文）全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有关部门或者机构送交毕业设计（论文）的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前提下，学校可以适当复制毕业设计（论文）的部分或全部内容用于学术活动。毕业设计（论文）作者签名： 年 月 日 河南工程学院毕业设计(论文)原创性声明本人郑重声明：所呈交的毕业设计（论文），是本人在指导教师指导下，进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本毕业设计（论文）的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本毕业设计（论文）所涉及的研究工作做

3、出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本学位毕业设计（论文）原创性声明的法律责任由本人承担。 毕业设计（论文）作者签名： 年 月 日 目 录摘 要1第1章 绪论2第2章二维Toda格方程的双线性形式3第3章一维周期波解和渐进性43.1一维周期波解43.2单周期波解的渐近性6第4章双周期波解及其渐近性74.1构建双周期波解74.2双周期波解的渐近性9致 谢11参考文献13河南工程学院本科毕业设计(论文)直接法和二维Toda格方程的周期解摘 要Hirota双线性方法被用来直接构造周期波解依照Riemann theta函数（2+1）-1维Toda晶格方程。对周期波的渐进性进行详尽的分析，

4、包括单周期解和双周期解。并绘制解的曲线来分析此解，结果表明可以从周期波解中减少公知的孤子解。关键词：Riemann theta 函数 周期波解 一种直接方法1河南工程学院本科毕业设计(论文)4号黑体加编页码第1章 绪论1.1选题的背景和意义 众所周知，有很多成功的方法来构造微分方程的显式解，例如：散射变换、Darboux变换、Hirota直接法、algebra-geometrical方法等等。准周期性解或algebra-geometrical解可以借助于 algebra-geometrical方法获得，然而他们解的形式复杂可以借助于黎曼曲面和Abel-Jacobi函数。Hirota直接方法提供

5、了一个强有力的方法来构造非线性方程的精确解，一旦通过因变量变换以双线性形式写入非线性方程，则可以获得多孤子解和有理解。Nakamura在1979年和1980年提出了单周期波解和基于Hiorta的双周期波解，借助Riemann theta函数。其中得到KdV和Boussinesq方程的周期解，这种方法的重要优势在Dai et al首次被证明。对于KP方程，可以明确地绘制解分布图，并且通过使用合适的渐近极限，可以从准周期解推导多分散解。这种程序在Dai et al中有介绍，并被其他作者用来研究用大量孤子方程来构造准周期性解。1.2国内外发展现状 关于Toda晶格问题已经进行了大量的调查研究。Nak

6、amura研究关于（3+1）-维Tode方程，此方程的解是一系列的Bessell函数的级数展开式的表达式形式。Krichever和Vaninsky得到了周期和开放Toda晶格之间的关系。此外algebra-geometrical方法关于开放Toda晶格是发展的。对于开放Toda格代数几何方法的开发，基于李超代数方法，这是超级Toda晶格和超KdV方程有一定关系发现.Baleanu和Baskal讨论了个Lax方程的张量形式和Cartan挠率张量的几何形式存在的透明。此外，给出了Toda晶格的Lax张量方程的解。Baleanu等人提出了Killing张量和Lax算子之间的联系，并详细分析了Toda

7、晶格方程的应用，Ito和Locke研究了仿射Toda场方程，并得出了一些有趣的解。Mahmood通过使用Darboux变换得到NC Painleve方程的准决定性解，其中Toda解在n = 1处。Klein和Roidot提出了对于双曲线和椭圆形情况的波长极限（2 + 1）维度Toda的数值研究。Wu等人将离散小数演算的工具引入到扩散问题的离散建模中，并且提出了在Caputo方法中的小数时间离散扩散的模型李构建了一个新的q变形的Toda层次的双线性方程和tau函数的Sato理论。此外，详细研究了多组分延伸作者研究了周期性Toda链的动力学的渐近线，其中具有大量等质量的粒子的初始数据接近平衡。Wu

8、等人提出了晶格分数扩散方程，并且作为应用，讨论了各种差分阶数。1.3 课题理论基础介绍对于二维Toda晶格方程：(1.1)Nakamura【31】发现新的类型精确解（ripplon解，新的解反映了系统的基本多维度的影响事实上，方程（1.1）是修正拉普拉斯方程的离散化形式。（参考【31】） (1.2)在本文中，我们采用了戴等人提出的方法，【13】在方程（1.1）的Riemann函数中直接构造周期波解通过进行合适的渐近分析，获得并导出单周期和双周期解。此外，我们绘制一些解的曲线来详细分析解。1.4 本文结构本论文的结构如下，在第二章中，我们得出了2D Toda格方程的双线性形式。在第三章中给出了一

9、阶周期波解和渐近性。在第四章中，我们得到双周期波解及其渐近性。类似于第三章，虚部的一些解曲线将被丢弃。第2章二维Toda格方程的双线性形式我们考虑方程 (2.1)通过作如下变换： (2.2)方程（2.1）具有双线性形式： (2.3)其中，这是由于积分的结果。在文献【4】中对Hirota 双线性微分算子做了如下定义： 差分运算符被定义为： 从Hirota算子的定义我们可知关系： 其中此外，我们很容易推导出关系： （2.4） （2.5）第3章一维周期波解和渐进性3.1一维周期波解我们假设2D-Toda格方程的双线性形式的Riemann theta函数解为： (3.1)其中是一个对称矩阵，且我们考虑

10、N = 1的情况，则（3.1）变为：(3.2) 为了使上述形式可以成为一个解，p，l，可以不是独立的，我们继续找到他们的关系将（3.2）代入（2,3）再用（2,4）-（2.5）我们可以得到：其中引入了新的求和指数，被定义为： （3.3）在等式（3.3）中，令 ，我们可以得到： （3.4）这个关系意味着如果有 此时就有 通过这种方式，我们可以得出：（3.5）（3,6）表示 那么等式（3.5） - （3.6）简化为： （3.7）（3.8）解决系统，我们有 （3.9） (3.10)系数p，l和u需要满足（3.8），并且比照着（3.2）和（2.2）给出单周期解。3.2单周期波解的渐近性众所周知,2D

11、Toda格方程的的孤子解可以作为周期解的极限。为此，我们将和极限写为(或)。定理1当时，（2.1）的周期解（3.1）倾向于通过（2.2）的孤子解。(3.11) 其中 ，且 证明指出时，此时定义的量化在q的幂中扩展为： 此时，当时，有，因此单周期波解（2.1）当收敛到 (3.12) 经过一些繁琐的计算，我们得出（3.11）第4章双周期波解及其渐近性在下文中，我们考虑了（2 + 1）维Toda晶格方程（2.1）的双周期波解，它是单周期波解的二维推广。4.1构建双周期波解现在我们来构建2D Toda格方程的双周期波解。令式（3.1）中的设N = 2并将其代入式（2.3）中，我们有（4.1）其中引入了

12、新的求和指数 ，被定义为: (4.2)这种关系意味着，如果那么 ， 表示 在这里并且矩阵A和向量b的元素是： 那我们有 (4.3)其中 并且是从替换列1-4与b4.2双周期波解的渐近性2D Toda格方程的双孤子解可以作为双周期解的极限来获得。定理2假设和是满足和的常数（下面给出的定义）. 那么等式（2.1）的周期解（3.1）通过等式（2.2）趋向于孤子解. 并限制: (4.5)(4.6)其中 通过数量来证明： 我们以下列形式扩展了双周期波解（3.1）（N = 2）： (4.7)我们现在验证公式（4.5）和（4.6）。 为此，我们将中的每个函数扩展为和的系列. 我们只需要用和进行一阶扩展来显示

13、渐近关系（4.5）和（4.6）。在这里，我们保留二阶项，以便看到两个周期解和双孤子解的参数之间更深的关系。由（其中当 我们得到。由 (4.9)其中由，我们得到渐近关系：（4.10） 由 （4.11）其中由我们得到渐近关系： （4.12）由 （4.13）其中因为，我们得到渐近关系： （4.14）致 谢时光飞逝，大学时光即将过去，很高兴在这四年里能遇到许许多多很好的老师和同学，老师水平都很高，信息专业的同学们也很优秀。无论在学习上，还是在生活上，他们给予了我很多帮助，在此表示感谢！此外，感谢家人一直以来都很支持我的学业，在经济上和精神上对我的支持，使我能安心在大学学习。在论文写作期间我能有个安静的

14、环境，经过几个月的努力，在老师的指导下终于完成了大学的毕业论文写作，在此很感谢我的室友和老师。首先，在此感谢老师，在老师的指导下我完成了论文的选题和写作过程。同时在论文的写作过程中，遇到许多难点，老师耐心指导，教会了我许多解决问题的技巧和方法，使我的论文能够顺利完成。另外和丁老师的交谈中，老师的耐心指导和对我们未来发展的建议，收获很多。从老师那学到许多为人处世的道理和为未来不懈奋斗的动力，这将是我终身受益的财富。在此向老师表示衷心的感谢！另外感谢信息专业的同学们，回顾大学四年，很高兴能遇到你们，回想起一幕幕的场景，一起去爬山游玩，班级举办晚会的情景，运动会的情景，一起自习，以及和小伙伴们为梦想

15、拼搏的情景等等，在此谢谢大家，希望大家的未来更美好！最后，大家即将踏上一段新的旅程，未来是美好的，但需要我们去拼搏，去努力，愿大家的未来越来越美好！参考文献1.Ablowitz,MJ,Clarkson,PA:Solitons,Nonlinear Equations and inverse Scattering.Cambridge University Press,Cambridge(1991)2.Matveev,VB,Salle,MA:Darboux Transformation and Solitons Spring.Berlin(1991)3.Hirota,R,Exact solution

16、 of the Korteweg-de Vries equation for multiple collisitons.Phys.Rev.Let.27(18),1192-1194(1971)4.Hirota,R,Satsuma,J:Nonlinear evolution equation generated from the Backlind transformation for the Boussinesq equation.Prog.Theor.phys.57(3),797-807(1977)5.Hirota,R:The Direct Method in Soliton Theory.Ca

17、mbridge University Press,Cambrige(2004)6.Hu,XB,Claekson,PA:Rational solutions of a differential-difference KdV equation,the Tode equationandthe discrete KdV equation.J.Phys.A,Math .Gen.28(17),5009-5023(1995)7.Geng,XG,Wu,YT,Cao,CW:Quasi-periodic solutions of the modified Kadometsev-Petviashili equati

18、on.J.Phys.A,Math.Gen.32(20),3733-3754(1999)8.Dai,HH,Geng,XG:Explicit solutions of the 2+1-dimensional modified Toda lattice through straightening out of the relativistic Toda flows.J.Phy.Soc.Jpn.72(13),3063-3069(2003)9.Geng,XG:Algebraic-geometrical solutions of some multidimensional nonlinear evolut

19、ion equations.J.Phys.A,Math.Gen.36(9),2289-2309(2003)10.Cao,CW,Wu,YT,Geng,XG:Relation between the Kadometsev-Petviashvili equation and the confocal involutive system.J.Math.Phys.40(8),3948-3968(1999)11Nakamura.A.A  direct method of calculatingperiodic wave solution

20、s to nonlinear evolutions.I.  Exact two-periodic wave solution ,J.Phys.Soc.Jpn.47(5),1701-1705(1979)12 Nakamura.A.A direct Method of caculating periodic wave solutions to nonlinear evolution equations.II.Exact one-and two-periodic wave solution of the coupled

21、bilinear equations ,J.Phys.Soc.Jpn.48(4)1365-1370(1980)13Dai,H.H,Fan,EG,Geng,X.G:Periodic wave solutions of nonlinear equations by Hirotas bilibear method,arXiv.nlin/0602015,1-22(2006).14. Zhang ,Y,Ye,LY:On a direct periodic wave solutions of two-dimensional Boussinesq equation.Commun.Theor.Phys.49,

22、815-824（2008）15.Fan,EG,Hon,YC:On a direct procedure for the quasi-periodic wave solutions of the supersymmetric lto's equation.Rep.Math.Phys.66(3),355-365(2010)16.Wu,YQ:Asymptotic behavior of the periodic wave solution for the (3+1) -dimensional Kadomtsev-Petviashvili equation.Appl.Math.Comput.2

23、16,3154-3161(2010)17.Ma,WX,Zhou,RG,Gao,L:Exac one-periodic and two-periodic wave solutions to Hirota bilinear equations in(2+1)-dimensions.mod.Phys.Lett.A 24(21),1677-1688(2009)18.Luo,L,Fan,EG:Quasi-periodic waves of theN1 supersymmetric modified Korteweg -de Vries equation.Nonliear Anal.74(2),666-6

24、75(2011)19.Nakamura,A:Exact cylindrical soliton solutions of the sine-Gordon equation ,the sinh-Gordon equation.J.Phys.Soc.Jpn.57(10),3309-3322(1988)20.Kricheer,l,Vaninsky,KL:The periodic and open Toda lattice.In:D'Hoker,E,et,al.(des.)Mirror Symmetry Iv.AMS/IP Studies in Advance Mathematics,vol.

25、33,pp.139-158(2002)21.Inami,T,Kanno,H:Lie superalgebraic approach to super Toda lattice and generalized super KdV equations.Commun.Math.Phys.136,519-542(1991)22.Baleanu,D,Baskal,S:Geometrization of the Lax pairs tensiors.Mod.Phys.Lett.A 15(24),1503-1510(2000)23.Baleanu,D,Karasu,A,Makhaldiani,N:About geometrization of the dynamics.Czachoslov.J.Phys.50(1),17-22(2000)24.Ito,k,Locke,C:ODE/IM correspondence and Bethe ansatz for affine Todad fineld equations.Nucl.Phys.B896,763-778(2015)25.Mahmood,I:Quasideterminant solutio